2. SERIES DE TAYLOR
Una serie de Taylor es una representación o una
aproximación de una función como una suma de términos
calculados de los valores de sus derivadas en un mismo
punto.
La serie de Taylor de una función real f (x) infinitamente
diferenciable, definida en un intervalo abierto (a - r, a +
r), es la serie de potencias
7. DESARROLLOS EN SERIE DE LAS
FUNCIONES ELEMENTALES
FUNCION INTERVALO DE CONVERGENCIA
8. Serie de Taylor y Maclaurin
EJEMPLO 1– Escriba la serie de Maclaurin de sen x y demuestre que
representa sen x para toda x.
SOLUCIÓN – Ordenamos nuestros cálculos en dos columnas:
f ( x) sen x f (0) 0
f ' ( x) cos x f ' (0) 1
f ' ' ( x) sen x f ' ' (0) 0
f ' ' ' ( x) cos x f ' ' ' (0) 1
(4)
f ( x) sen x f
(4)
(0) 0
9. Serie de Taylor y Maclaurin
En vista de que las derivadas se repiten en ciclos de cuatro, podemos escribir la
serie de Maclaurin de esta manera:
f ' (0) f ' ' (0) 2 f ' ' ' (0) 3
f (0) x x x ...
1! 2! 3!
3 5 7 2n 1
x x x n x
x ... ( 1)
3! 5! 7! n 0 (2n 1)!
( n 1)
Ya que f ( n 1 ) ( x ) es sen x o cos x ,sabemos que f ( x) 1 para toda x.
De modo que podemos tomar M = 1 en la desigualdad de Taylor:
n 1
M n 1
x
Rn ( x ) x
(n 1)! (n 1)!
10. Serie de Taylor y Maclaurin
Por la ecuación 10 el lado derecho de esta desigualdad se acerca a 0 cuando
n→∞, de manera que |Rn(x)|→ 0 por el teorema del emparedado, se sigue
que Rn(x)→ 0 cuando n→∞, de modo que sen x es igual a la suma de su
serie de Maclaurin, por el teorema 8.
Para referencias futuras enunciamos el resultado del ejemplo 4.
3 5 7
x x x
sen x x ...
3! 5! 7!
2n 1
n x
( 1) para toda x
n 0 (2n 1)!
