Tema 7 
Series de Fourier 
Nuestro principal objetivo es introducir las series de Fourier. ¶Estas surgieron hist¶oricament...
2 Tema 7. Series de Fourier 
Z ¼ 
¡¼ 
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0 si n6= m 
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Z ¼ 
¡¼ 
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7.1. Series de Fourier 3 
Tomo L = b ¡ 
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2 
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De¯nici¶on 7.3 Se llama s...
4 Tema 7. Series de Fourier 
7.1.1 Convergencia de las series de Fourier 
Teorema 7.1 (Teorema de convergencia puntual par...
7.2. F¶ormula de Parseval 5 
7.2 F¶ormula de Parseval 
Los tres resultados te¶oricos m¶as importantes para el manejo de la...
6 Tema 7. Series de Fourier 
Propiedades 
² El producto de dos funciones pares es par. 
² El producto de dos funciones imp...
7.4. Desarrollos para funciones de¯nidas en medio intervalo 7 
7.4 Desarrollos para funciones de¯nidas en medio in- 
terva...
8 Tema 7. Series de Fourier 
Sabemos que : 
cos n!0t = 
1 
2 
³ 
ejn!0t + e¡jn!0t 
´ 
sen n!0t = 
1 
2j 
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ejn!0t ¡ e¡jn!...
7.5. Forma compleja de la Serie de Fourier 9 
De¯nici¶on 7.5 (Producto escalar en lC) 
Dadas dos funciones complejas f(t) ...
10 Tema 7. Series de Fourier 
7.6 Filtrado de series de Fourier 
Supongamos que deseamos obtener la tensi¶on (o corriente)...
7.7. Series ¯nitas de Fourier 11 
imaci¶on de n t¶erminos por fn(t): 
fn(t) = 
Xn 
k=¡n 
®kejk!0t (7.1) 
donde el valor nu...
12 Tema 7. Series de Fourier 
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T 
Z t0+T 
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Xn 
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®kej(k+m)!0t dt = 0 (7....
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  1. 1. Tema 7 Series de Fourier Nuestro principal objetivo es introducir las series de Fourier. ¶Estas surgieron hist¶oricamente al resolver por el m¶etodo de separaci¶on de variables un problema de contorno de ecuaciones en derivadas parciales. Cuando estas f¶ormulas fueron propuestas por Daniel Bernouilli en 1.753, muchos matem¶aticos pensaron que era imposible expresar una funci¶on f(x) cualquiera como suma de senos y cosenos. Fue un ingeniero, Joseph Fourier, el que se encarg¶o de recopilar datos para convencer al mundo cient¶³¯co de tal posibilidad. 7.1 Series de Fourier De¯nici¶on 7.1 (Serie de Fourier) Se llama serie de Fourier de una funci¶on f(x) en el intervalo [¡¼; ¼] a: f(x) = a0 2 + 1X (an cos nx + bn sen nx) (¤) n=1 A los coe¯cientes a0; a1; ¢ ¢ ¢ ; an; b0; b1; ¢ ¢ ¢ ; bn se les llama coe¯cientes de Fourier de f(x) en [¡¼; ¼]. Debido a que Z ¼ ¡¼ senmxsen nx dx = ( 0 si n6= m 6= 0 si n = m Z ¼ ¡¼ cos nx dx = 0 Z ¼ ¡¼ sen nx dx = 0 1
  2. 2. 2 Tema 7. Series de Fourier Z ¼ ¡¼ cosmxcos nx dx = ( 0 si n6= m 6= 0 si n = m Z ¼ ¡¼ senmxcos nx dx = 0 e integrando t¶ermino a t¶ermino en la igualdad (¤) obtenemos: Z ¼ ¡¼ f(x) cos nx dx = an Z ¼ ¡¼ cos2 x dx = an¼ ) an = 1 ¼ Z ¼ ¡¼ f(x) cos nx dx Z ¼ ¡¼ f(x) dx = a0 2 2¼ ) a0 = 1 ¼ Z ¼ ¡¼ f(x) dx Z ¼ ¡¼ f(x) sen nx dx = bn Z ¼ ¡¼ sen2 x dx = bn¼ ) bn = 1 ¼ Z ¼ ¡¼ f(x) sen nx dx Las anteriores propiedades de las funciones sen nx; cosmx se pueden resumir en que el sistema f1; sen x; sen 2x; ¢ ¢ ¢ ; cos x; cos 2x ¢ ¢ ¢g es un sistema Z ortogonal de funciones respecto del producto escalar ¼ (f(x); g(x)) = ¡¼ f(x)g(x) dx y la serie de Fourier no es mas que la expresi¶on de un vector f(x) como combinaci¶on lineal de los vectores de la anterior base ortogonal. De¯nici¶on 7.2 Se llama serie de Fourier de una funci¶on f(x) en el intervalo [¡L;L] a: f(x) » a0 2 + 1X n=1 µ an cos n¼ L x + bn sen n¼ L x ¶ donde a0 = 1 L Z L ¡L f(x) dx an = 1 L Z L ¡L f(x) cos n¼ L x dx bn = 1 L Z L ¡L f(x) sen n¼ L x dx Este hecho se basa en que el sistema de vectores ½ 1; sen ¼x L ; sen 2¼x L ; ¢ ¢ ¢ ; cos ¼x L ; cos 2¼x L ; ¢ ¢ ¢ ¾ es un sistema ortogonal de funciones respecto del producto escalar (f(x); g(x)) = Z L ¡L f(x)g(x) dx An¶alogamente se puede de¯nir la serie de Fourier de una funci¶on f(x) de¯nida en un intervalo [a; b] haciendo una traslaci¶on del punto medio a + b 2 al origen.
  3. 3. 7.1. Series de Fourier 3 Tomo L = b ¡ a + b 2 = b ¡ a 2 ¡ L = a ¡ a + b 2 = a ¡ b 2 De¯nici¶on 7.3 Se llama serie de Fourier de una funci¶on f(x) en el intervalo [a; b] a f(x) = a0 2 + 1X n=1 à an cos n¼ b¡a 2 x + bn sen n¼ b¡a 2 x ! donde a0 = 2 b ¡ a Z b a f(x) dx an = 2 b ¡ a Z b a f(x) cos 2n¼ b ¡ a x dx bn = 2 b ¡ a Z b a f(x) sen 2n¼ b ¡ a x dx Las series anteriores tambi¶en se podr¶³an haber escrito de la forma: f(x) » C0 + 1X n=1 Cn cos(n!0t ¡ µn) donde Cn = q a2 n + b2 n; cos µn = a q n a2 n + b2 n sen µn = bn q a2 n + b2 n µn = arctang bn an siendo !0 = 1; ¼ L ; 2¼ b ¡ a seg¶un hayamos utilizado una de las tres f¶ormulas anteriores. La componente sinusoidal de frecuencia !n = n!0 se denomina la en¶esima arm¶onica de la funci¶on peri¶odica. La primera arm¶onica se conoce comunmente con el nombre de fundamental porque tiene el mismo periodo que la funci¶on y !0 = 2¼ T se conoce con el nombre de frecuencia angular fundamental. Los coe¯cientes Cn y los ¶angulos µn se conocen como amplitudes arm¶onicas y ¶angulos de fase, respectivamente. En M¶usica, a la primera arm¶onica, segunda arm¶onica, etc. se le suele llamar fundamental, primer tono, segundo tono, etc. Quedan muchas cuestiones por resolver: ² > Qu¶e debe cumplir f(x) para que su serie de Fourier converja? ² Si converge, > lo hace a f(x)? ² > Es posible integrar t¶ermino a t¶ermino?. > Y derivar? Estas preguntas las responderemos con los siguientes teoremas.
  4. 4. 4 Tema 7. Series de Fourier 7.1.1 Convergencia de las series de Fourier Teorema 7.1 (Teorema de convergencia puntual para series de Fourier) Si f(x) y f '(x) son continuas a trozos en [¡L;L], entonces 8x 2 (¡L;L) se veri¯ca: a0 2 + 1X n=1 µ an cos n¼ L x + bn sen n¼ L x ¶ = 1 2 h f(x+) + f(x¡) i Para x = §L la serie de Fourier converge a 1 2 h f(¡L+) + f(L¡) i . Teorema 7.2 (Teorema de convergencia uniforme de series de Fourier) Sea f(x) una funci¶on continua en (¡1;1) y con periodo 2L. Si f '(x) es continua a trozos en [¡L;L], entonces la serie de Fourier de f(x) converge uniformemente a f(x) en [¡L;L] y por consiguiente en cualquier intervalo. 7.1.2 Diferenciaci¶on de series de Fourier Teorema 7.3 Sea f(x) una funci¶on continua en (¡1;1) y con periodo 2L. Sean f '(x), f"(x) continuas por segmentos en [¡L;L]. Entonces la serie de Fourier de f '(x) se puede obtener de la serie de Fourier de f(x) mediante diferenciaci¶on t¶ermino a t¶ermino. En particular, si f(x) = a0 2 + 1X n=1 µ an cos n¼ L x + bn sen n¼ L x ¶ entonces f0(x) = 1X n=1 n¼ L µ ¡an sen n¼ L x + bn cos n¼ L x ¶ 7.1.3 Integraci¶on de series de Fourier Teorema 7.4 Sea f(x) continua a trozos en [¡L;L] con serie de Fourier f(x) » a0 2 + 1X n=1 µ an cos n¼ L x + bn sen n¼ L x ¶ entonces 8x 2 [¡L;L] se veri¯ca: Z x ¡L f(t) dt = Z x ¡L a0 2 + 1X n+1 Z x ¡L µ an cos n¼ L t + bn sen n¼ L ¶ dt t
  5. 5. 7.2. F¶ormula de Parseval 5 7.2 F¶ormula de Parseval Los tres resultados te¶oricos m¶as importantes para el manejo de las series de Fourier son: el teorema de convergencia, el teorema de unicidad, seg¶un el cual todo desarrollo en serie trigonom¶etrica, de una funci¶on, es su desarrollo de Fourier, y la f¶ormula de Parseval. Teorema 7.5 (F¶ormula de Parseval) Sea f una funci¶on continua a trozos en el intervalo [¡¼; ¼]. Sean a0, an y bn los coe¯cientes del desarrollo de Fourier de f. Entonces se veri¯ca: 1 ¼ Z ¼ ¡¼ [f(x)]2 dx = 1 2 a20 + 1X n=1 ³ a2 n + b2 n ´ Demostraci¶on Aunque esta f¶ormula es v¶alida para todas las funciones continuas a trozos, nos limitaremos, por comodidad, a probarla en el caso en que la serie de Fourier converge uniformemente a f en el intervalo [¡¼; ¼]. Partiendo de la relaci¶on: f(x) = a0 2 + 1X (an cos nx + bn sen nx) ¡ ¼ < x < ¼ n=1 uniformemente. Multiplicando por f(x) se obtiene: [f(x)]2 = a0 2 f(x) + 1X (anf(x) cos nx + bnf(x) sen nx) ¡ ¼ < x < ¼ n=1 uniformemente. Por tanto, al integrar t¶ermino a t¶ermino, se obtiene: Z ¼ ¡¼ [f(x)]2 dx = 1 2 a20 ¼ + 1X n=1 ³ a2 n¼ + b2 n¼ ´ de donde, dividiendo por ¼, obtenemos el resultado deseado. 7.3 Funciones pares e impares De¯nici¶on 7.4 (Funci¶on par, funci¶on impar) Decimos que una funci¶on f(x) es par si f(-x) = f(x). Decimos que una funci¶on f(x) es impar si f(-x) = - f(x).
  6. 6. 6 Tema 7. Series de Fourier Propiedades ² El producto de dos funciones pares es par. ² El producto de dos funciones impares es par. ² El producto de una funci¶on par por una impar es impar. ² Si f(x) es par ) Z a ¡a f(x) dx = 2 Z a 0 f(x) dx ² Si f(x) es impar ) Z a ¡a f(x) dx = 0 Desarrollo en serie de Fourier de una funci¶on par Sea f(x) una funci¶on par. Vamos a calcularle su serie de Fourier en el intervalo [¡L; L]. a0 = 1 L Z L ¡L f(x) dx = [por ser f par] = 2 L Z L 0 f(x) dx an = 1 L Z L ¡L f(x) cos n¼ L x dx = 2 L Z L 0 f(x) cos n¼ L x dx por ser f(x) y cos x fun- ciones pares con lo que su producto es tambi¶en una funci¶on par. bn = 1 L Z L ¡L f(x) sen n¼ L x dx = 0 por ser el producto de una funci¶on par (f(x)) por una impar (sen x) una funci¶on impar. Luego f(x) » a0 2 + 1X n=1 an cos n¼ L Es decir, la serie de Fourier de una funci¶on par en el intervalo [¡L;L] es una serie en la que s¶olo aparecen cosenos. Desarrollo en serie de Fourier de una funci¶on impar Haciendo c¶alculos an¶alogos se obtiene a0 = an = 0 Es decir, la serie de Fourier de una funci¶on impar en el intervalo [¡L;L] es una serie en la que s¶olo aparecen senos. f(x) » 1X n=1 an sen n¼ L
  7. 7. 7.4. Desarrollos para funciones de¯nidas en medio intervalo 7 7.4 Desarrollos para funciones de¯nidas en medio in- tervalo Supongamos que tenemos una funci¶on de¯nida en el intervalo [0;L]. Para hallar su desarrollo en serie de Fourier podemos optar por de¯nirla en el intervalo [¡L; 0] de las siguientes tres formas y obtener distintos desarrollos de Fourier. Caso I Extendemos f(x) al intervalo [¡L; 0] de forma que obtenga una funci¶on par. Obtenemos as¶³ un desarrollo en serie de cosenos. Caso II Extendemos f(x) al intervalo [¡L; 0] de forma que obtenga una funci¶on impar. Obtenemos as¶³ un desarrollo en serie de senos. Caso III Extendemos f(x) al intervalo [¡L; 0] de forma que obtenga una funci¶on peri¶odica de periodo L. Obtenemos as¶³ un desarrollo en serie de cosenos y senos. 7.5 Forma compleja de la Serie de Fourier En muchas aplicaciones de las series de Fourier, es conveniente expresar estas series en t¶erminos de los exponenciales complejos e§jn!0t. Si se considera la serie de Fourier de una funci¶on peri¶odica f(t),como f(t) = 1 2 a0 + 1X (an cos n!0t + bn sen !0t) n=1 donde !0 = 2¼ T .
  8. 8. 8 Tema 7. Series de Fourier Sabemos que : cos n!0t = 1 2 ³ ejn!0t + e¡jn!0t ´ sen n!0t = 1 2j ³ ejn!0t ¡ e¡jn!0t ´ Sustituyendo estas expresiones en la anterior de la serie de Fourier: f(t) = 1 2 a0 + 1X n=1 · an 1 2 ³ ejn!0t + e¡jn!0t ´ ¡ bn j 2 ³ ejn!0t ¡ e¡jn!0t ´¸ Como 1 j = ¡j , podemos expresar f(t) como f(t) = 1 2 a0 + 1X n=1 · 1 2 (an ¡ jbn) ejn!0t + 1 2 (an + jbn) e¡jn!0t ¸ LLamando c0 = 1 2 a0; cn = 1 2 (an ¡ jbn) ; c¡n = 1 2 (an + jbn) , entonces: f(t)=c0 + 1X n=1 ³ cnejn!0t + c¡ne¡jn!0t ´ = =c0 + 1X n=1 cnejn!0t + ¡X1 n=¡1 cne¡jn!0t = 1X n=¡1 cnejn!0t Esta ¶ultima ecuaci¶on se denomina serie compleja de Fourier de f(t). Los coe¯cientes de Fourier se pueden evaluar f¶acilmente en t¶erminos de an y bn, los cuales ya los conocemos: c0 = 1 2 a0 = 1 T Z T=2 ¡T=2 f(t) dt cn = 1 2 (an ¡ jbn) = [desarrollando] = 1 T Z T=2 ¡T=2 f(t)e¡jn!0t dt c¡n = 1 2 (an + jbn) = [desarrollando] = 1 T Z T=2 ¡T=2 f(t)ejn!0t dt donde jcnj = 1 2 q a2 n + b2 n
  9. 9. 7.5. Forma compleja de la Serie de Fourier 9 De¯nici¶on 7.5 (Producto escalar en lC) Dadas dos funciones complejas f(t) y g(t) de¯nimos su producto escalar complejo en el intervalo [a; b] como (f(t); g(t)) = f(t) ¢ g(t) = Z b a f(t)g¤(t) dt donde g¤(t) representa el conjugado complejo de g(t). De¯nici¶on 7.6 ( Sistema ortogonal en lC) un conjunto de funciones complejas ff1(t); f2(t); ¢ ¢ ¢ ; fn(t)g se dicen que es un sistema ortogonal en el intervalo [a; b] si Z b a fm(t)f¤ k (t) dt = ( 0 para k6= m rk para k = m Proposici¶on 7.1 El conjunto de funciones complejas de la serie de Fourier fejn!0tg ; n = 0;§1;§2; ¢ ¢ ¢, forman un sistema de funciones ortogonales. De¯nici¶on 7.7 (Espectros de frecuencia compleja) La gr¶a¯ca de la magnitud de los coe¯cientes complejos cn de la serie de Fourier 1X n=¡1 cnejn!0t frente a (versus) la frecuencia ! (frecuencia angular) se denomina es- pectro de amplitud de la funci¶on peri¶odica f(t). La gr¶a¯ca del ¶angulo de fase 'n de cn = jcnje¡j'n frente a ! se denomina espectro de fase de f(t). Como el ¶³dice n toma solamente valores enteros, los espectros de amplitud y fase no son curvas continuas sino que aparecen en la variable discreta n!0; por consiguiente, se les denomina espectros de frecuencia discreta o espectros de l¶³neas. La representaci¶on de los coe¯cientes complejos cn frente a la variable discreta n!0, especi¯ca la funci¶on peri¶odica f(t) en el diminio de la frecuencia, as¶³ como f(t) versus t especi¯ca la funci¶on en el dominio del tiempo. Proposici¶on 7.2 El desplazamiento en el tiempo de una funci¶on peri¶odica no tiene efecto sobre el espectro de amplitud, pero modi¯ca el espectro de fase en una cantidad de ¡n!0¿ radianes para la componente de frecuencia n!0 si el desplazamiento en el tiempo es ¿ .
  10. 10. 10 Tema 7. Series de Fourier 7.6 Filtrado de series de Fourier Supongamos que deseamos obtener la tensi¶on (o corriente) de salida de un sistema lineal y sabemos que la entrada es una se~nal peri¶odica no lineal. Utilizando la serie de Fourier para descomponer la se~nal de entrada, en sus componentes senoidales, pode- mos hacer pasar separadamente cada componente a trav¶es del sistema. (Se pueden usar m¶etodos conocidos para operar con entradas senoidales: fasores, impedancias, etc.). Por superposici¶on, sabemos que la se~nal de salida total es la suma de todas las salidas de las componentes senoidales. Esta onda de salida total es la salida estacionaria debida a la se~nal de entrada no senoidal. Es la respuesta particular del sistema a la se~nal de entrada no senoidal. Es decir, esta entrada ha estado excitando al sistema durante el tiempo su¯ciente para que haya desaparecido cualquier respuesta transitoria (respuesta natural debida a las condiciones iniciales que pudieran haber estado presentes al principio de haber aplicado la se~nal de entrada). Un ¯ltro pasa-bajos ideal (no realizable) tiene una funci¶on de transferencia H(j!) de las siguientes caracter¶³sticas: =H(j!) = 0 jH(j!)j = ( 1 ¡!c < ! < +!c 0 otros valores ) Esto signi¯ca que si una se~nal peri¶odica no senoidal se aplica al ¯ltro, la salida es- tar¶a formada por aquellas componentes senoidales de Fourier aplicadas a la entrada cuya frecuencia angular sea inferior a !c. Para que una onda peri¶odica de forma arbitraria pase sin distorsi¶on a trav¶es de un sistema lineal , llamada transmisi¶on sin distorsi¶on (por ejemplo, un ampli¯cador de alta ¯delidad), cualquier desplazamiento de fase introducido por el sistema debe ser pro- porcional al n¶umero del arm¶onico (a la frecuencia). Es decir, resulta necesario que el ¶angulo de la funci¶on de transferencia del sistema =H(j!) , sea una funci¶on lineal de la frecuencia. 7.7 Series ¯nitas de Fourier Supongamos que, dada una funci¶on peri¶odica, intentamos obtener una serie aproxi- mada utilizando s¶olo un n¶umero ¯nito n de t¶erminos arm¶onicos. Designemos esta aprox-
  11. 11. 7.7. Series ¯nitas de Fourier 11 imaci¶on de n t¶erminos por fn(t): fn(t) = Xn k=¡n ®kejk!0t (7.1) donde el valor num¶erico ®k tiene que ser calculado. Si para evaluar los t¶erminos de la ecuaci¶on ( 7.1), tomamos espec¶³¯camente ®k = 1 T Z t0+T t0 f(t)e¡jk!0t dt podemos llamar a nuestra aproximaci¶on serie de Fourier truncada. En cualquier instante de tiempo, la diferencia entre una aproximaci¶on fn(t) y la onda real f(t) es el error en(t) en(t) = f(t) ¡ fn(t) Este error puede ser positivo o negativo. Para dar una medida de mayor calidad en la aproximaci¶on vamos a elegir el error cuadr¶atico medio, de¯nido por e2 n(t) = 1 T Z t0+T t0 e2 n(t) dt Desarrollando e2 n(t) = 1 T Z t0+T t0 [f(t) ¡ fn(t)]2 dt = 1 T Z t0+T t0 2 4f(t) ¡ Xn k=¡n ®kejk!0t 3 5 2 dt Buscamos el conjunto de coe¯cientes ®k que minimizan este error cuadr¶atico medio. Para ello, se debe veri¯car @e2 n(t) @®k = 0 8k Consideremos el coe¯ciente m-¶esimo: @e2 n(t) @®m = @ @®m 8>< >: 1 T Z t0+T t0 2 4f(t) ¡ Xn k=¡n ®kejk!0t 3 5 9>= >; 2 dt = 0 Es decir 1 T Z t0+T t0 2 2 4f(t) ¡ Xn k=¡n ®kejk!0t 3 5 [¡ejm!0t] dt = 0
  12. 12. 12 Tema 7. Series de Fourier o ¡ 2 T Z t0+T t0 f(t)ejm!0t dt + 2 T Z t0+T t0 Xn k=¡n ®kej(k+m)!0t dt = 0 (7.2) La integral del segundo t¶ermino es suma de integrales particulares. Teniendo en cuenta la propiedad de ortogonalidad, todas son nulas excepto en la que k = ¡m. Para k = ¡m la ecuaci¶on ( 7.2) se puede expresar como ¡ Z t0+T t0 f(t)ejm!0t dt + Z t0+T t0 ®¡m dt = ¡ Z t0+T t0 f(t)ejm!0t dt + ®¡m(t0 + T ¡ t0) = 0 de donde ®¡m= 1 T Z t0+T t0 f(t)ejm!0t dt o ®k= 1 T Z t0+T t0 f(t)e¡jk!0t dt que es la de¯nici¶on de los coe¯cientes de Fourier. En consecuencia, los coe¯cientes de Fourier minimizan el error cuadr¶atico medio entre la funci¶on real f(t) y cualquier serie arm¶onica aproximada de longitud ¯nita. Evidentemente, cuantos m¶as arm¶onicos tomemos en la serie, mayor ser¶a la aproxi- maci¶on y, en consecuencia, menor ser¶a el error cuadr¶atico medio. Sin embargo, a¶un utilizando un n¶umero in¯nito de t¶erminos, si la funci¶on tiene alguna discontinuidad (por ejemplo la funci¶on de onda cuadrada), nunca podremos lograr una r¶eplica perfecta de la original f(t). Cualquier discontinuidad producir¶a un transitorio que sobrepasa la onda por la parte superior e inferior de cada discontinuidad. Cada uno de estos transitorios tiene una elongaci¶on m¶axima de aproximadamente el 9% de la altura de la respectiva discontinuidad. Este efecto, observado por J. W. Gibbs, se llama efecto Gibbs. Adema¶s, cualquier aproximaci¶on de t¶erminos ¯nitos de Fourier corta a cada discon- tinuidad por su valor medio (mitad entre el valor superior e inferior).

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