Calculo 1

1. SEGUNDO PARCIAL DE C´ALCULO 1.
10 de julio de 2004
No. Parcial Apellido y nombre Firma C´edula
1. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
1. La suma de dos soluciones de la ecuaci´on y + 3y + 24y = e−x2
log x es tambi´en soluci´on de
la misma ecuaci´on.
2. Sea la ecuaci´on diferencial y + y = x2ex + cos x. Existe una ´unica soluci´on de la ecuaci´on
tal que y(0) = 1.
3. Toda funci´on y : R → R que cumpla y = 2y e y(0) = 1 verifica necesariamente y(1) = e.
4. Existen ejemplos de funciones continuas f : (0, 1) → R que tienen m´aximo pero no m´ınimo.
5. Si f : (0, 1) → R es derivable en todos los puntos de su dominio, y si en c ∈ (0, 1) presenta
extremo, entonces f (c) = 0.
6. Existen ejemplos de funciones f : [0, 1] → R continuas con derivada primera continua tales
que f(0) = f(1) y f (x) > 0 para todo x ∈ (0, 1).
7. El argumento en (−π, π) del n´umero complejo −1 − i es π/4.
8. Sea f(x) no id´enticamente nula tal que (f(x))2
=
x
0
f(t) sen t dt
3 + cos t
. Entonces
f(x) = −(1/2) log
3 + cos x
4
9. Sea F : R → R tal que
F(x) =
2
x
e(−t4)
t4
dt
Se cumple F (1) = −1/e.
1

2. 10. Sean f : R → R una funci´on continua. Se considera la funci´on G : R → R definida por
G(x) =
x2
x
f(t) t dt
Se cumple necesariamente que G (1) = G (−1).
11. Sean f : R → R una funci´on continua y F una primitiva de f tal que F(0) = 4. Entonces
necesariamente se cumple que:
x
0
F(t) f(t) dt =
(F(x))2
2
− 8
12. Los n´umeros complejos z = 3
√
2 + 2i son:
z =
√
2 cos π +
2
3
kπ + i sen π +
2
3
kπ
siendo k ∈ {0, 1, 2}.
13. Se considera una serie
∞
n=1
an tal que an > 0, ∀n ∈ N y l´ımn→∞
n
√
an = 2. Entonces
∞
n=0
an
es divergente y
∞
n=0
1
an
es convergente.
14.
1
0
(1 − x2
)(n−1)/2
dx =
π/2
0
cosn
u du.
15.
1
0
xex
dx = e.
16.
2
1
dx
x + x2
= log(4/3).
2. Seleccionar la opci´on correcta.
1. Se considera la soluci´on y1 : R → R de la ecuaci´on diferencial y + 2y + 2y = cos x tal que
y1(0) = 1
5 e y1(0) = 7
5 . Se cumple que y1(π) es igual a:
A) −1
B) −1/5
C) 0
D) 1/5
E) 1
2

3. 2. Sea f : (−π/2, π/2) → R invertible, y = f(x) tal que (f−1) (y) =
1
1 + y2
. Se cumple:
A) f (x) =
1
[f(x)]2 + 1
.
B) f (x) =
1
x2 + 1
.
C) f (x) =
1
√
x2 + 1
.
D) f (x) = [f(x)]2 + 1.
E) f (x) = −
1
[f(x)]2 + 1
.
3. Para toda f : [0, 8] → R continua con derivada continua tal que f(0) = f(2) = 0 se
consideran las siguientes afirmaciones:
I)
8
0 f(x) dx = 3
2
0 f(x3) x2 dx
II)
2
0 exf (x) dx =
2
0 2exf(x) dx
Indicar la opci´on correcta:
A) La afirmaci´on (3I) es falsa y la afirmaci´on (3II) verdadera.
B) Ambas afirmaciones son falsas.
C) No es suficiente la informaci´on para concluir la veracidad o falsedad de las afirmaciones.
D) La afirmaci´on (3I) es verdadera y la afirmaci´on (3II) falsa.
E) Ambas afirmaciones son verdaderas.
4. Sea z = x + iy un n´umero complejo, donde x e y son reales, tal que x − 2y = 1. El valor de
x + y para que |z| sea m´ınimo es:
A) −1/5.
B) 0.
C) 1/2.
D) 1.
E) 2.
3

4. 5. Se consideran sucesiones: an =
1
3
n
; bn =
n + 3
3n
n
y cn con an ≤ cn ≤ bn.
Se consideran las series:
I) ∞
n=1 an.
II) ∞
n=1 bn.
III) ∞
n=1 cn.
Se cumple que:
A) Ninguna es convergente.
B) S´olo es convergente (5I).
C) (5I) es convergente; (5II) no es convergente, y con las hip´otesis dadas no es posible
concluir ninguna afirmaci´on acerca de la convergencia o no de (5III).
D) Las tres series son convergentes.
E) S´olo son convergentes (5I) y (5II).
6. Se consideran las siguientes integrales impropias:
I)
∞
1
1
x
√
log x
dx.
II)
∞
1
1
ex2 dx.
III)
5
2
1
(x − 2)2
dx.
Indicar la opci´on correcta:
A) Solo (6II) y (6III) son convergentes.
B) Solo (6II) converge.
C) Solo (6I) converge.
D) Ninguna integral es convergente.
E) Solo (6I) y (6II) son convergentes.
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