1. Ap´ndice A
e
An´lisis de la cuerda vibrante
a
El an´lisis que se realiza en este anexo sigue la formulaciones convencio-
a
nales de la mec´nica cl´sica y como tal puede encontrarse de forma parecida
a a
en multitud de libros de texto. Nuestro inter´s es estudiar los movimientos
e
que desplegar´ una cuerda te´rica, que estuviese anclada en sus dos extre-
ıa o
mos a puntos fijos y que fuera desplazada de su situaci´n de equilibrio por
o
un agente externo.
Fijemos, por lo tanto, nuestra atenci´n (c.f. Figura ??), en una cuerda
o
de longitud L, anclada en sus dos extremos a dos puntos fijos. Llamemos
y = y(x, t) a la funci´n que expresa el desplazamiento lateral de la cuerda en
o
un punto x, en un instante t, (cumpli´ndose siempre que 0 ≤ x ≤ L y t ≥ 0).
e
Cuando se produce una perturbaci´n de la cuerda de su situaci´n de
o o
equilibrio, por ejemplo, mediante un desplazamiento lateral de la misma en
un punto (es el caso, por ejemplo, que se produce cuando se pulsa la cuerda de
una guitarra) o, mediante percusi´n instant´nea (situaci´n que se da cuando
o a o
se impacta la cuerda de un piano con el martillo correspondiente una tecla)
podemos analizar el movimiento inducido en la cuerda.
El desarrollo que sigue a continuaci´n hace uso de la segunda ley de New-
o
ton, expresada en su forma m´s conocida: f uerza = masa x aceleracion.
a
Tambi´n resulta posible realizar el an´lisis, y tal vez resulte algo m´s elegan-
e a a
te, en base al principio de conservaci´n de la energ´ es decir al principio de
o ıa,
que la energ´ aportada a la cuerda inicialmente (bien en forma de un des-
ıa
plazamiento de su posici´n de equilibrio, bien en forma de velocidad inicial)
o
no se pierde sino que se mantiene constante a lo largo de todo el movimiento
(en el caso ideal de que se desprecien las fuerzas diversos fen´menos disipa-
o
tivos). Ambas aproximaciones responden a los mismos principios b´sicos de
a
la menc´nica te´rica y el resultado es id´ntico sea cual sea el camino elegido.
a o e
Bajo la hip´tesis de el desplazamiento de la cuerda de su posici´n de
o o
equilibro es muy peque˜o en comparaci´n con su longitud, podemos ignorar
n o
1
2. ´ ´
APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 2
los movimientos longitudinales de un segmento peque˜o (infinitesimal, como
n
suele decirse) de cuerda como el de la figura (c.f. Figura ??) y concentrarnos
exclusivamente en el movimiento transversal.
Haciendo la aproximaci´n habitual de que dy
o ds
dy
dx
cuando el ´ngulo
a
tendido por el segmento de cuerda sobre la horizontal es muy peque˜o y n
que la variaci´n de la tensi´n en horizontal es, tambi´n, muy peque˜a en
o o e n
comparaci´n con el valor inicial de la tensi´n T , tenemos que la fuerza neta
o o
ascendente sobre el segmento de cuerda es
∂y ∂y ∂ ∂y ∂2y
−T +T + (T )dx = T 2 dx (A.1)
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
y, esta fuerza debe ser igual a la masa del segmento (que puede expresarse
como la densidad lineal ρ por la longitud l) por la aceleraci´n lateral, es decir
o
∂2y ∂2y T ∂2y ∂2y
T 2
dx = ρ 2 dx y haciendo c2 = ⇒ c2 = 2 (A.2)
∂x ∂t ρ ∂x2 ∂t
Esta es la ecuaci´n que represnta la vibraci´n transversal de una cuerda
o o
tensionada en las condiciones ideales mencionadas.
Afortunadamente resulta bastante f´cil resolver esta ecuaci´n, pudiendo
a o
emplearse diversos m´todos matem´ticos. En cualquier caso, el problema,
e a
esta, lo que los matem´ticos llaman ’bien determinado’, si a la ecuaci´n
a o
anterior se le a˜aden las condiciones iniciales y las condiciones de contorno,
n
es decir: la condici´n de que los extremos de la cuerda est´n siempre en
o a
reposo, y la condiciones iniciales, que indican la posici´n y velocidad inicial
o
de la cuerda antes de dejarla libre donde L es la longitud de la cuerda:
∂
y(0, t) = y(L, t) = 0, y(x, 0) = y0 (x), (x, 0) = y0 (x)
˙ (A.3)
∂t
Una forma frecuente de resolver la ecuaci´n ?? es emplear el denominado
o
procedimiento de separaci´n de variables, es decir en buscar soluciones del
o
tipo y(x, t) = X(x)T (t), lo que da lugar a:
∂2X ∂2T 1 ∂2X 1 ∂2T
c2 T (t) = X(x) 2 ⇒ c2 = (A.4)
∂x2 ∂x X(x) ∂x2 T (t) ∂t2
Como el lado izquierdo de la ecuaci´n solamente puede ser una variable de
o
x y el lado derecho de t, la unica opci´n para que dicha ecuaci´n se cumpla
´ o o
es que ambos t´rminos sean igual a una constante que, por conveniencia,
e
suele denominarse −ω 2 . De esta forma la ecuaci´n diferencial original (en
o
3. ´ ´
APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 3
derivadas parciales de x y t) puede desglosarse en las siguientes ecuaciones
diferenciales simples
d2 X(x) ω 2 d2 T (t)
+ 2 X(x) = 0, + ω 2 T (t) = 0 (A.5)
dx2 c dt2
No deber sorprender la aparente manipulaci´n que este m´todo de resolu-
o e
ci´n conlleva. La ecuaci´n fundamental de la vibraci´n de la cuerda junto con
o o o
sus condiciones iniciales y de contorno, son, ya se ha se˜alado, lo que en ma-
n
tem´ticas se llama un problema bien determinado y esto significa que existe
a
una soluci´n y s´lo una que cumpla dichas condiciones. Cualquier m´todo
o o e
que nos lleve a encontrar dicha soluci´n nos debe dejar tranquilos de que
o
estamos ante la soluci´n ’real’ de la ecuaci´n en cuesti´n.
o o o
Es f´cil comprobar que la soluci´n general de las dos ecuaciones anteriores
a o
es de la forma
ω ω
X(x) = A sin( x) + B cos( x) T (t) = C sin(ωt) + D cos(ωt) (A.6)
c c
Donde A, B, C y D son constantes a determinar que nos permitir´n ase-
a
gurar el cumplimiento de la condiciones iniciales y de contorno. En particular,
como X(0)T (t) = X(L)T (t) = 0 para todo instante t, tenemos que B = 0 y
que cualquier A cumple la condici´n si se satisface el requisito ω L = nπ, don-
o c
de n es cualquier n´mero entero. Es decir la soluci´n general de la ecuaci´n
u o o
de la cuerda es:
∞
nπ nπc nπc
y(x, t) = sin( x) · [Cn sin( t) + Dn cos( t)] (A.7)
i=1
L L L
Y Cn , Dn ser´ series de coeficientes a determinar en funci´n de las
ıan o
condiciones iniciales a lo largo de la cuerda
En el caso de que la cuerda se pulse mediante un desplazamiento en
un punto de su extensi´n, o se golpee en un punto para luego ser libremente
o
abandonada a su vibraci´n tenemos que habr´n de cumplirse dos condiciones
o a
iniciales, una referida a la forma inicial de la cuerda y la otra a su velocidad
inicial.
Es decir, si llamamos f0 (x) a la funci´n que describe la forma inicial de
o
la cuerda y v0 (x)a la funci´n describe la velocidad inicial de la cuerda a lo
o
4. ´ ´
APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 4
largo de su extensi´n, se tendr´ que para t = 0:
o ıa
∞
nπ
f0 (x) = y(x, 0) = Dn sin( x)
n=1
L
∞ (A.8)
nπc nπ
v0 (x) = y(x, 0) =
˙ Cn cos( x)
n=1
L L
De donde puede deducirse el valor de los coeficientes Cn y Dn . En las
secciones siguientes, veremos dos ejemplos ilustrativos(, que se parecen -de
manera simplificada- a las situaciones que podemos encontrar en los casos de
guitarra y el piano.).
Sin embargo, es posible deducir un buen n´mero de propiedad intere-
u
santes de la ecuaci´n ?? incluso antes de aplicar ninguna de las condiciones
o
iniciales. Y, resulta util hacerlo as´ puesto que dicha ecuaci´n expresa de for-
´ ı o
ma bastante general (s´lo se ha llegado a ella imponiendo la condici´n de los
o o
extremos fijos) como vibra la cuerda de forma natural, independientemente
de como se excite su movimiento inicial. ¿Qu´ podemos deducir de ecuaci´n?.
e o
Entre otras cosas, por ejemplo las siguientes:
El movimiento de la cuerda es la suma de un n´mero infinito, en prin-
u
cipio, de movimientos que pueden interpretarse como independientes,
que suelen llamarse en f´ ısica ’modos’ de vibraci´n. Cada uno de es-
o
tos ’modos’ de vibraci´n conlleva una una forma unica de moverse la
o ´
cuerda, y su expresi´n normalizada (es decir reduciendo su amplitud
o
m´xima a 1 es cada uno de los t´rminos de la expresi´n sin( nπ x). La
a e o L
figura ??) muestra el aspecto de cada uno de estos modos. Como puede
verse se trata de formas de onda de longitud de onda decreciente. El
primer modo, a veces, suele llamarse modo fundamental y suele ser el
modo que tiende a contribuir m´s al movimiento, tanto en amplitud,
a
como en el porcentaje de energ´ absorvida.Seg´n sube el valor de n
ıa u
y los modos tiene una longitud de onda m´s corta, su contribuci´n al
a o
moviento suele ser menor. Adem´s, aunque el modelo te´rico usado,
a o
es perfectamente lineal (es decir el movimiento total puede estudiarse
como la suma de un conjunto de modos de vibraci´n independientes,
o
desacoplados entre si y sin amortiguamiento alguno) en la pr´ctica, los
a
modos altos van decayendo antes en el tiempo, debido a que en su mo-
vimiento si resultan m´s relevantes las fricciones internas que el an´lsis
a a
ha ignorado.
Cada uno de los modos tiene una evoluci´n llamada arm´nica en el
o o
tiempo, caracterizada por un movimiento peri´dico de frecuencia f
o
5. ´ ´
APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 5
dada por 2πf = nπ . Es decir por f = 2L . Este resultado es muy
L
nc
interesante porque, muestra que cada uno de los modos ’oscila’ con
una frecuencia creciente, as´ para si para n = 1, la frecuencia del pri-
ı
c
mier modo es f1 = 2L , las sucesivas frecuencias para n = 2, 3, . . . son,
2f0 , 3f0 , 4f0 , 5f0 , 6f0 , . . .
La combinaci´n particular de modos que son m´s ’motivados’ a vibrar,
o a
en una situaci´n determinada, viene dada por las condiciones iniciales,
o
es decir por el movimiento o desplazamineto otorgado a la cuerda. Lo
interesante es que cada modo ’suena’ de una forma diferente. As´ los ı
modos, altos suenan m´s agudos y los bajos m´s graves. El abanico
a a
de modos activos en un momento dado es lo que suele llamar en f´ ısi-
ca la composici´n esprectral de la vibraci´n y, puede adelantarse aqu´
o o ı,
que en l´ practica es lo que tiende a caracter´
a ızar el diferente timbre de
los instrumentos. Instrumentos con un timbre muy brillante generan
espectros en que los modos altos son importantes. Instrumentos m´s a
’c´lidos’ tienen modos de vibrar de baja frecuecia. En el caso de instru-
a
mentos complejos, la forma de los modos de vibraci´n es mucho m´s
o a
compleja que en el caso de la cuerda, pero responde (en el caso ideal) a
los mismos principios de superposici´n lineal de modos independientes
o
de frecuencia creciente.
En el caso de la cuerda vibrante, la ecuaci´n ?? muestra que siempre,
o
la cuerda vibra en sus modos naturales dando lugar, por lo tanto, a
la misma nota. Sin embargo, el peso de cada modo puede variar de-
pendiendo de la forma de actuar sobre la cuerda y eso dar´ lugar a un
a
brillo diferente en el sonido final. Esta experiencia es f´cil de realizar
a
con un guitarra, por ejemplo, pudiendo comprobarse que al pulsar la
cuerda m´s cerca de los puntos de apoyo, el sonido toma un caracter
a
m´s met´lico, indicaci´n de que se han activados modos m´s altos. Sin
a a o a
embargo, el modo fundamental estar´ tambi´n presente y ser´ el que
a e a
siga marcando el caracter de la nota.
En el caso de la cuerda vibrante, la frecuencia del modo fundamental
depende de forma inversa con la longitud de la cuerda. Esto permite de-
ducir que si se reduce la longitud de la cuerda a la mitad, manteniendo
la tensi´n longitudinal, se genera un sonido ’fundamental’ cuya frecuen-
o
cia es el doble. Si reduce a un tercio de la longitud original se genera un
’modo fundamental’ cuya frecuencia es el triple, y as´ sucesivamente. Es
ı
f´cil imaginar como ´sta pudo ser la forma en que los antig¨os descu-
a e u
brieron las leyes de la consonacia: poniendo diversas cuerda tensionadas
de diferente longitud y haci´ndolas sonar simultaneamente (??
e
6. ´ ´
APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 6
Cuadro A.1: Intervalos generados por los modos naturales
Modo Frecuencia Relaci´n caracter´
o ıstica Nombre del intervalo
1 f0
2 2f0 2:1 octava
3 3f0 3:2 quinta justa
4 4f0 4:3 cuarta justa
5 5f0 5:4 tercera mayor justa
6 6f0 6:5 tercera menor justa
7 7f0 7:6 tercera submenor
8 8f0 8:7 super segunda
9 9f0 9:8 segunda mayor
10 10f0 10:9 seguna menor
5 5f0 5:3 sexta mayor justa
8 8f0 8:5 sexta menor justa
7 7f0 7:4 s´ptima submenor
e
Hemos visto pues, que, al final, todos los movimientos de una cuerda
vibrante (anclada en los extremos) son una combinaci´n m´s o menos larga de
o a
movimientos simples de frecuencias crecientes. Es muy interesante observar
que las frecuencias asociadas a los modos de vibraci´n (as´ como las que se
o ı
derivan de ir reduciendo la longitud de la cuerda, en la forma se˜alada) estan
n
en la proporci´n 1, 2, 3, 5, 6, . . .. Pues la relaci´n entre los sonidos asociados
o o
a cada una de esas frecuencias es lo que, desde la antig¨edad se conoce como
u
los intervalos.
A.1. Aparici´n y significado de los intervalos
o
El concepto de intervalo juega un papel fundamental en el desarrollo de
las escalas musicales y tambi´n en la propia pr´ctica musical. Posiblemente,
e a
la forma m´s clara de introducir estos conceptos esta en hacerlo en este
a
momento, es decir, al estudiar los modos naturales de vibraci´n. De esta
o
forma, puede verse como los intervalos no son consecuencia de la existencia
de una escala musical sino, como se ver´ en su momento, su origen.
a
As´ se tiene que, usando la teminolog´ cl´sica habitual en los intervalos
ı ıa a
se tiene (en el cap´
ıtulo correspondiente al an´lisis inst´rico?? se motivar´ la
a o a
introducci´n de esta terminolog´ Si se toman los primeros (y por lo tanto
o ıa).
los m´s importantes) modos de vibraci´n de una cuerda puede construirse
a o
una tabla con las siguientes relaciones:
Naturalmente se pueden seguir identificando ratios y muchos de ellos han
7. ´ ´
APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 7
recibido nombres espec´ ıficos a lo largo de la historia (ver [? ] Apendice XX
1
secci´n III).
o
Los seis primeros modos de vibraci´n han dado lugar, por lo tanto, a
o
cinco intervalos b´sicos que, historicamente, se han considerado como ’con-
a
sonantes’ (y la experiencia ac´stica as´ lo confirma, porque son modos que
u ı
suenan entre si sin extridencia o tensiones, aunque el grado de aceptaci´n deo
la disonanc´ varia con el gusto personal y, sobre todo, con el entorno cul-
ıa
tural).Estos intervalos pueden expresarse como relaciones entre los primeros
n´meros naturales 1, 2, 3, 4, 5 y 6. El m´s consonante de todos los intervalos
u a
es el de octava, donde la frecuenc´ de la vibraci´n es exactamente el doble
ıa o
de la frecuencia fundamental.
Resulta importante, en este contexto, identificar los intervalos comple-
mentarios de estos primeros cuatro intervalos (omitiendo la octava) dentro
del intervalo de octava, porque dan lugar a otros intervalos utiles en el an´lisis
´ a
y a la pr´ctica musical. Por ejemplo. partiendo de una frecuencia fundamen-
a
3
tal f0 , si se aumenta una quinta se llega a 2 f0 , ¿cuanto le falta a este sonido
para llegar a la octava, es decir a 2f0 ? , la respuesta es 4 obviamente. De
3
una forma m´s gr´fica:
a a
3
f0 . . . . . . f0 . . . . . . 2f0
2
quintajusta= 3
2
cuartajusta= 4
3
octava
Asi, puede comprobase que los intervalos de cuarta y quinta son comple-
mentarios. Por su parte los intervalos de tercera mayor y tercera menor, dan
lugar a los intervalos de sexta menor y de sexta mayor respectivamente. La
discusi´n iniciada en esta secci´n ser´ importante al hablar de la aparici´n y
o o a o
evoluci´n de las escalas m´sicales, que son, al f´ y al cabo, los componentes
o u ın
b´sicos con que trabajamos para hacer m´sica. As´ podra verse que se pue-
a u ı
de construir la totalidad de la escalas musicales occidentales a partir de la
relaciones interv´licas se˜aladas, simplemente mediante superposicion y tras-
a n
laci´n (aunque este procedimiento dar´ luego lugar al interesante fen´meno
o a o
de las escalas temperadas y su dificultad de utilizaci´n pr´ctica). En la tabla
o a
?? se ha incluido tambi´n, fundamentalmente a t´
e ıtulo informativo, el inter-
valo de s´ptima menor y de segunda mayor, pero no es necesario elaborar
e
aqu´ m´s sobre su significado, que se ver´ m´s claramente al hablar de la
ı a a a
1
Como se ver´ en su momento, Esta diversidad de intervalo, conducir´ a una cierta
a a
complicaci´n pr´ctica que fue ’resuelta’ hac´ el siglo XVI con la adopci´n de las escalas
o a ıa o
temperadas. Con la adopci´n de dichas escalas desparece, por ejemplo la diferenc´ entre la
o ıa
terecera submenor y la tercer menor justa, utiliz´ndose en la actualidad la denominaci´n
a o
de tercera menor, simplemente.
8. ´ ´
APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 8
construcci´n de las escalas musicales.
o
En cualquier caso, como ya hemos se˜alado anteriormente, los modos
n
m´s importantes (los que en la pr´ctica tienden a absorver m´s energ´ y
a a a ıa
a comunicar m´s energ´ al aire en forma de ondas de presi´n que nosotros
a ıa o
escuchamos son los m´s bajos. De esta forma puede verse como, a parte de
a
la relaci´n inmediata de octava, los intervalos m´s importantes son los de
o a
quinta y los de cuarta. Esto explica, en parte, la importancia hist´rica del
o
intervalo de quinta y su papel fundamental. Y, tanto por ser complementario
de este, como porque aparece en el segundo modo de vibraci´n, el de cuarta.
o
Estos intervalos marcan el caracter del sonido generado por la cuerda y, ya
se ver´ como incluso juegan un papel fundamental en el an´lsis arm´nico.
a a o
As´ cuando se hable de grados tonales y se ve´ lo fundamental que resulta
ı, a
la relaci´n del llamado V grado con el grado I, recuerdese que aquel an´lisis
o a
encuentra parte de su raz´n de ser en los sencillos y hermosos resultados
o
mostrados en esta secci´n.
o
A.2. Estudio de la cuerda pulsada
El an´lisis realizado en la secci´n anterior resulta v´lido para cualquier
a o a
cuerda anclada en sus extremos que vibre de forma natural tras una pertur-
baci´n inicial. Es un resultado, por lo tanto, bastante general, y sirve, por
o
lo tanto, para imaginar como funcionan distintos tipos de intrumentos de
cuerda, por ejemplo el piano o la guitarra. Ahora bien, si queremos estudiar
un poco m´s en profundidad un instrumento en particular, por ejemplo la
a
guitarra o el arpa, debemos introducir las condiciones iniciales propias de la
perturbaci´n inicial que dicho instrumento conlleva.
o
As´ tomemos una cuerda de longitud L y introduzcamos un peque˜o
ı n
desplazamiento lateral δ0 en un punto x0 de la cuerda, ver figura ??, lue-
go abandonemos la cuerda a su vibraci´n natural. Las condiciones iniciales
o
asociadas a esta situaci´n son:
o
y(x, 0) = 0, para 0 ≤ x ≤ L
˙ and (A.9)
δ0 L−x
y(x, 0) = x, para x ≤ x0 y(x, 0) = δ0 , para x0 ≤ x ≤ L (A.10)
x0 L − x0
Al igual la ecuaci´n ?? con la ?? se deriva que que los Cn tienen que
o
ser todos nulos, ya que esa es la unica forma en que dicha condici´n puede
´ o
ser cumplida. Por lo que respecta al desplazamiento inicial la sustituci´n
o
de la expresi´n f0 en la ecuaci´n ?? por la expresiones ?? permite obtener
o o
9. ´ ´
APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 9
los Dn . Para ello se pueden seguir diversos procedimientos. Uno sencillo es
multiplicar ambos lados de la ecuaci´n ?? por sin( mπx ), donde m = 1, 2, 3, ...
o L
e integrar en el intervalo [0, L]. Esto da
L ∞ L
mπx nπ mπx
f0 (x) sin( )dx = Dn sin( x) sin( )dx (A.11)
0 L n=1 0 L L
La integraci´n del lado derecho de la ecuaci´n ?? es f´cil 2 , pudiendo demos-
o o a
trase que los Dn toman la siguiente expresi´n:
o
L
2 nπx
Dn = f0 (x) sin( )dx (A.12)
L 0 L
Esta expresi´n permite calcular que importancia tiene cada modo de vibra-
o
ci´n dentro de la composici´n espectral del desplazamiento inicial cada uno
o o
de lo modos naturales de vibraci´n de la cuerda. 3
o
Sustituyendo en la ecuaci´n ?? f0 por las expresiones dadas en ?? e
o
integrando, se llega al siguiente resultado:
2L2 δ0 nπx
Dn = sin( ) (A.13)
n2 π 2 x0 (L − x0 ) L
Es interesante modificar la expresi´n anterior mediante el simple cambio de
o
variable x0 = ξ0 L donde ξ ≤ 0 y representaria la fracci´n de L donde se
o
produce el desplazamiento inicial de la cuerda
2δ0
Dn = 2 π 2 ξ (1
sin(nπξ) (A.14)
n 0 − ξ0 )
Es interesante observar que los Dn no dependen de la longitud de la cuerda
sino del punto relativo de la cuerda donde se pulsa. El caso mas sencillo es
cuando la cuerda se pulsa exactamente en su centro y entonces ξ = 1/2,
quedando que
8δ0 nπ
Dn = 2 2 sin( ) (A.15)
(n π) 2
En este caso, se tiene que D01 = 0, 8106, lo que puede visualizar pensando
δ
el primero modo toma una amplitud m´xima del 81 % del desplazamiento
a
2
La integraci´n es sencilla si se tiene en cuenta que solamente los t´rminos en que
o e
2 (1−cos(2α))
n = m no son nulos y que sin (α) = 2 .
3
Se trata, l´gicamente, del bien conocido desarrollo en serie de Fourier de la funci´n f0
o o
o, si se prefiere, de la proyecci´n de la funci´n f0 en el espacio funcional ortogonal formado
o o
por los vectores sin( mπx )
L
10. ´ ´
APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 10
Cuadro A.2: Peso relativo de los modos naturales. Caso de la cuerda pulsada
ξ
modo 0,5,0 0,35 0,25 0,10 intervalo
1 100,00 % 100,00 % 100,00 % 100,00 % fundamental
2 - 22,70 % 35,36 % 47,55 % octava
3 11,11 % 1,95 % 11,11 % 29,09 % quinta justa
4 - 6,67 % - 19,24 % octava
5 4,00 % 3,17 % 4,00 % 12,94 % tercera mayor
6 - 0,96 % 3,93 % 8,55 % quinta justa
7 2,04 % 2,26 % 2,04 % 5,34 % s´ptima
e
8 - 1,03 % - 2,97 % octava
9 1,23 % 0,63 % 1,23 % 1,23 % segunda mayor y/o novena
10 - 1,12 % 1,41 % - tercera mayor
inicial. Adem´s, es f´cil ver que todos los modos pares son nulos y que en el
a a
resto la amplitud disminuye con n2
Resulta interesante estudiar como evoluciona, la composici´n exprectral,
o
en definitiva los sucesivos valores de Dn seg´n se desplaza el punto de aplica-
u
ci´n del centro hacia los extremos. As´ La tabla ?? muestra el peso relativo
o ı
de cada uno de los modos frente al modo fundamental al que se le ha dado
el valor de referencia de 100.
Como puede verse los modos m´s relevantes son los que corresponden al
a
fundamental, a la primera octava y la de quinta justa y, en menor medida,
al de tercera mayor. Resultado interesante ciertamente, y que explica, en
parte, porque los llamados acordes triadas mayores tiene, precisamente, como
estructura la nota fundamental, la tercera mayor y la quinta.
De forma complementaria la figura ?? permite visualizar la evoluci´n del
o
peso de los modos (los modos 2 a 10) seg´n el punto de pulsaci´n se mueve del
u o
centro a uno de los extremos. Puede verse como el segundo modo (la octava,
de frecuencia 2f0 toma en seguida importancia y que el resto de los modos
superiores requieren que nos situemos en el cuarto m´s pr´ximo al punto de
a o
apoyo para que se produzca valores significativos. De hecho el valor ξ = 0, 25
es un punto interesante (como tambi´n puede verse en la tabla) porque los
e
tres primeros modos (el fundamental, la octava y la quinta) tienen valores
significativos y el resto todav´ no, mientras que m´s pr´ximos al punto de
ıa a o
apoyo los modos superiores toman mucha importancia.
Estos resultados podr´ sugerir que el punto ´ptimo para pulsar una
ıan o
cuerda de guitarra ser´ a un cuarto de su punto de apoyo (o quizas un
ıa
poco m´s a la derecha hacia ξ = 0, 2 donde aparece la tercera mayor), ya
a
que generaria un sonido m´s arm´nico, m´s rico. Resulta curioso comprobar
a o a
11. ´ ´
APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 11
60,00%
Modo 2
Modo 3
50,00%
Modo 4
Modo 5
Modo 6
40,00%
Modo 7
% Amplitud respecto modo 1
Modo 8
Modo 9
30,00%
Modo 10
20,00%
10,00%
0,00%
0,50 0,48 0,45 0,43 0,40 0,38 0,35 0,33 0,30 0,28 0,25 0,23 0,20 0,18 0,15 0,13 0,10 0,07 0,05 0,02 0,00
-10,00%
-20,00%
Punto pulsación
Figura A.1: Evoluci´n del peso de los modos con el punto de pulsaci´n
o o
que esto no es una mera especulaci´n. En efecto, si se toma una guitarra se
o
podr´ comprobar como un cuarto de la longitud de la cuerda medida desde
a
el puente nos situa justo en la zona habitual de pulsaci´n, en cima de la boca
o
de la caja. Pulsando una cuerda al aire en ese punto, se genera un sonido
calido y pleno. Si por ejemplo se busca el punto medio de la guitarra (que
se corresponde con el punto de contacto del mastil con la caja) se ver´ que
a
queda un sonido puro pero poco rico, correspondiente al caso en que casi toda
la energ´ es abosrvida por el primer modo. Por contra, pulsar muy cerca del
ıa
puente arroja efectivamente sonidos met´licos que delatan la presencia de
a
arm´nicos superiores.
o
Tambi´n puede observarse (de forma general a partir de la ecuaci´n ??)
e o
como se˜ala Helmholtz [? ] que si el punto de pulsaci´n corresponde con una
n o
divisi´n entera de la cuerda, el modo correspondiente y todos sus m´ltiplos
o u
son nulos.
Un aspecto no comentando, pero que tiene su importancia en la pr´ctica
a
de los instrumento de cuerda pulsada es la influencia de que la forma de pul-
12. ´ ´
APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 12
saci´n tiene sobre el sonido generado. En efecto, el modelo sencillo utilizado
o
en esta secci´n, contempla un desplazamiento de un punto, de forma que la
o
cuerda toma una forma puntiaguda en el momento de m´xima tensi´n. Esta
a o
forma de desplazamiento se corresponder´ aproximadamente, con pulsaci´n
ıa, o
mediante un objeto te poca superficie, por ejemplo el borde de un cuchillo.
En el caso de la guitarra, la pulsaci´n real se realiza mediante los dedos. Si
o
la pulsaci´n se realiza con la yema del dedo, la forma del desplazamiento ori-
o
ginal tiene que ser m´s redondeada que la que el modelo sencillo a supuesto.
a
Esta forma m´s redondeada del punto de apoyo, inevitablemente dar´ lugar
a a
a que la composi´n espectral del desplazamiento inicial (y por lo tanto del
o
movimiento) sea m´s suave y que los arm´nicos superiores tengan menos pe-
a o
sos. Si la pulsaci´n se realiza con la u˜a del dedo, la forma del desplazamiento
o n
inicial ser´ m´s puntiaguda y se generaran arm´nicos de mayor frecuencia.
a a o
Esta es circunstancia es de hecho un aspecto discutido en la pr´ctica inter-
a
pretativa de la guitarra, donde algunos maestros prefieren usar m´s el ataque
a
con u˜a y otros gustan m´s de usar la yema. A este respecto Dionisio Aguado
n a
en su hist´rico m´todo de guitarra se˜ala [? ]
o e n
Yo siempre hab´ usado de ellas [las u˜as]; pero luego que o´ a
ıa n ı
mi amgio Sor, me decid´ a no usarla en el pulgar, y estoy muy
ı
contento de habverlo hecho, porque la pulsaci´n de la yema, de
o
este modo, cuando no pulsa paralelamente a la cuerda, produce
sonidos en´rgicos y gratos, que lo que conviene a la parte del bajo,
e
que regularmente se ejecuta en los bordones: en los dem´s dedos
a
las conservo.
Considero perferible tocasr con u˜as.Buen usadas, el sonido que
n
resulta es limpio, met´lico y dulce. Se han de cortar en forma oval
a
y han de sobresalir poco de la superficie de la yema.
A.3. Tensi´n transmitida a la caja de reso-
o
nanc´
ıa
El modelo de cuerda pulsada resulta muy util por que, siendo muy sim-
´
ple, arrojar unos resultados muy ricos. Ahora bien, una de las simplificaciones
realizadas en la construcci´n del modelo, a saber, que los extremos en que se
o
apoya la cuerda son perfectamente r´ ıgidos implicar´ una situaci´n pr´ctica
ıa o a
poco util desde el punto de vista m´sical. En efecto, si los extremos fuesen
´ u
perfectamente inamobibles, la cuerda vibrar´ y transmitir´ algo de su vibra-
ıa ıa
ci´n al a´ pero lo har´ de una forma casi impercetible ya que su peque˜a
o ıre, ıa n
superficie cortan el a´ al moverse y apenas si movilizan una masa apreciable
ıre
13. ´ ´
APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 13
de a´ De esta forma (y la experiencia puede realizarse) apenas se oir´ un
ıre. ıa
zumbido proveniente de la cuerda. Por esta raz´n, todos los instrumentos
o
de cuerda estan motados sobre una caja de resonancia (por ejemplo, en la
guitarra o en los instrumentos de madera). Los puntos de apoyo de la cuerda
en estos instrumentos no son perfectametne fijos, sino no que son capaces de
transmitir una peque˜a vibraci´n a la estructura de la caja, la cu´l vibra y,
n o a
´sta s´ transmite la vibraci´n al aire.
e ı, o
Es interesante reparar que aunque visualmente el movimiento de los apo-
yos sea imperceptible, este existe y adem´s se realiza siguiendo exactamente
a
la frecuencias correspondientes a cada uno de los modos de vibraci´n. Eno
cierta forma, es como si cada modo de vibraci´n se transmite a trav´s de los
o e
apoyos a la caja. Ahora bien, el dise˜o de la caja afecta a que modos tiene
n
m´s efecto sobre la vibraci´n de la misma. Siendo esta relaci´n el objeto de
a o o
an´lisis del ’acomplamiento’ de la caja con modos de vibraci´n de las cuerdas.
a o
En la secci´n anterior hemos estudiado como diversos modos tienen di-
o
versas amplitudes y, por lo tanto, como los diversos modos contribuyen al
movimiento de la cuerda en diferente proporci´n. Resulta tambi´n de inter´s
o e e
estudiar como evoluciona la fuerza que la cuerda transmite al soporte. El
c´lculo de esta tensi´n es elemental una vez que se ha resuelto la ecuaci´n
a o o
del movimento. En efecto, teniendo en cuenta que la tensi´n vertical Ty y
o
recordando la soluci´n general y que Cn = 0 y que los Dn est´n dados por ,
o a
se tiene
∂y 2T δ0 nπc
Ty = T = sen(nπξ0 ) cos( t) (A.16)
∂x Lnπξ0 (1 − ξ0 ) L
Resultado que ya permite ver que, curiosamente, la tensi´n vertical en el
o
extremo deca´ con el inverso de n/ sen(nπξ0 ) en vez de con n2 / sen(nπξ0 )
e
como es el caso de la amplitud. Es decir, la amplitud de los modos superio-
res deca´ m´s r´pidamente que la tensi´n que estos modos producen en el
e a a o
extremo. En suma, los modos superiores pueden tener m´s importanc´ en el
a ıa
peso del sonido, de lo que sosprechabamos, debido a que lo que cuenta es su
capacidad para transmitir vibraci´n a la caja a trav´ s de la tensi´n generada
o e o
en su extremo.
La figura muestra la evoluaci´n del peso de la tensi´n asociada a cada
o o
modo, respecto al modo, fundamental, seg´n el punto de apoyo se desplaza
u
del centro hac´ el extremo de aoyo.
ıa
En este an´lisis no hemos valorado cual puede ser el orden de magnitud
a
de la tensi´n vertical en el extremo. Para valorar este orden de magnitud
o
basta tomar el caso m´s sencillo, el de la cuerda pulsada en punto medio.
a
Sustituyendo en la ecuaci´n ?? los vaores ξ0 = 1/2 y n = 1 y suponiendo que
o
δ0 /L ∼ 0, 01 se tiene que la tensi´n para x = 0 es T0 /T ∼ 2,5 %. Es decir
o
14. ´ ´
APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 14
120,00%
100,00%
Modo 1
Modo 2
80,00% Modo 3
% Tension respecto al modo 1
Modo 4
Modo 5
60,00% Modo 6
Modo 7
Modo 8
40,00%
Modo 9
Modo 10
20,00%
0,00%
0,50 0,48 0,45 0,43 0,40 0,38 0,35 0,33 0,30 0,28 0,25 0,23 0,20 0,18 0,15 0,13 0,10 0,07 0,05 0,02 0,00
-20,00%
-40,00%
Punto de pulsación
Figura A.2: Evoluci´n de la tension vertical con el punto de pulsaci´n
o o
la tensi´n vertical es del orden de la cent´nsima parte de la tensi´n lineal
o e o
de la cuerda, lo cual no es tan poco, si se recuerda que las cuerdas de los
instrumentos pueden llegar a tener una tensi´n considerable.
o
Otra cosa es como responda la caja a dicha tensi´n, que tiene tambi´n
o e
un caracter peri´dico. Y esto es objeto del an´lisis del acomplamiento de las
o a
vibraciones de la cuerda con la caja.
A.4. Acomplamiento con la caja de resonanc´
ıa
En un instrumento real, la calidad del sonido depende de forma funda-
mental de la forma y estructura de la caja de resonancia. Como ya hemos
comentado, es realmente la caja (con su mayor) superficie la que puede movi-
lizar el aire de forma significativa para hacerlo llegar a nuestro oidos. Ahora
bien, ¿como se relaccionan las vibraciones de la cuerda con las de la caja?.
En an´lisis de esta interacci´n se puede hacer de forma, relativamente
a o
simple, pensando que la caja, como tal, tambi´n tiene unas formas naturales
e
15. ´ ´
APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 15
de vibrar, unos modos naturales de vibraci´n y, a partir de ah´ estudiando
o ı,
como interact´an, o acoplan, los modos de vibrar de la cuerda con los de la
u
caja.
Los modos de vibrar de la caja de resonancia son, l´gicamente, mucho
o
m´s complejos que los que corresponden a la cuerda, b´sicamente por que la
a a
caja tiene una estructura y forma m´s compleja. De entrada se trata de un
a
cuerpo tridimensional y sus vibraciones ser´n tridimensionales (aunque las
a
m´s importantes e interesantes ser´n las que suponen desplazamiento de la
a a
tapa superior e inferior en sentido perpendicular, ya que estos modos son los
que pueden movilizar un volumen apreciable de aire.
Hoy en d´ existen m´todos muy bien establecidos para estudiar los modos
ıa e
de vibraci´n de cualquier objecto. Por un lado se pueden realizar mediciones
o
e a ´
experimentales (lo que es el m´todo m´s preciso). Estas consisten en excitar
la caja con una vibraci´n cualquiera y medir su respuesta para identificar
o
cuales son sus modos de vibraci´n. Estos modos se corresponder´n a fre-
o a
cuencias concretas y a formas espec´ ıficas. La forma de vibraci´n tambi´n
o e
puede medirse f´cilmente mediante la utilizaci´n de aceler´metros, esto la
a o o
colocaci´n de instrumentos (llamados transductores) que miden el desplaza-
o
mientos de puntos espec´ ıficos del objeto. De esta forma se puede medir con
gran precisi´n cuales son las frecuencias y las formas de los modos naturales.
o
La segunda forma de realizar este an´lisis consiste en la construcci´n de
a o
modelos n´mericos del objeto. Se pueden emplear varias t´cnicas, pero la m´s
u e a
extendida y util es la construcci´n de modelos a base de los llamados Elemen-
´ o
´
tos Finitos. Este tipo de modelos recoge de forma aproximada la estructura
del objeto y permite, mediante software adecuado, deducir los modos na-
turales de vibraci´n del modelo, que aproximadamente ser´n los del objeto
o a
real. En la medida de que le modelo se´ m´s sofisticado los resultados de este
a a
m´todo tender´n a coincidir con los resultados experimentales.
e a
Todo estos an´lisis son bien conocidos y, han sido objeto de m´ltiples
a u
estudios, cuyo an´lisis no es necesario hacer aqu´ Baste sin embargo se˜alar
a ı. n
algunos resultados ilustrativos, como por ejemplo los reportados por Russell
[? ] que dan lugar a los siguientes modos de vibraci´n de una guitarra ac´stica
o u
Hummingbird: 103 Hz, 188 Hz, 202 Hz, 231 Hz, 262 Hz, 315 Hz, 385 Hz,
481 Hz Hz, 749 Hz. De cuya lista se han eliminado los modos que Rusell
considera estructurales, es decir deformaciones de la guitarra (del mastil por
ejemplo) que no producen una presi´n sobre el aire en la caja ac´stica. Russel
o u
considera que los seis primeros modos (correspondientes a lo que ´l llama
e
frecuencias bajas y medias son los m´s relevantes desde el punto de vista
a
ac´stico, especialmente los tres primeros). La figura ?? tambi´n debida a
u e
Russel muestra uno de los modos de vibraci´n obtenidos, en particular el
o
que corresponde a 188 Hz.
16. ´ ´
APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 16
Figura A.3: Ejemplo de modo de vibracion segun Russell, 188 Hz
En lo que respecta a la interacci´n con la cuerda, se trata entonces de ver
o
como esos modos de la caja interactuan con los modos de la cuerda. Para
hacernos una idea orientativa del mecanismo. Basta analizar la respuesta de
un modelo que tenga un unico modo de vibraci´n y que este sometido a una
´ o
fuerza externa de caracter peri´dico (la tensi´n en el punto de apoyo). Otra
o o
forma ser´ estudiar la vibraci´n conjunta de la cuerda con el modo de la
ıa o
caja, pero puede verse que como la masa de la caja y de la cuerda son muy
diferentes, las vibraciones son pr´cticamente independientes, es decir estan
a
desacopladas: la vibraci´n del caja no afecta a la de la cuerda significativa-
o
mente.
En estas condiciones el modelo sencillo ser´ el de la figura ??, donde se
ıa
ha introducido el fen´meno de amortiguamiento del modo correspondiente a
o
la caja. Esto es importante pues claro que en este caso la caja si que presenta
una amortiguamiento significativo, sobre todo porque irrad´ energ´ a trav´s
ıa ıa e
de la impulsi´n que hace del ´ire. El tipo de amortiguamiento utilizado en el
o a
modelo es el habitual y sencillo amortiguamiento viscoso (proporicional a la
17. ´ ´
APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 17
velocidad), a´n cuando el real pueda no responder a este modelo. Este tipo
u
de amortiguamiento tiene la ventaja de que da lugar a ecuaciones sencillas y
bien conocidas que pueden analizarse de forma elemental, como se hizo antes
para las vibraciones libres de la cuerda.
F=f0sin(ωt)
m
k c
Figura A.4: Modelo para el estudio de la vibraci´n forzada
o
En estas condiciones se puede demostrar f´cilmente que si se llama m a la
a
masa del k a la rigidez del muelle (siendo por lo tanto la frecuencia natural
k
de vibraci´n de ese sistema f0 la que corresponde a ω0 = 4π 2 f0 = m , la
o 2 2
respuesta de la amplitud m´xima de la vibraci´n x sigue la expresi´n
a o o
F 1
x= (A.17)
k (1 − ω2
2
ω2
)2 + (2ζ ω2 )2
ω0 n
c
donde ζ ser´ el factor de amortiguamiento, definido como ζ =
ıa cr
, siendo
cr el conocido como amortiguamiento cr´ıtico 4 y vale c2 = 4mk.
r
4
El significado de este valor se entiende f´cilmente al estudiar las vibraciones libres de
a
un sistema amortiguado. Es aquel valor que justamente separa los r´g´ e ımenes de amortigua-
miento super-cr´ıtico y sub-cr´
ıtico. En el amortiguamiento super-cr´ ıtico, el movimiento libre
de la masa esta dominado por la amortiguaci´n y la masa se para antes de completar una
o
oscilaci´n. En el amortiguamiento sub-crt´
o ıtico, la amortiguaci´n no puede con la vibraci´n
o o
y la masa oscila aunque, l´gicamente, acaba par´ndose. Con el valor del amortiguamiento
o a
cr´
ıtico, la masa se parar´ justa en su posici´n de reposo natural.
ıa o
18. ´ ´
APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 18
De esta expresi´n es f´cil ver que la amplitud de la vibraci´n varia con-
o a o
siderablemente al variar la pulsaci´n de la excitaci´n ω, siendo fundamental
o o
su relaci´n con la pulsaci´n correspondiente al modo natural de vibrar ω0 .
o o
La figura ?? muestra los bien conocidos resultados correspondiente a este
modelo sencillo.
5
4,5
Factor de amortiguación
4
1
3,5 0,5
0,25
Amplitud relativa
0,15
3
0
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
Frecuencia de excitación / frecuencia natural
Figura A.5: Amplitud de la oscilaci´n forzada
o
De lo anterior se deduce que interesa que la caja de resonancia tenga
modos naturales de vibraci´n que est´n en el rango de la frecuencias que
o e
tienen inter´s desde el punto de vista musical. Naturalmente, no existir´n
e a
modos de vibraci´n para todas las notas de inter´s, pero en tanto haya una
o e
cobertura razonable del rango de inter´s la guitarra sonar´ bien.
e a
En la pr´ctica musical de la guitarra la m´sica se suele escribir una octava
a u
por encima de lo que realmente suena. Es decir, el ’la’ central (el que esta
justo por encima de la clave de sol en el pentrama) suena realmente a 220 Hz
en vez de lo que ocurre en otros instrumentos en los que suena a 440 Hz. Esta
consideraci´n permite estimar que la mayor parte de los tonos fundamentales
o
que se encuentran en la m´sica para guitarra podr´ estar entre los 110 Hz y
u ıan
19. ´ ´
APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 19
los 880 Hz (los dos ’la’ por encima y por debajo del referido). En este sentido
cabr´ esperar que los pricipales modos de vibraci´n de la caja de resonancia
ıa o
esten en este rango de frecuencias, lo que los resultados de ....., entre otros
muchos, vienen a confirmar.
A.5. Estudio de la cuerda percutida
El an´lisis del modelo de la cuerda pulsada nos ha servido para iden-
a
tificar un buen n´mero de propiedades interesantes de los tonos musicales.
u
Dichon an´lisis tiene adem´s el inter´s de que presentra resultados que pue-
a a e
den generalizarse a otros instrumentos m´s complejos. El an´lisis de dichos
a a
instrumentos mediante m´todos matem´ticos puede llegar a ser muy com-
e a
plejo y, por otro lado, resulta innecesario para el prop´sito de este libro.
o
Existe sin embargo un instrumento al que si dedicaremos una minima
atenci´n adicional: el piano. Este instrumento consiste en una serie de cuerdas
o
tensadas que, a diferencia de la guitarra, no son pulsadas sino percutidas o
impactadas por un martillo. El martillo es activado al apretar una tecla,
siendo la velocidad del impacto dependiente de la velocidad (’la fuerza suele
decirse’) con que se aprieta la tecla.
Como pasa con la guitarra, la t´cnica constructiva del piano ha ido me-
e
jorando a lo largo de los siglos y un buen piano actual es un elemento muy
sofisticado con inumerables detalles constructivos que son fruto de la expe-
riencia e inventiva acumulada de cientos o miles de artesanos. As´ mode-
ı,
lar adecuadamente el piano ser´ de nuevo labor compleja que no podemos
ıa
abordars. Sin embargo, si puede abordarse el estudio de un caso simplificado
consistente en una cuerda tensada en sus extremos que es impactada en un
instante por un martillo que luego se retira instant´neamente. Como luego
a
comentaremos este caso se diferencia de la mec´nica real del piano en algunos
a
aspectos importantes pero su estudio no deja de tener inter´s.e
Asi, las condiciones iniciales correspondientes a este caso ser´
ıan
y(x, 0) = 0 yy(x, 0) = 0 para todox = x0 yy(x, 0) = v0 parax = x0 (A.18)
˙ ˙
donde x0 ser´ el punto de impacto y v0 la velocidad inicial impartida a
ıa
dicho punto.
Puede demostrarse f´cilmente, siguiendo pasos muy similares a los em-
a
pleados en la secci´n ?? que el resultado es de la forma ??, donde Dn = 0 y
o
2v0 nπx0
Cn = sin( ) (A.19)
nπc L
Este resultado difiere, fundamentalmente, del obtenido para la cuerda pul-
sada en que la amplitud m´xima decae con el inverso de n mientras que en
a
20. ´ ´
APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 20
aquel caso lo hac´ con el de n2 . Esta simple observaci´n ya nos indica que
ıa o
cabe esperar que los arm´nicos superiores sean m´s importantes en el caso
o a
de la cuerda percutida.
En efecto la representaci´n de la soluci´n anterior en forma gr´fica (ver
o o a
figura ??) muestra los modos no solamente no decaen tan r´pidamente como
a
en el caso de cuerda pulsada sino que en ciertas zonas (cuando el punto de
impacto se sit´a alrededor de 0, 1) en que los primeros modos tienen todos
u
una amplitud similar.
100,00%
Modos
80,00%
1 2
3 4
% amplitud respecto al primer modo
60,00%
5 6
7 8
40,00%
9 10
20,00%
0,00%
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60
-20,00%
-40,00%
Punto de imapcto
Figura A.6: Amplitud de los modos en la caso de la cuerda percutida
En el caso real del piano, estos resultados se ven modificados de forma
relevante, porque realmente el impacto del martillo no se corresponde con
el que representa el modelo anterior. Los martillos del piano tienen una ca-
beza acolchada, de diversa elasticidad, que se comprime en el momento del
impacto y que hace que el empuje no sea realmente instant´neo sino que
a
el martillo empuje la cuerda durante unos breves instantes. Helmholtz [? ]
analiza y comenta este caso en detalle en su monumental obra. De hecho rea-
liza un an´lisis matematem´tico algo m´s complejo que el aqu´ presentado
a a a ı
21. ´ ´
APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 21
para presentar unos resultados algo m´s realistas. Adem´s, recoje comen-
a a
tarios muy interesantes sobre experiencia pr´ctica percutiendo cuerdas de
a
piano real, as´ como observando el dise˜o que los artesanos han ido dando a
ı n
los martillos, dise˜o que como el comenta suele ir cambiando segun uno se
n
mueve a lo largo de las teclas del piano.
Existen multitud de an´lisis m´s recientes, como por ejemplo los realiza-
a a
dos por Hall[? ], que realiza una comparaci´n entre los resultados te´ricos,
o o
derivados de modelar diversos grados de elasticidad del martillo. Uno de sus
resultados consiste en la medici´n experimental de la respuesta modal del
o
piano cuando se pulsa el do central. Estos resultados se muestran en la figura
??.
Es interesane recordar que todos estos hermosos resultados no hacen sino
explicar o confirmar lo que los artesanos ’lutiers’ han ido aprendiendo du-
rante siglos. Ellos han sido capaces de acumular una experiencia r´ ıquisima
y construir unos instrumentos hermosos y maravillosos, y, ciertamente, para
ello no han necesitado de ecuaciones ninguna clase sino de paciencia, ensayo
y cari˜o por trabajo bien hecho. El resultado de esta combinaci´n es natu-
n o
ralmente superior a la que cualquier se llegar´ con el an´lisis te´rico m´s
ıa a o a
sofisticado.
22. ´ ´
APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 22
Figura A.7: Respuesta modal de un piano al do central