Analisis de Fourier, introduccion, teoremas.

1. Análisis de Fourier
El análisis de Fourier surgió a partir del intento de éste matemático francés por hallar la
solución a un problema práctico, la conducción del calor en un anillo de hierro. Demostró que
se puede obtener una función discontinua a partir de la suma de funciones continuas. Esta
tesis fue defendida por Fourier ante la Academia Francesa, lo que motivó severas objeciones
de los matemáticos más importantes de su época como Lagrange, Laplace, etc. El análisis de
Fourier nos permite redefinir las señales en terminos de senosoidales, todo lo que tenemos
que hacer es determinar el efecto que cualquier sistema tiene en todos los senosoidales
posibles (su función de transferencia) así tendremos un entendimiento completo del sistema.
El análisis de Fourier es elemental para entender el comportamiento de las señales de
sistemas.
Si la forma de la onda es periódica, se puede representar con una precisión arbitraria,
mediante la superposición de un número suficientemente grande de ondas senoidales que
forman una serie armónica.
Toda función f(t) periódica de periodo P, se puede representar en forma de una suma infinita
de funciones armónicas, es decir,
Donde el periodo P=2p/w, y a0 a1 ...ai ... y b1 b2 .... bi .... son los denominados coeficientes de
Fourier.
Conocida la función periódica f(t), calculamos los coeficientes ai y bi del siguiente modo
Las integrales tienen como límite inferior -P/2 y como límite superior P/2.
En el programa interactivo, transformamos la función periódica de periodo P, en otra función
periódica de periodo 2p, mediante un simple cambio de escala en el eje t. Escribiendo x=w t,
tendremos el periodo P de t convertido en el periodo 2p de x, y la función f(t) convertida en

2. Definida en el intervalo que va de -p a +p. Si la función g(x) tiene simetría, algunos de los
coeficientes resultan nulos.
· Si g(x) es una función par, g(x)=g(-x), los términos bi son nulos
· Si g(x) es impar g(x)=-g(-x), los coeficientes ai son nulos.
Serie de Fourier
La teoría de Fourier afirma que cualquier función periódica f(t), ya sea más o menos compleja,
se puede descomponer en suma de funciones simples, sinusoidales, cuya frecuencia es
múltiplo de la función periódica. Esto es, dicha función se puede descomponer en una serie
armónica infinita expresada como:
Donde:
- ω0 (o 0 fr = ω 2π ) es la frecuencia de la función periódica y recibe el nombre de frecuencia
fundamental
- an, bn, Cn y θn son los coeficientes de la Serie de Fourier que definen las senoides cuya
frecuencia es múltiplo de la fundamental.
Teoremas básicos sobre la transformada de Fourier
La palabra “transformada” indica que estamos trabajando con una herramienta para
transformar un tipo determinado de problema en otro.
1. Linealidad La transformada de Fourier es un operador lineal. Más precisamente, si ´ x1,
x2 ∈ L 1 (R), y a, b ∈ R, entonces ax1 + bx2(ξ) = axb1(ξ) + bxb2(ξ).
2. Traslación en el tiempo. Dado a ∈ R, se tiene que F[x(t − a)](ξ) = e −iaξF[x(t)](ξ) y F[e
iaξx(t)](ξ) = F[x(t)](ξ − a).
3. Cambios de escala. Si δ > 0 y xδ(t) = δ −1x(t/δ), entonces F[xδ](ξ) = F[x](δξ) y
F[x(δt)](δξ) = F(x)δ(ξ).
 Ejemplo 1
Consideremos la señal escalón:

3. Su transformada de Fourier es
Teorema 1:
Teorema 2 (Lema de Riemann-Lebesgue):
entonces .
Teorema 3:
Supongamos que x : R → C; t → x(t) es continua a trozos y absolutamente integrable (i.e., R ∞
−∞ |x(t)|dt < ∞). Entonces xb(ξ) es continua en todo ξ ∈ R.
Teorema 4 (Convergencia dominada, Lebesgue):
Supongamos que tenemos una familia de funciones xh : R → C (h ∈ R), continuas a trozos tales
que existe una cierta funcion´ g verificando que
y

4. Si además sabemos que existe el límite puntual
entonces
Teorema 5:
Supongamos que x, y ∈ L 1 (R). Entonces
Teorema 6 (Teorema Integral de Fourier):
Supongamos que x(t) es continua a trozos, absolutamente integrable en R, en cada punto
admite ambas derivadas laterales, y que en los puntos de discontinuidad está definida como
Entonces