Guía 3 Cálculo III

226 visualizaciones

Publicado el

0 comentarios
0 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
226
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
2
Acciones
Compartido
0
Descargas
3
Comentarios
0
Recomendaciones
0
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

Guía 3 Cálculo III

  1. 1. Universidad de Tarapacá Departamento de Matemática Ingenierías Cálculo III Guía 3 Derivadas parciales 1.- Señale si las siguientes aseveraciones son verdaderas o falsas, fundamentando claramente su respuesta: a) @f @x (x; y) = lim (h;k)!(0;0) f (x + h; y + k) f (x; y) h + k , si tal límite existe. b) @f @y (x; y) = lim k!0 f (x; y + k) f (x; y) k , si tal límite existe. c) @f @x ( 1; 4) = lim h!0 f ( 1 + h; 4) f ( 1; 4) h , si tal límite existe. d) @f @y (0; 0) = lim k!0 f (0; k) f (0; 0) k , si tal límite existe. 2. Para cada una de las funciones dadas, determine las derivadas parciales respecto a cada variables a) f (x; y) = xy x2 + y2 b) f (x; y) = y p x y2 c) f (x; y) = ln xy d) f (x; y; z) = p x2 + y2 + z2 e) f (x; y; z) = 1 p x2 + y2 + z2 f). f (x; y; z; u) = arctan (4x + 3y + 5z + u) 3. Encuentre @f @x (x; y) y @f @y (x; y) si: a) f (x; y) = yZ x ln (sen t) dt b) f (x; y) = yZ x ecos t dt 4. Sea f : R2 ! R de…nida como f (x; y) = 8 >>< >>: 2xy2 x2 + y2 si (x; y) 6= (0; 0) 0 si (x; y) = (0; 0) a) Determine @f @x (x; y) y @f @y (x; y) en todos los puntos donde (x; y) 6= (0; 0) 1
  2. 2. b) Determine @f @x (0; 0) y @f @y (0; 0) directamente de la de…nición. c) Muestre que tanto f es discontínua en (0; 0) : 5. Sea 2 R un parámetro real y la función de…nida por: f (x; y) = 8 >>< >>: (x ) y (x ) 2 + y2 si (x; y) 6= ( ; 0) 0 si (x; y) = ( ; 0) a) Calcular, para cada , si existen, las derivadas parciales en el punto ( ; 0) : b) Veri…car si la función dada es contínua en el punto ( ; 0).¿ Existe algún problema entre a) y b) ? 6. a) Si w = f(x; y; z), de…na los incrementos de x, y, z. (x0; y0; z0)? b) Enuncie la aproximación de f(x; y; z):¿Como se mide el error de aproxi- mación? c) ¿Qué signi…ca que f(x; y; z) sea diferenciable en d) De…na diferencial total. De…na plano tangente. e) Evalúe por diferenciales f (1; 01; 0; 98) para f(x; y) = exy f) Use diferenciales para estimar el cambio en la longitud de la diagonal espacial de una caja de dimensiones 200 cm, 200 cm y 100 cm, si éstos cambian a 201cm, 202cm y 99cm, respectivamente. 7. Determine si la función f(x; y) = ( xy x2 + y2 si (x; y) 6= (0; 0) 0 si (x; y) = (0; 0) , tiene plano tangente en (0; 0). determine si es diferenciable en(0; 0) 8. Determie la ecuación de todos los planos tangentes a la super…cie z = 5 x22 + 4y que son paralelos al plano xy. 9. Determine las segundas derivadas parciales de las funciones a) f (x; y) = xy2 + 2x 7 b) f (x; y) = x + y sen 2x c) f (x; y; z) = xyz d) f (x; y; z) = xyey+z + 5 e) z = x2 arctan y x 10. Determine las terceras derivadas parciales de las funciones del ejercicio anterior. 11. Muestre que las funciones dadas satisfacen la Ecuación de Laplace bidimensional, @2 u @x2 + @2 u @y2 = 0 2
  3. 3. a) u (x; y) = ln x2 + y2 , (x; y) 6= (0; 0) b) u (x; y) = ex sen y 12. Sea f (x; y) = 8 >>< >>: x3 y xy3 x2 + y2 si (x; y) 6= (0; 0) 0 si (x; y) = (0; 0) a) Pruebe que f se anula sobre los ejes x e y y concluya que @f @x (0; 0) y @f @y (0; 0) son iguales a cero. b) Calcule @f @x (x; y) y @f @y (x; y) para todos los puntos donde (x; y) 6= (0; 0) y concluya que @f @x (0; y) = y y @f @y (x; 0) = x: c) Muestre que @2 f @y@x (0; 0) = @ @y @f @x (0; 0) = lim h!0 @f @x (0;h) @f @x (0;0) h = 1 d) Muestre que @2 f @x@y (0; 0) = @ @x @f @y (0; 0) = lim h!0 @f @y (h;0) @f @y (0;0) h = +1 y concluya que las derivadas mixtas de f no son iguales en (0; 0) : e) Calcule @2 f @x@y (x; y) para (x; y) 6= (0; 0) : f) Use lo anterior para mostrar que @2 f @x@y (x; x) = 0 para x > 0: g) Concluya que @2 f @x@y (x; y) es discontínua en el orígen. 13. Sea f(x; y) = 1 2 ln(x2 + y2 ) + arctan y x , hallar @ f @x 2 + @f @y 2 14. Sea f(x; y) = arcsin x-y x + y , hallar x @f @x +y @f @y . . 15. Compruebe que (x; y) = ax2 + by2 cx2 + dy2 es solución de la ecuación diferencial x @ @x +y @ @y . 3
  4. 4. 16. Sea u(x; y) = xy x + y , compruebe que es solución de la ecuación diferencial x2 @2 u @x2 + 2xy @2 u @x@y + y2 @2 u @y2 = 0 DERIVADA DIRECCIONAL, VECTOR GRADIENTE 17. Establezca la de…nición de la derivada direccional de una función:f : Rn ! R en un punto P 2 . ¿ Qué interpretación puede atribuirle a esta derivada ?. 18. Si f : R2 ! R es de…nida por f (x; y) = 3x2 + 2y2 y u = 1 p 5 (1; 2), encuentre Duf (3; 1) 19. Determine, la derivada direccional de las siguientes funciones, en los puntos y en las direcciones que se indican : a) f (x; y; z) = exy + ln z en el punto P = (x; y; z) y en la dirección de u = 1 p 13 (2; 0; 3). b) f (x; y) = 2x2 3y2 en el punto P = (1; 0) y en la dirección de un vector que forma un ángulo de 120 con el eje x. c) f (x) = kxk , x 2 Rn en el punto x0 2 Rn y en la dirección de un vector u 2 Rn : 20. De…na el gradiente de un campo escalar en un punto interior de su Dominio. 21. Determine el gradiente de las siguientes funciones: a) f (x; y) = 4x x2 + y2 b) f (x; y; z) = p x2 + y2 + z2 c) f (x; y; z) = 1 p x2 + y2 + z2 d) f (x; y; z; w) = arctan (4w + 3x + 5y + z) e) f(x; y) = arcsin x y x + y 22. Establezca una relación entre derivada direccional, gradiente y derivada parcial. 4
  5. 5. 23. Para cada caso, encuentre la derivada direccional de f en el punto P en la dirección del vector !v dados. a) f (x; y) = 3x2 y , P = ( 2; 1) y !v = (2; 3). b) f (x; y; z) = ln x2 + 2y2 + z2 , P = (2; 1; 1) y !v = ( 1; 2; 3) . c) f (t; x; y; z) = tx2 yz2 , P = (2; 1; 1; 2) y !v = (1; 1; 2; 3) 24. Pruebe que si f : R2 ! R función entonces Duf (x; y) = @f @x cos + @f @y sen , donde es el ángulo que forma el vector u con el eje x: 25. Determine la derivada direccional de f (x; y) = ex cos y en el punto P = (0; 0) en la dirección que forma un ángulo de 60 con el eje x: 26. Hallar la derivada direccional de f (x; y; z) = xey + yex z2 en el punto P = (3; 0; 2) en la dirección que apunta hacia el punto Q = (4; 1; 3) : 27. Para f (x; y) = x y z, hallar en el punto P = (1; 2; 3) a) La máxima derivada direccional. b) La dirección en que se obtiene a). c) La derivada en la dirección v = (1; 2; 0) : 28. Determine la mayor y la menor derivada direccional y su módulo, de las siguientes funciones: a) f (x; y) = x2 + y2 en P = (2; 3) b) h (x; y) = xy + 2x2 + 3y2 en P = (5; 3) c) g (x; y; z) = xyz + 3x2 y3 z + z4 + x3 y3 z5 . en P = (1; 5; 2) 29. Dada la función diferenciable f(x; y) tal que: D!v f(1; 2) = 2, si !v = 1 2 p 2 (2; 2) D!v f(1; 2) = 2, si !v = 1 p 2 (1; 1): Determinar: rf(1; 2) y D!v f(12); si !v = (4; 6). 5

×