El documento explica la serie de Taylor, que permite aproximar funciones mediante polinomios. La serie de Taylor representa el comportamiento exacto de una función en las cercanías de un punto, mediante una serie infinita de potencias de la distancia a ese punto. Al truncar la serie se obtiene un polinomio de aproximación, cuya precisión depende de cuán cercano esté al valor real de la función.

1. MÉTODOS NUMÉRICOS 1.5 Serie de Taylor Gustavo Rocha 2005-2

2. 1.5 Serie de Taylor

3. 1.5 Serie de Taylor La serie de Taylor es, sin duda, el fundamento matemático más importante para comprender, manejar y formular métodos numéricos que se basan en la aproximación de funciones por medio de polinomios. Aunque a veces no sea muy evidente, la mayoría de los métodos numéricos se basan en la aproximación de funciones por medio de polinomios.

4. 1.5 Serie de Taylor La expansión de Taylor de una función, es una serie infinita de potencias que representa, de manera exacta, el comportamiento de la función en la vecindad de un punto dado. Si se ignoran todos los términos de la serie de Taylor, excepto unos cuantos, se obtiene un polinomio que aproxima a la función verdadera. El error del método numérico depende de la precisión con la que el polinomio aproxima a a la función verdadera. Los errores por truncamiento se evalúan a través de la comparación del desarrollo polinomial de la solución numérica, con la serie de Taylor, de la solución exacta.

5. 1.5.1 Expansión en serie de Taylor Sea una función f(X) que tiene derivadas continuas hasta de orden n en el punto X i , para el cual se conoce el valor de la función a 0 y el de sus derivadas: a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , … a n , … f(x) x x i X i+1 a 0 f(X i+1 )

6. 1.5.1 Expansión en serie de Taylor Se trata de encontrar un polinomio de la forma: _____ (1.13) que permita predecir el valor de la función en un punto cualquiera X, en términos de la propia función y de sus derivadas en el punto X i . El polinomio P(X) se hace coincidir con la función f(X), y las primeras n derivadas del polinomio se hacen coincidir con las n primeras derivadas de la función en el punto X i . _____ (1.14)

7. 1.5.1 Expansión en serie de Taylor El valor de la función en un punto cualquiera X se puede evaluar a través de un polinomio equivalente al de la expresión (1.13): ____ (1.15) Desarrollando la expresión (1.15) y comparándola con la expresión (1.13), se obtiene: _____(1.16)

8. 1.5.1 Expansión en serie de Taylor Las n primeras derivadas del polinomio son: _____ (1.17) Evaluando el polinomio y sus derivadas en el punto X i : _____ (1.18)

9. 1.5.1 Expansión en serie de Taylor Considerando simultáneamente las expresiones (1.14) y (1.18): _______ (1.19) Sustituyendo los valores de los coeficientes dados en (1.19) en la expresión (1.15): _____ (1.20) que en forma sintética se expresa: _____ (1.20')

10. 1.5.1 Expansión en serie de Taylor Las expresiones (1.20) y (1.20') son equivalentes y representan la expansión en serie de Taylor que permite evaluar el valor de la función en cualquier punto X, en términos de la propia función y de sus derivadas en el punto X i . Se pueden presentar dos casos: A) Cuando el valor de X se encuentra a la derecha de X i , se usa la nomenclatura X i+1 , con lo que se indica que es mayor que X i . _____ (1.21) donde h se denomina tamaño del paso, tratándose en este caso de un paso hacia adelante.

11. 1.5.1 Expansión en serie de Taylor B) Cuando el valor de X se encuentra a la izquierda de X i , se usa la nomenclatura X i-1 , con lo que se indica que es menor que X i . _____ (1.22) _____ (1.22') donde h es el tamaño del paso, tratándose en este caso de un paso hacia atrás. Para cada combinación de puntos X i , X i+1 en una función f(x), la serie de Taylor es única, es decir, no hay otra serie de potencias en h = X i+1 – X i , para representar a f(X)

12. 1.5.1 Expansión en serie de Taylor Ejemplo. En el punto X i = 1, la función f(X) y sus derivadas toman los siguientes valores: f(1) = 1; f'(1) = 6; f''(1) = 2; f'''(1) = 6. A partir de estos datos y utilizando la expansión en serie de Taylor dada en (1.21), encontrar el polinomio que permita predecir valor de la función para cualquier valor de X, y, en particular, el valor de la función para X i+1 = 3. f(X) = 1 + 6(X - 1) + 2(X - 1) 2 /2! + 6(X - 1) 3 /3! = 1 + 6X - 6 + X 2 - 2X + 1 + X 3 - 3X 2 + 3X - 1 = - 5 + 7X - 2X 2 + X 3 h = X i+1 - X i = 3 - 1 = 2 f(X i+1 ) = f(3) = 1 + 6(2) + 2(2) 2 /2! + 6(2) 3 /3! = 1 + 12 + 4 + 8 = 25

13. 1.5.1 Expansión en serie de Taylor Vamos a repetir el ejercicio, pero ahora considerando la expansión en serie de Taylor dada en (1.22) y obteniendo el valor de la función para X i-1 = 0. f(X) = 1 - 6(1 - X) + 2(1 - X) 2 /2! - 6(1 - X) 3 /3! = 1 - 6 + 6X + X 2 - 2X + 1 - 1 + 3X - 3X 2 + X 3 = - 5 + 7X - 2X 2 + X 3 h = X i - X i-1 = 1 - 0 = 1 f(X i-1 ) = f(0) = 1 - 6(1) + 2(1) 2 /2! - 6(1) 3 /3! = 1 - 6 + 1 - 1 = - 5

14. 1.5.1 Expansión en serie de Taylor En el ejercicio anterior, el polinomio obtenido se ajusta perfectamente a la función, porque ésta es algebraica, polinomial de tercer grado; en este caso, las derivadas de orden superior al tercero se anulan, por lo que los primeros cuatro términos de la expansión en serie de Taylor son suficientes para determinar, sin error alguno, el comportamiento de la función, para cualquier valor de X. Pero no siempre es así; cuando se trata de funciones trascendentes o mixtas, la expansión en serie de Taylor sólo puede proporcionar una aproximación a la función de interés, porque, en ese caso, cada uno de los términos de la serie infinita tiene un valor absoluto diferente de cero, con el que participa, así sea de manera mínima, en el valor de la función. En virtud de que no es posible considerar un número infinito de términos, no hay más remedio que truncar la serie y considerar únicamente los n primeros.

15. 1.5.1 Expansión en serie de Taylor Una función f(x) es analítica en x i , si se puede representar por medio de una serie de potencias en términos de h = x i+i – x i , dentro de un radio de convergencia 0 <  x i+i - x i  , y si todas sus derivadas son continuas en la vecindad de x i . Los polinomios son funciones analíticas en todas partes. Si la función f(x) es diferenciable en todas partes de la vecindad de un punto x 0 , excepto en el mismo, el punto se denomina singular y entonces la función no es analítica en x 0 . Algunas funciones trascendentes tienen puntos singulares; por ejemplo, tan(x) es analítica excepto en  (n + ½)  .

16. 1.5.1 Expansión en serie de Taylor Ejemplo. Aproximar la función f(X) = cos X en 30  , conociendo los valores de la función y el de sus derivadas para 0 y considerando los primeros siete términos de la expansión en serie de Taylor. No olvidemos trabajar en radianes: X i = 0  = 0 ; X i+1 = 30  =  /6 ; h = X i+1 - X i =  /6 - 0 =  /6 f(X) = f(X i ) + f'(X i )h + f''(X i )h 2 /2! + f'''(X i )h 3 /3! + f iv (X i )h 4 /4! + f v (X i )h 5 /5! + f vi (X i )h 6 /6! f(X) = cos X f(0) = cos 0 = 1 f'(X) = - sen X f'(0) = - sen 0 = 0 f''(X) = - cos X f''(0) = - cos 0 = - 1 f'''(X) = sen X f'''(0) = sen 0 = 0 f iv (X) = cos X f iv (0) = cos 0 = 1 f v (X) = - sen X f v (0) = - sen 0 = 0 f vi (X) = - cos X f vi (0) = - cos 0 = - 1

17. 1.5.1 Expansión en serie de Taylor Ejemplos: Los desarrollos en serie de Taylor de e -x y de sen x, en la vecindad de x = 1, son respectivamente: El desarrollo en serie de Taylor de una función alrededor de x = 0 recibe el nombre de serie de Maclaurin; por ejemplo: e x , cos x, y ln(x+1)

18. 1.5.1 Expansión en serie de Taylor f(  /6) = 1 - 1(  /6) 2 /2! + 1(  /6) 4 /4! - 1(  /6) 6 /6! = 1 - 0.1370778 + 0.0031317 - 0.0000286 = 0.8660252 Considerando como &quot;verdadero&quot; el valor que ofrece una calculadora científica de 8 dígitos, que es: cos 30  = 0.8660254, se aprecia que el truncamiento a siete términos de la serie, conduce a un pequeño error de 0.0000002

19. 1.5.2 El residuo de la serie de Taylor En la sección 1.4 se esbozó lo que era un error por truncamiento, pero no quedó lo suficientemente claro, porque para comprender este concepto, faltaba conocer a detalle el comportamiento de la expansión en serie de Taylor. Ahora podemos entender con claridad qué es un truncamiento y cómo repercute éste en un error, al aproximar el valor de una función para un determinado valor de la variable, considerando solamente los primeros n términos de la serie infinita. Los términos de la serie que se desprecian constituyen un residuo cuyo valor puede tener signo positivo, en detrimento del valor de la función, o negativo, en profusión del valor de la función; en términos absolutos, este residuo puede ser significativo o insignificante (como sucedió en el ejemplo anterior), lo cual depende de dos factores:

20. 1.5.2 El residuo de la serie de Taylor 1) El valor de n , es decir, el número de términos de la serie, considerados al aproximar el valor de la función; mientras mayor sea el valor de n , menor será el residuo y mejor será la aproximación al valor de la función. 2) El valor de h , es decir, el tamaño del paso o distancia entre el valor de la variable para el cual se evalúa la función y el valor de la variable para el que se conoce el valor de la función y el de sus derivadas; mientras menor sea el valor de h , mayor será la cercanía entre X i y X i+1 y, por ende, mejor será la aproximación al valor de la función.

21. 1.5.2 El residuo de la serie de Taylor En adelante, y en tanto no se indique lo contrario, usaremos únicamente la expansión en serie de Taylor que considera el paso hacia adelante para aproximar f(X i+1 ) a partir de f(X i ) y sus derivadas, conforme a la expresión (1.21), la que en forma explícita se escribe: f(Xi+1) = f(Xi) + f'(Xi)h + f''(Xi)h 2 /2! + f'''(Xi)h 3 /3! + ... + f(n)(Xi)h n /n! + ...__ (1.21') y en forma alternativa: f(Xi+1) = f(Xi) + f'(Xi)h + f''(Xi)h 2 /2! + f'''(Xi)h 3 /3! + ... + f(n)(Xi)h n /n! + Rn (1.23) Esta última expresión se conoce como expansión en serie de Taylor con residuo, y es idéntica a la expresión (1.21'), excepto porque los puntos suspensivos se han sustituido por el término R n , que sintetiza los términos de la serie que se han despreciado y se conoce con el nombre de residuo de la aproximación al n-ésimo orden. La serie se puede truncar en cualquier punto, de manera que el subíndice n indica que sólo se han incluido en la aproximación los primeros (n+1) términos de la serie.

22. 1.5.2 El residuo de la serie de Taylor Por ejemplo, podemos truncar la serie a un solo término (n = 0): f(X i+1 )  f(X i ) lo que implica suponer que la función que se va a aproximar es una constante: P(X) = a 0 ; si tal suposición es cierta, la aproximación resulta perfecta y no hay error alguno, pero si no es así, existe un residuo R 0 tal que se cumple: f(X i+1 ) = f(X i ) + R 0 R 0 = f'(X i )h + f''(X i )h 2 /2! + f'''(X i )h 3 /3! +...+ f (n) (X i )h n /n! +... _____ (1.24) R 0 es el residuo de orden cero y representa una serie infinita idéntica a la de la expresión (1.21'), excepto por la exclusión del primer término. Para simplificar, podríamos truncar el residuo a solo un término: R 0 f'(X i )h, despreciando todos los demás, pero esto obviamente no es exacto. Conviene entonces encontrar una manera más adecuada de valorar R 0 .

23. 1.5.2 El residuo de la serie de Taylor Auxiliándonos en la siguiente figura, podemos ver fácilmente que la recta que une los puntos [X i , f(X i )], [X i+1 ,f(X i+1 )], tiene pendiente R 0 /h. f(x) x x i X i+1 f(x i ) f(X i+1 )  f’(  ) h R 0 = f(X i+1 ) - f(x i ) P(X) = a o

24. 1.5.2 El residuo de la serie de Taylor Invocando el teorema del valor medio, podemos asegurar que existe un punto , entre X i y X i+1 , para el cual el valor de la primera derivada f'(  ), es decir, la pendiente de la tangente de la función en ese punto, es paralela a la recta mencionada previamente: R 0 /h = f'(  ); y entonces: R 0 = f'(  )h _____ (1.25) De manera similar, si truncamos la serie a dos términos (n=2): f(Xi+1) f(X i ) + f'(X i )h estaremos suponiendo que la función que se va a aproximar es una recta: P(X) = a 0 + a 1 X; si la suposición es correcta, la aproximación es perfecta y sin error, pero si no es así, existe un residuo R 1 tal que: f(X i+1 ) = f(X i ) + f'(X i )h + R 1 R 1 = f''(X i )h 2 /2! + f'''(X i )h 3 /3! + ... + f (n) (X i )h n /n! + ... R 1 es un residuo de primer orden que, al igual que se hizo con R 0 , pero ahora considerando el teorema extendido del valor medio, también se puede evaluar de manera exacta mediante: R1 = f''(  )h 2 /2! Y así, sucesivamente:

25. 1.5.2 El residuo de la serie de Taylor f(x) x x i X i+1 f(X i+1 ) h P(X) = a o P(X) = a o + a 1 x P(X) = a o + a 1 x + a 2 x 2 f(x) a o

26. 1.5.2 El residuo de la serie de Taylor Un truncamiento a tres términos (n = 2), supone que la función a aproximar es una parábola P(X) = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 y un posible error dado por el residuo de segundo orden R 2 . Un truncamiento a cuatro términos (n = 3), supone que la función a aproximar es una parábola cúbica P(X) = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 + a 3 X 3 y un posible error dado por el residuo de segundo orden R 3 . En general, un truncamiento a (n+1) términos de la serie, supone un polinomio P(X) = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 + a 3 X 3 + ... + a n X n y un posible error dado por el residuo de n-ésimo orden, que se expresa: R n = f (n+1) (  )h n+1 /(n+1)! _____ (1.26) R n es el error por truncamiento al aproximar el valor de una función f(X i+1 ), considerando solamente los (n+1) primeros términos de la expansión en serie de Taylor correspondiente a la función.

27. 1.5.2 El residuo de la serie de Taylor Ejemplo. Obtener una aproximación al valor del número e , con mantisa de ocho dígitos y considerando los primeros ocho términos de la expansión en serie de Taylor para la función f(X) = e x . Sabemos que: e 0 = 1, entonces: X i = 0 ; X i+1 = 1 ; h = 1 - 0 = 1 f(0) = e 0 = 1 f(1) = e f(1) = f(0) + f'(0)(1) + f''(0)(1)2/2! + f'''(0)(1)3/3! + fiv(0)(1)4/4! + ... f'(X) = e x f'(0) = 1 f''(X) = e x f''(0) = 1 f'''(X) = e x f'''(0) = 1 ... f '(n) (X) = e x f '(n) (0) = 1 f(1)  1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + 1/7! e  1 + 1 + 0.5 + 0.16666667 + 0.04166667 + 0.00833333 + + 0.00138889 + 0.00019841 = 2.71825397 El valor que arroja una calculadora de 9 dígitos es: e = 2.71828183

28. 1.5.2 El residuo de la serie de Taylor El error por truncamiento es: R 7 = f viii (  )(1)8/8! = f viii (  )/40320 = 0.00002786 f viii (  ) = e  = 1.1233152 ;  = 0.11628431 Observamos que  efectivamente se localiza entre X i y X i+1 : 0 <  < 1, aunque bastante más cerca de X i que de X i+1 Si hubiésemos truncado a solo tres términos: e  2.5, R 2 = f'''(  )(1) 3 /3! = f'''(  )/6 = 0.21828183 f'''(  ) = e  = 1.30969098 ;  = 0.26979122 Vemos también que el valor de  es distinto para residuos de diferente orden, pero siempre cumple con localizarse entre X i y X i+1 .

29. 1.5.2 El residuo de la serie de Taylor Los valores dados en la siguiente tabla, referidos a este ejemplo, pueden verificarse fácilmente: n e Rn f(n+1)(  )  0 1 1.71828183 1.71828183 0.54132486 1 2 0.71828183 1.43656366 0.36225391 2 2.5 0.21828183 1.30969098 0.26979172 3 2.66666667 0.05161516 1.23876384 0.21411398 4 2.70833334 0.00994849 1.19381880 0.17715724 5 2.71666667 0.00161516 1.16291520 0.15092996 6 2.71805556 0.00022627 1.14040080 0.13137978 7 2.71825397 0.00002786 1.12331520 0.11628431

30. 1.5.2 El residuo de la serie de Taylor En este ejemplo, tuvimos manera de consultar el valor &quot;exacto&quot; de e , echando mano de una calculadora, igual que lo pudimos haber consultado en un libro; el número e es conocido por toda la comunidad científica, por eso su valor es accesible a cualquiera. Pero no ocurre lo mismo cuando estamos estimando el valor de una función complicada, ligada a un experimento en el que apenas tenemos idea de su comportamiento y del orden de magnitud que puede tomar la función, para cada determinado valor de la variable. En tal caso, no hay manera de calcular con exactitud los residuos y solo habrá que conformarse con una estimación burda de ellos. Para el efecto, y siempre que sea factible derivar analíticamente la función de interés, se sugiere considerar como valor estimado de el punto medio entre X i y X i+1 , es decir:  * = (X i + X i+1 )/2 _____ (1.27) con la seguridad de que los residuos estimados a partir de este valor y, por ende, los errores asociados a ellos, siempre serán superiores a los verdaderos. R n = f (n+1) (  *)h n+1 /(n+1)! _____ (1.26')