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  1. 1. Ap´ndice A eAn´lisis de la cuerda vibrante a El an´lisis que se realiza en este anexo sigue la formulaciones convencio- anales de la mec´nica cl´sica y como tal puede encontrarse de forma parecida a aen multitud de libros de texto. Nuestro inter´s es estudiar los movimientos eque desplegar´ una cuerda te´rica, que estuviese anclada en sus dos extre- ıa omos a puntos fijos y que fuera desplazada de su situaci´n de equilibrio por oun agente externo. Fijemos, por lo tanto, nuestra atenci´n (c.f. Figura ??), en una cuerda ode longitud L, anclada en sus dos extremos a dos puntos fijos. Llamemosy = y(x, t) a la funci´n que expresa el desplazamiento lateral de la cuerda en oun punto x, en un instante t, (cumpli´ndose siempre que 0 ≤ x ≤ L y t ≥ 0). e Cuando se produce una perturbaci´n de la cuerda de su situaci´n de o oequilibrio, por ejemplo, mediante un desplazamiento lateral de la misma enun punto (es el caso, por ejemplo, que se produce cuando se pulsa la cuerda deuna guitarra) o, mediante percusi´n instant´nea (situaci´n que se da cuando o a ose impacta la cuerda de un piano con el martillo correspondiente una tecla)podemos analizar el movimiento inducido en la cuerda. El desarrollo que sigue a continuaci´n hace uso de la segunda ley de New- oton, expresada en su forma m´s conocida: f uerza = masa x aceleracion. aTambi´n resulta posible realizar el an´lisis, y tal vez resulte algo m´s elegan- e a ate, en base al principio de conservaci´n de la energ´ es decir al principio de o ıa,que la energ´ aportada a la cuerda inicialmente (bien en forma de un des- ıaplazamiento de su posici´n de equilibrio, bien en forma de velocidad inicial) ono se pierde sino que se mantiene constante a lo largo de todo el movimiento(en el caso ideal de que se desprecien las fuerzas diversos fen´menos disipa- otivos). Ambas aproximaciones responden a los mismos principios b´sicos de ala menc´nica te´rica y el resultado es id´ntico sea cual sea el camino elegido. a o e Bajo la hip´tesis de el desplazamiento de la cuerda de su posici´n de o oequilibro es muy peque˜o en comparaci´n con su longitud, podemos ignorar n o 1
  2. 2. ´ ´APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 2los movimientos longitudinales de un segmento peque˜o (infinitesimal, como nsuele decirse) de cuerda como el de la figura (c.f. Figura ??) y concentrarnosexclusivamente en el movimiento transversal. Haciendo la aproximaci´n habitual de que dy o ds dy dx cuando el ´ngulo atendido por el segmento de cuerda sobre la horizontal es muy peque˜o y nque la variaci´n de la tensi´n en horizontal es, tambi´n, muy peque˜a en o o e ncomparaci´n con el valor inicial de la tensi´n T , tenemos que la fuerza neta o oascendente sobre el segmento de cuerda es ∂y ∂y ∂ ∂y ∂2y −T +T + (T )dx = T 2 dx (A.1) ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x y, esta fuerza debe ser igual a la masa del segmento (que puede expresarsecomo la densidad lineal ρ por la longitud l) por la aceleraci´n lateral, es decir o ∂2y ∂2y T ∂2y ∂2y T 2 dx = ρ 2 dx y haciendo c2 = ⇒ c2 = 2 (A.2) ∂x ∂t ρ ∂x2 ∂t Esta es la ecuaci´n que represnta la vibraci´n transversal de una cuerda o otensionada en las condiciones ideales mencionadas. Afortunadamente resulta bastante f´cil resolver esta ecuaci´n, pudiendo a oemplearse diversos m´todos matem´ticos. En cualquier caso, el problema, e aesta, lo que los matem´ticos llaman ’bien determinado’, si a la ecuaci´n a oanterior se le a˜aden las condiciones iniciales y las condiciones de contorno, nes decir: la condici´n de que los extremos de la cuerda est´n siempre en o areposo, y la condiciones iniciales, que indican la posici´n y velocidad inicial ode la cuerda antes de dejarla libre donde L es la longitud de la cuerda: ∂ y(0, t) = y(L, t) = 0, y(x, 0) = y0 (x), (x, 0) = y0 (x) ˙ (A.3) ∂t Una forma frecuente de resolver la ecuaci´n ?? es emplear el denominado oprocedimiento de separaci´n de variables, es decir en buscar soluciones del otipo y(x, t) = X(x)T (t), lo que da lugar a: ∂2X ∂2T 1 ∂2X 1 ∂2T c2 T (t) = X(x) 2 ⇒ c2 = (A.4) ∂x2 ∂x X(x) ∂x2 T (t) ∂t2 Como el lado izquierdo de la ecuaci´n solamente puede ser una variable de ox y el lado derecho de t, la unica opci´n para que dicha ecuaci´n se cumpla ´ o oes que ambos t´rminos sean igual a una constante que, por conveniencia, esuele denominarse −ω 2 . De esta forma la ecuaci´n diferencial original (en o
  3. 3. ´ ´APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 3derivadas parciales de x y t) puede desglosarse en las siguientes ecuacionesdiferenciales simples d2 X(x) ω 2 d2 T (t) + 2 X(x) = 0, + ω 2 T (t) = 0 (A.5) dx2 c dt2 No deber sorprender la aparente manipulaci´n que este m´todo de resolu- o eci´n conlleva. La ecuaci´n fundamental de la vibraci´n de la cuerda junto con o o osus condiciones iniciales y de contorno, son, ya se ha se˜alado, lo que en ma- ntem´ticas se llama un problema bien determinado y esto significa que existe auna soluci´n y s´lo una que cumpla dichas condiciones. Cualquier m´todo o o eque nos lleve a encontrar dicha soluci´n nos debe dejar tranquilos de que oestamos ante la soluci´n ’real’ de la ecuaci´n en cuesti´n. o o o Es f´cil comprobar que la soluci´n general de las dos ecuaciones anteriores a oes de la forma ω ω X(x) = A sin( x) + B cos( x) T (t) = C sin(ωt) + D cos(ωt) (A.6) c c Donde A, B, C y D son constantes a determinar que nos permitir´n ase- agurar el cumplimiento de la condiciones iniciales y de contorno. En particular,como X(0)T (t) = X(L)T (t) = 0 para todo instante t, tenemos que B = 0 yque cualquier A cumple la condici´n si se satisface el requisito ω L = nπ, don- o cde n es cualquier n´mero entero. Es decir la soluci´n general de la ecuaci´n u o ode la cuerda es: ∞ nπ nπc nπc y(x, t) = sin( x) · [Cn sin( t) + Dn cos( t)] (A.7) i=1 L L L Y Cn , Dn ser´ series de coeficientes a determinar en funci´n de las ıan ocondiciones iniciales a lo largo de la cuerda En el caso de que la cuerda se pulse mediante un desplazamiento enun punto de su extensi´n, o se golpee en un punto para luego ser libremente oabandonada a su vibraci´n tenemos que habr´n de cumplirse dos condiciones o ainiciales, una referida a la forma inicial de la cuerda y la otra a su velocidadinicial. Es decir, si llamamos f0 (x) a la funci´n que describe la forma inicial de ola cuerda y v0 (x)a la funci´n describe la velocidad inicial de la cuerda a lo o
  4. 4. ´ ´APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 4largo de su extensi´n, se tendr´ que para t = 0: o ıa ∞ nπ f0 (x) = y(x, 0) = Dn sin( x) n=1 L ∞ (A.8) nπc nπ v0 (x) = y(x, 0) = ˙ Cn cos( x) n=1 L L De donde puede deducirse el valor de los coeficientes Cn y Dn . En lassecciones siguientes, veremos dos ejemplos ilustrativos(, que se parecen -demanera simplificada- a las situaciones que podemos encontrar en los casos deguitarra y el piano.). Sin embargo, es posible deducir un buen n´mero de propiedad intere- usantes de la ecuaci´n ?? incluso antes de aplicar ninguna de las condiciones oiniciales. Y, resulta util hacerlo as´ puesto que dicha ecuaci´n expresa de for- ´ ı oma bastante general (s´lo se ha llegado a ella imponiendo la condici´n de los o oextremos fijos) como vibra la cuerda de forma natural, independientementede como se excite su movimiento inicial. ¿Qu´ podemos deducir de ecuaci´n?. e oEntre otras cosas, por ejemplo las siguientes: El movimiento de la cuerda es la suma de un n´mero infinito, en prin- u cipio, de movimientos que pueden interpretarse como independientes, que suelen llamarse en f´ ısica ’modos’ de vibraci´n. Cada uno de es- o tos ’modos’ de vibraci´n conlleva una una forma unica de moverse la o ´ cuerda, y su expresi´n normalizada (es decir reduciendo su amplitud o m´xima a 1 es cada uno de los t´rminos de la expresi´n sin( nπ x). La a e o L figura ??) muestra el aspecto de cada uno de estos modos. Como puede verse se trata de formas de onda de longitud de onda decreciente. El primer modo, a veces, suele llamarse modo fundamental y suele ser el modo que tiende a contribuir m´s al movimiento, tanto en amplitud, a como en el porcentaje de energ´ absorvida.Seg´n sube el valor de n ıa u y los modos tiene una longitud de onda m´s corta, su contribuci´n al a o moviento suele ser menor. Adem´s, aunque el modelo te´rico usado, a o es perfectamente lineal (es decir el movimiento total puede estudiarse como la suma de un conjunto de modos de vibraci´n independientes, o desacoplados entre si y sin amortiguamiento alguno) en la pr´ctica, los a modos altos van decayendo antes en el tiempo, debido a que en su mo- vimiento si resultan m´s relevantes las fricciones internas que el an´lsis a a ha ignorado. Cada uno de los modos tiene una evoluci´n llamada arm´nica en el o o tiempo, caracterizada por un movimiento peri´dico de frecuencia f o
  5. 5. ´ ´APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 5 dada por 2πf = nπ . Es decir por f = 2L . Este resultado es muy L nc interesante porque, muestra que cada uno de los modos ’oscila’ con una frecuencia creciente, as´ para si para n = 1, la frecuencia del pri- ı c mier modo es f1 = 2L , las sucesivas frecuencias para n = 2, 3, . . . son, 2f0 , 3f0 , 4f0 , 5f0 , 6f0 , . . . La combinaci´n particular de modos que son m´s ’motivados’ a vibrar, o a en una situaci´n determinada, viene dada por las condiciones iniciales, o es decir por el movimiento o desplazamineto otorgado a la cuerda. Lo interesante es que cada modo ’suena’ de una forma diferente. As´ los ı modos, altos suenan m´s agudos y los bajos m´s graves. El abanico a a de modos activos en un momento dado es lo que suele llamar en f´ ısi- ca la composici´n esprectral de la vibraci´n y, puede adelantarse aqu´ o o ı, que en l´ practica es lo que tiende a caracter´ a ızar el diferente timbre de los instrumentos. Instrumentos con un timbre muy brillante generan espectros en que los modos altos son importantes. Instrumentos m´s a ’c´lidos’ tienen modos de vibrar de baja frecuecia. En el caso de instru- a mentos complejos, la forma de los modos de vibraci´n es mucho m´s o a compleja que en el caso de la cuerda, pero responde (en el caso ideal) a los mismos principios de superposici´n lineal de modos independientes o de frecuencia creciente. En el caso de la cuerda vibrante, la ecuaci´n ?? muestra que siempre, o la cuerda vibra en sus modos naturales dando lugar, por lo tanto, a la misma nota. Sin embargo, el peso de cada modo puede variar de- pendiendo de la forma de actuar sobre la cuerda y eso dar´ lugar a un a brillo diferente en el sonido final. Esta experiencia es f´cil de realizar a con un guitarra, por ejemplo, pudiendo comprobarse que al pulsar la cuerda m´s cerca de los puntos de apoyo, el sonido toma un caracter a m´s met´lico, indicaci´n de que se han activados modos m´s altos. Sin a a o a embargo, el modo fundamental estar´ tambi´n presente y ser´ el que a e a siga marcando el caracter de la nota. En el caso de la cuerda vibrante, la frecuencia del modo fundamental depende de forma inversa con la longitud de la cuerda. Esto permite de- ducir que si se reduce la longitud de la cuerda a la mitad, manteniendo la tensi´n longitudinal, se genera un sonido ’fundamental’ cuya frecuen- o cia es el doble. Si reduce a un tercio de la longitud original se genera un ’modo fundamental’ cuya frecuencia es el triple, y as´ sucesivamente. Es ı f´cil imaginar como ´sta pudo ser la forma en que los antig¨os descu- a e u brieron las leyes de la consonacia: poniendo diversas cuerda tensionadas de diferente longitud y haci´ndolas sonar simultaneamente (?? e
  6. 6. ´ ´APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 6 Cuadro A.1: Intervalos generados por los modos naturales Modo Frecuencia Relaci´n caracter´ o ıstica Nombre del intervalo 1 f0 2 2f0 2:1 octava 3 3f0 3:2 quinta justa 4 4f0 4:3 cuarta justa 5 5f0 5:4 tercera mayor justa 6 6f0 6:5 tercera menor justa 7 7f0 7:6 tercera submenor 8 8f0 8:7 super segunda 9 9f0 9:8 segunda mayor 10 10f0 10:9 seguna menor 5 5f0 5:3 sexta mayor justa 8 8f0 8:5 sexta menor justa 7 7f0 7:4 s´ptima submenor e Hemos visto pues, que, al final, todos los movimientos de una cuerdavibrante (anclada en los extremos) son una combinaci´n m´s o menos larga de o amovimientos simples de frecuencias crecientes. Es muy interesante observarque las frecuencias asociadas a los modos de vibraci´n (as´ como las que se o ıderivan de ir reduciendo la longitud de la cuerda, en la forma se˜alada) estan nen la proporci´n 1, 2, 3, 5, 6, . . .. Pues la relaci´n entre los sonidos asociados o oa cada una de esas frecuencias es lo que, desde la antig¨edad se conoce como ulos intervalos.A.1. Aparici´n y significado de los intervalos o El concepto de intervalo juega un papel fundamental en el desarrollo delas escalas musicales y tambi´n en la propia pr´ctica musical. Posiblemente, e ala forma m´s clara de introducir estos conceptos esta en hacerlo en este amomento, es decir, al estudiar los modos naturales de vibraci´n. De esta oforma, puede verse como los intervalos no son consecuencia de la existenciade una escala musical sino, como se ver´ en su momento, su origen. a As´ se tiene que, usando la teminolog´ cl´sica habitual en los intervalos ı ıa ase tiene (en el cap´ ıtulo correspondiente al an´lisis inst´rico?? se motivar´ la a o aintroducci´n de esta terminolog´ Si se toman los primeros (y por lo tanto o ıa).los m´s importantes) modos de vibraci´n de una cuerda puede construirse a ouna tabla con las siguientes relaciones: Naturalmente se pueden seguir identificando ratios y muchos de ellos han
  7. 7. ´ ´APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 7recibido nombres espec´ ıficos a lo largo de la historia (ver [? ] Apendice XX 1secci´n III). o Los seis primeros modos de vibraci´n han dado lugar, por lo tanto, a ocinco intervalos b´sicos que, historicamente, se han considerado como ’con- asonantes’ (y la experiencia ac´stica as´ lo confirma, porque son modos que u ısuenan entre si sin extridencia o tensiones, aunque el grado de aceptaci´n deola disonanc´ varia con el gusto personal y, sobre todo, con el entorno cul- ıatural).Estos intervalos pueden expresarse como relaciones entre los primerosn´meros naturales 1, 2, 3, 4, 5 y 6. El m´s consonante de todos los intervalos u aes el de octava, donde la frecuenc´ de la vibraci´n es exactamente el doble ıa ode la frecuencia fundamental. Resulta importante, en este contexto, identificar los intervalos comple-mentarios de estos primeros cuatro intervalos (omitiendo la octava) dentrodel intervalo de octava, porque dan lugar a otros intervalos utiles en el an´lisis ´ ay a la pr´ctica musical. Por ejemplo. partiendo de una frecuencia fundamen- a 3tal f0 , si se aumenta una quinta se llega a 2 f0 , ¿cuanto le falta a este sonidopara llegar a la octava, es decir a 2f0 ? , la respuesta es 4 obviamente. De 3una forma m´s gr´fica: a a 3 f0 . . . . . . f0 . . . . . . 2f0 2 quintajusta= 3 2 cuartajusta= 4 3 octava Asi, puede comprobase que los intervalos de cuarta y quinta son comple-mentarios. Por su parte los intervalos de tercera mayor y tercera menor, danlugar a los intervalos de sexta menor y de sexta mayor respectivamente. Ladiscusi´n iniciada en esta secci´n ser´ importante al hablar de la aparici´n y o o a oevoluci´n de las escalas m´sicales, que son, al f´ y al cabo, los componentes o u ınb´sicos con que trabajamos para hacer m´sica. As´ podra verse que se pue- a u ıde construir la totalidad de la escalas musicales occidentales a partir de larelaciones interv´licas se˜aladas, simplemente mediante superposicion y tras- a nlaci´n (aunque este procedimiento dar´ luego lugar al interesante fen´meno o a ode las escalas temperadas y su dificultad de utilizaci´n pr´ctica). En la tabla o a?? se ha incluido tambi´n, fundamentalmente a t´ e ıtulo informativo, el inter-valo de s´ptima menor y de segunda mayor, pero no es necesario elaborar eaqu´ m´s sobre su significado, que se ver´ m´s claramente al hablar de la ı a a a 1 Como se ver´ en su momento, Esta diversidad de intervalo, conducir´ a una cierta a acomplicaci´n pr´ctica que fue ’resuelta’ hac´ el siglo XVI con la adopci´n de las escalas o a ıa otemperadas. Con la adopci´n de dichas escalas desparece, por ejemplo la diferenc´ entre la o ıaterecera submenor y la tercer menor justa, utiliz´ndose en la actualidad la denominaci´n a ode tercera menor, simplemente.
  8. 8. ´ ´APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 8construcci´n de las escalas musicales. o En cualquier caso, como ya hemos se˜alado anteriormente, los modos nm´s importantes (los que en la pr´ctica tienden a absorver m´s energ´ y a a a ıaa comunicar m´s energ´ al aire en forma de ondas de presi´n que nosotros a ıa oescuchamos son los m´s bajos. De esta forma puede verse como, a parte de ala relaci´n inmediata de octava, los intervalos m´s importantes son los de o aquinta y los de cuarta. Esto explica, en parte, la importancia hist´rica del ointervalo de quinta y su papel fundamental. Y, tanto por ser complementariode este, como porque aparece en el segundo modo de vibraci´n, el de cuarta. oEstos intervalos marcan el caracter del sonido generado por la cuerda y, yase ver´ como incluso juegan un papel fundamental en el an´lsis arm´nico. a a oAs´ cuando se hable de grados tonales y se ve´ lo fundamental que resulta ı, ala relaci´n del llamado V grado con el grado I, recuerdese que aquel an´lisis o aencuentra parte de su raz´n de ser en los sencillos y hermosos resultados omostrados en esta secci´n. oA.2. Estudio de la cuerda pulsada El an´lisis realizado en la secci´n anterior resulta v´lido para cualquier a o acuerda anclada en sus extremos que vibre de forma natural tras una pertur-baci´n inicial. Es un resultado, por lo tanto, bastante general, y sirve, por olo tanto, para imaginar como funcionan distintos tipos de intrumentos decuerda, por ejemplo el piano o la guitarra. Ahora bien, si queremos estudiarun poco m´s en profundidad un instrumento en particular, por ejemplo la aguitarra o el arpa, debemos introducir las condiciones iniciales propias de laperturbaci´n inicial que dicho instrumento conlleva. o As´ tomemos una cuerda de longitud L y introduzcamos un peque˜o ı ndesplazamiento lateral δ0 en un punto x0 de la cuerda, ver figura ??, lue-go abandonemos la cuerda a su vibraci´n natural. Las condiciones iniciales oasociadas a esta situaci´n son: o y(x, 0) = 0, para 0 ≤ x ≤ L ˙ and (A.9) δ0 L−x y(x, 0) = x, para x ≤ x0 y(x, 0) = δ0 , para x0 ≤ x ≤ L (A.10) x0 L − x0 Al igual la ecuaci´n ?? con la ?? se deriva que que los Cn tienen que oser todos nulos, ya que esa es la unica forma en que dicha condici´n puede ´ oser cumplida. Por lo que respecta al desplazamiento inicial la sustituci´n ode la expresi´n f0 en la ecuaci´n ?? por la expresiones ?? permite obtener o o
  9. 9. ´ ´APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 9los Dn . Para ello se pueden seguir diversos procedimientos. Uno sencillo esmultiplicar ambos lados de la ecuaci´n ?? por sin( mπx ), donde m = 1, 2, 3, ... o Le integrar en el intervalo [0, L]. Esto da L ∞ L mπx nπ mπx f0 (x) sin( )dx = Dn sin( x) sin( )dx (A.11) 0 L n=1 0 L LLa integraci´n del lado derecho de la ecuaci´n ?? es f´cil 2 , pudiendo demos- o o atrase que los Dn toman la siguiente expresi´n: o L 2 nπx Dn = f0 (x) sin( )dx (A.12) L 0 LEsta expresi´n permite calcular que importancia tiene cada modo de vibra- oci´n dentro de la composici´n espectral del desplazamiento inicial cada uno o ode lo modos naturales de vibraci´n de la cuerda. 3 o Sustituyendo en la ecuaci´n ?? f0 por las expresiones dadas en ?? e ointegrando, se llega al siguiente resultado: 2L2 δ0 nπx Dn = sin( ) (A.13) n2 π 2 x0 (L − x0 ) LEs interesante modificar la expresi´n anterior mediante el simple cambio de ovariable x0 = ξ0 L donde ξ ≤ 0 y representaria la fracci´n de L donde se oproduce el desplazamiento inicial de la cuerda 2δ0 Dn = 2 π 2 ξ (1 sin(nπξ) (A.14) n 0 − ξ0 )Es interesante observar que los Dn no dependen de la longitud de la cuerdasino del punto relativo de la cuerda donde se pulsa. El caso mas sencillo escuando la cuerda se pulsa exactamente en su centro y entonces ξ = 1/2,quedando que 8δ0 nπ Dn = 2 2 sin( ) (A.15) (n π) 2 En este caso, se tiene que D01 = 0, 8106, lo que puede visualizar pensando δel primero modo toma una amplitud m´xima del 81 % del desplazamiento a 2 La integraci´n es sencilla si se tiene en cuenta que solamente los t´rminos en que o e 2 (1−cos(2α))n = m no son nulos y que sin (α) = 2 . 3 Se trata, l´gicamente, del bien conocido desarrollo en serie de Fourier de la funci´n f0 o oo, si se prefiere, de la proyecci´n de la funci´n f0 en el espacio funcional ortogonal formado o opor los vectores sin( mπx ) L
  10. 10. ´ ´APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 10Cuadro A.2: Peso relativo de los modos naturales. Caso de la cuerda pulsada ξ modo 0,5,0 0,35 0,25 0,10 intervalo 1 100,00 % 100,00 % 100,00 % 100,00 % fundamental 2 - 22,70 % 35,36 % 47,55 % octava 3 11,11 % 1,95 % 11,11 % 29,09 % quinta justa 4 - 6,67 % - 19,24 % octava 5 4,00 % 3,17 % 4,00 % 12,94 % tercera mayor 6 - 0,96 % 3,93 % 8,55 % quinta justa 7 2,04 % 2,26 % 2,04 % 5,34 % s´ptima e 8 - 1,03 % - 2,97 % octava 9 1,23 % 0,63 % 1,23 % 1,23 % segunda mayor y/o novena 10 - 1,12 % 1,41 % - tercera mayorinicial. Adem´s, es f´cil ver que todos los modos pares son nulos y que en el a aresto la amplitud disminuye con n2 Resulta interesante estudiar como evoluciona, la composici´n exprectral, oen definitiva los sucesivos valores de Dn seg´n se desplaza el punto de aplica- uci´n del centro hacia los extremos. As´ La tabla ?? muestra el peso relativo o ıde cada uno de los modos frente al modo fundamental al que se le ha dadoel valor de referencia de 100. Como puede verse los modos m´s relevantes son los que corresponden al afundamental, a la primera octava y la de quinta justa y, en menor medida,al de tercera mayor. Resultado interesante ciertamente, y que explica, enparte, porque los llamados acordes triadas mayores tiene, precisamente, comoestructura la nota fundamental, la tercera mayor y la quinta. De forma complementaria la figura ?? permite visualizar la evoluci´n del opeso de los modos (los modos 2 a 10) seg´n el punto de pulsaci´n se mueve del u ocentro a uno de los extremos. Puede verse como el segundo modo (la octava,de frecuencia 2f0 toma en seguida importancia y que el resto de los modossuperiores requieren que nos situemos en el cuarto m´s pr´ximo al punto de a oapoyo para que se produzca valores significativos. De hecho el valor ξ = 0, 25es un punto interesante (como tambi´n puede verse en la tabla) porque los etres primeros modos (el fundamental, la octava y la quinta) tienen valoressignificativos y el resto todav´ no, mientras que m´s pr´ximos al punto de ıa a oapoyo los modos superiores toman mucha importancia. Estos resultados podr´ sugerir que el punto ´ptimo para pulsar una ıan ocuerda de guitarra ser´ a un cuarto de su punto de apoyo (o quizas un ıapoco m´s a la derecha hacia ξ = 0, 2 donde aparece la tercera mayor), ya aque generaria un sonido m´s arm´nico, m´s rico. Resulta curioso comprobar a o a
  11. 11. ´ ´APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 11 60,00% Modo 2 Modo 3 50,00% Modo 4 Modo 5 Modo 6 40,00% Modo 7 % Amplitud respecto modo 1 Modo 8 Modo 9 30,00% Modo 10 20,00% 10,00% 0,00% 0,50 0,48 0,45 0,43 0,40 0,38 0,35 0,33 0,30 0,28 0,25 0,23 0,20 0,18 0,15 0,13 0,10 0,07 0,05 0,02 0,00 -10,00% -20,00% Punto pulsación Figura A.1: Evoluci´n del peso de los modos con el punto de pulsaci´n o oque esto no es una mera especulaci´n. En efecto, si se toma una guitarra se opodr´ comprobar como un cuarto de la longitud de la cuerda medida desde ael puente nos situa justo en la zona habitual de pulsaci´n, en cima de la boca ode la caja. Pulsando una cuerda al aire en ese punto, se genera un sonidocalido y pleno. Si por ejemplo se busca el punto medio de la guitarra (quese corresponde con el punto de contacto del mastil con la caja) se ver´ que aqueda un sonido puro pero poco rico, correspondiente al caso en que casi todala energ´ es abosrvida por el primer modo. Por contra, pulsar muy cerca del ıapuente arroja efectivamente sonidos met´licos que delatan la presencia de aarm´nicos superiores. o Tambi´n puede observarse (de forma general a partir de la ecuaci´n ??) e ocomo se˜ala Helmholtz [? ] que si el punto de pulsaci´n corresponde con una n odivisi´n entera de la cuerda, el modo correspondiente y todos sus m´ltiplos o uson nulos. Un aspecto no comentando, pero que tiene su importancia en la pr´ctica ade los instrumento de cuerda pulsada es la influencia de que la forma de pul-
  12. 12. ´ ´APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 12saci´n tiene sobre el sonido generado. En efecto, el modelo sencillo utilizado oen esta secci´n, contempla un desplazamiento de un punto, de forma que la ocuerda toma una forma puntiaguda en el momento de m´xima tensi´n. Esta a oforma de desplazamiento se corresponder´ aproximadamente, con pulsaci´n ıa, omediante un objeto te poca superficie, por ejemplo el borde de un cuchillo.En el caso de la guitarra, la pulsaci´n real se realiza mediante los dedos. Si ola pulsaci´n se realiza con la yema del dedo, la forma del desplazamiento ori- oginal tiene que ser m´s redondeada que la que el modelo sencillo a supuesto. aEsta forma m´s redondeada del punto de apoyo, inevitablemente dar´ lugar a aa que la composi´n espectral del desplazamiento inicial (y por lo tanto del omovimiento) sea m´s suave y que los arm´nicos superiores tengan menos pe- a osos. Si la pulsaci´n se realiza con la u˜a del dedo, la forma del desplazamiento o ninicial ser´ m´s puntiaguda y se generaran arm´nicos de mayor frecuencia. a a oEsta es circunstancia es de hecho un aspecto discutido en la pr´ctica inter- apretativa de la guitarra, donde algunos maestros prefieren usar m´s el ataque acon u˜a y otros gustan m´s de usar la yema. A este respecto Dionisio Aguado n aen su hist´rico m´todo de guitarra se˜ala [? ] o e n Yo siempre hab´ usado de ellas [las u˜as]; pero luego que o´ a ıa n ı mi amgio Sor, me decid´ a no usarla en el pulgar, y estoy muy ı contento de habverlo hecho, porque la pulsaci´n de la yema, de o este modo, cuando no pulsa paralelamente a la cuerda, produce sonidos en´rgicos y gratos, que lo que conviene a la parte del bajo, e que regularmente se ejecuta en los bordones: en los dem´s dedos a las conservo. Considero perferible tocasr con u˜as.Buen usadas, el sonido que n resulta es limpio, met´lico y dulce. Se han de cortar en forma oval a y han de sobresalir poco de la superficie de la yema.A.3. Tensi´n transmitida a la caja de reso- o nanc´ ıa El modelo de cuerda pulsada resulta muy util por que, siendo muy sim- ´ple, arrojar unos resultados muy ricos. Ahora bien, una de las simplificacionesrealizadas en la construcci´n del modelo, a saber, que los extremos en que se oapoya la cuerda son perfectamente r´ ıgidos implicar´ una situaci´n pr´ctica ıa o apoco util desde el punto de vista m´sical. En efecto, si los extremos fuesen ´ uperfectamente inamobibles, la cuerda vibrar´ y transmitir´ algo de su vibra- ıa ıaci´n al a´ pero lo har´ de una forma casi impercetible ya que su peque˜a o ıre, ıa nsuperficie cortan el a´ al moverse y apenas si movilizan una masa apreciable ıre
  13. 13. ´ ´APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 13de a´ De esta forma (y la experiencia puede realizarse) apenas se oir´ un ıre. ıazumbido proveniente de la cuerda. Por esta raz´n, todos los instrumentos ode cuerda estan motados sobre una caja de resonancia (por ejemplo, en laguitarra o en los instrumentos de madera). Los puntos de apoyo de la cuerdaen estos instrumentos no son perfectametne fijos, sino no que son capaces detransmitir una peque˜a vibraci´n a la estructura de la caja, la cu´l vibra y, n o a´sta s´ transmite la vibraci´n al aire.e ı, o Es interesante reparar que aunque visualmente el movimiento de los apo-yos sea imperceptible, este existe y adem´s se realiza siguiendo exactamente ala frecuencias correspondientes a cada uno de los modos de vibraci´n. Enocierta forma, es como si cada modo de vibraci´n se transmite a trav´s de los o eapoyos a la caja. Ahora bien, el dise˜o de la caja afecta a que modos tiene nm´s efecto sobre la vibraci´n de la misma. Siendo esta relaci´n el objeto de a o oan´lisis del ’acomplamiento’ de la caja con modos de vibraci´n de las cuerdas. a o En la secci´n anterior hemos estudiado como diversos modos tienen di- oversas amplitudes y, por lo tanto, como los diversos modos contribuyen almovimiento de la cuerda en diferente proporci´n. Resulta tambi´n de inter´s o e eestudiar como evoluciona la fuerza que la cuerda transmite al soporte. Elc´lculo de esta tensi´n es elemental una vez que se ha resuelto la ecuaci´n a o odel movimento. En efecto, teniendo en cuenta que la tensi´n vertical Ty y orecordando la soluci´n general y que Cn = 0 y que los Dn est´n dados por , o ase tiene ∂y 2T δ0 nπc Ty = T = sen(nπξ0 ) cos( t) (A.16) ∂x Lnπξ0 (1 − ξ0 ) LResultado que ya permite ver que, curiosamente, la tensi´n vertical en el oextremo deca´ con el inverso de n/ sen(nπξ0 ) en vez de con n2 / sen(nπξ0 ) ecomo es el caso de la amplitud. Es decir, la amplitud de los modos superio-res deca´ m´s r´pidamente que la tensi´n que estos modos producen en el e a a oextremo. En suma, los modos superiores pueden tener m´s importanc´ en el a ıapeso del sonido, de lo que sosprechabamos, debido a que lo que cuenta es sucapacidad para transmitir vibraci´n a la caja a trav´ s de la tensi´n generada o e oen su extremo. La figura muestra la evoluaci´n del peso de la tensi´n asociada a cada o omodo, respecto al modo, fundamental, seg´n el punto de apoyo se desplaza udel centro hac´ el extremo de aoyo. ıa En este an´lisis no hemos valorado cual puede ser el orden de magnitud ade la tensi´n vertical en el extremo. Para valorar este orden de magnitud obasta tomar el caso m´s sencillo, el de la cuerda pulsada en punto medio. aSustituyendo en la ecuaci´n ?? los vaores ξ0 = 1/2 y n = 1 y suponiendo que oδ0 /L ∼ 0, 01 se tiene que la tensi´n para x = 0 es T0 /T ∼ 2,5 %. Es decir o
  14. 14. ´ ´APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 14 120,00% 100,00% Modo 1 Modo 2 80,00% Modo 3 % Tension respecto al modo 1 Modo 4 Modo 5 60,00% Modo 6 Modo 7 Modo 8 40,00% Modo 9 Modo 10 20,00% 0,00% 0,50 0,48 0,45 0,43 0,40 0,38 0,35 0,33 0,30 0,28 0,25 0,23 0,20 0,18 0,15 0,13 0,10 0,07 0,05 0,02 0,00 -20,00% -40,00% Punto de pulsación Figura A.2: Evoluci´n de la tension vertical con el punto de pulsaci´n o ola tensi´n vertical es del orden de la cent´nsima parte de la tensi´n lineal o e ode la cuerda, lo cual no es tan poco, si se recuerda que las cuerdas de losinstrumentos pueden llegar a tener una tensi´n considerable. o Otra cosa es como responda la caja a dicha tensi´n, que tiene tambi´n o eun caracter peri´dico. Y esto es objeto del an´lisis del acomplamiento de las o avibraciones de la cuerda con la caja.A.4. Acomplamiento con la caja de resonanc´ ıa En un instrumento real, la calidad del sonido depende de forma funda-mental de la forma y estructura de la caja de resonancia. Como ya hemoscomentado, es realmente la caja (con su mayor) superficie la que puede movi-lizar el aire de forma significativa para hacerlo llegar a nuestro oidos. Ahorabien, ¿como se relaccionan las vibraciones de la cuerda con las de la caja?. En an´lisis de esta interacci´n se puede hacer de forma, relativamente a osimple, pensando que la caja, como tal, tambi´n tiene unas formas naturales e
  15. 15. ´ ´APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 15de vibrar, unos modos naturales de vibraci´n y, a partir de ah´ estudiando o ı,como interact´an, o acoplan, los modos de vibrar de la cuerda con los de la ucaja. Los modos de vibrar de la caja de resonancia son, l´gicamente, mucho om´s complejos que los que corresponden a la cuerda, b´sicamente por que la a acaja tiene una estructura y forma m´s compleja. De entrada se trata de un acuerpo tridimensional y sus vibraciones ser´n tridimensionales (aunque las am´s importantes e interesantes ser´n las que suponen desplazamiento de la a atapa superior e inferior en sentido perpendicular, ya que estos modos son losque pueden movilizar un volumen apreciable de aire. Hoy en d´ existen m´todos muy bien establecidos para estudiar los modos ıa ede vibraci´n de cualquier objecto. Por un lado se pueden realizar mediciones o e a ´experimentales (lo que es el m´todo m´s preciso). Estas consisten en excitarla caja con una vibraci´n cualquiera y medir su respuesta para identificar ocuales son sus modos de vibraci´n. Estos modos se corresponder´n a fre- o acuencias concretas y a formas espec´ ıficas. La forma de vibraci´n tambi´n o epuede medirse f´cilmente mediante la utilizaci´n de aceler´metros, esto la a o ocolocaci´n de instrumentos (llamados transductores) que miden el desplaza- omientos de puntos espec´ ıficos del objeto. De esta forma se puede medir congran precisi´n cuales son las frecuencias y las formas de los modos naturales. o La segunda forma de realizar este an´lisis consiste en la construcci´n de a omodelos n´mericos del objeto. Se pueden emplear varias t´cnicas, pero la m´s u e aextendida y util es la construcci´n de modelos a base de los llamados Elemen- ´ o ´tos Finitos. Este tipo de modelos recoge de forma aproximada la estructuradel objeto y permite, mediante software adecuado, deducir los modos na-turales de vibraci´n del modelo, que aproximadamente ser´n los del objeto o areal. En la medida de que le modelo se´ m´s sofisticado los resultados de este a am´todo tender´n a coincidir con los resultados experimentales. e a Todo estos an´lisis son bien conocidos y, han sido objeto de m´ltiples a uestudios, cuyo an´lisis no es necesario hacer aqu´ Baste sin embargo se˜alar a ı. nalgunos resultados ilustrativos, como por ejemplo los reportados por Russell[? ] que dan lugar a los siguientes modos de vibraci´n de una guitarra ac´stica o uHummingbird: 103 Hz, 188 Hz, 202 Hz, 231 Hz, 262 Hz, 315 Hz, 385 Hz,481 Hz Hz, 749 Hz. De cuya lista se han eliminado los modos que Rusellconsidera estructurales, es decir deformaciones de la guitarra (del mastil porejemplo) que no producen una presi´n sobre el aire en la caja ac´stica. Russel o uconsidera que los seis primeros modos (correspondientes a lo que ´l llama efrecuencias bajas y medias son los m´s relevantes desde el punto de vista aac´stico, especialmente los tres primeros). La figura ?? tambi´n debida a u eRussel muestra uno de los modos de vibraci´n obtenidos, en particular el oque corresponde a 188 Hz.
  16. 16. ´ ´APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 16 Figura A.3: Ejemplo de modo de vibracion segun Russell, 188 Hz En lo que respecta a la interacci´n con la cuerda, se trata entonces de ver ocomo esos modos de la caja interactuan con los modos de la cuerda. Parahacernos una idea orientativa del mecanismo. Basta analizar la respuesta deun modelo que tenga un unico modo de vibraci´n y que este sometido a una ´ ofuerza externa de caracter peri´dico (la tensi´n en el punto de apoyo). Otra o oforma ser´ estudiar la vibraci´n conjunta de la cuerda con el modo de la ıa ocaja, pero puede verse que como la masa de la caja y de la cuerda son muydiferentes, las vibraciones son pr´cticamente independientes, es decir estan adesacopladas: la vibraci´n del caja no afecta a la de la cuerda significativa- omente. En estas condiciones el modelo sencillo ser´ el de la figura ??, donde se ıaha introducido el fen´meno de amortiguamiento del modo correspondiente a ola caja. Esto es importante pues claro que en este caso la caja si que presentauna amortiguamiento significativo, sobre todo porque irrad´ energ´ a trav´s ıa ıa ede la impulsi´n que hace del ´ire. El tipo de amortiguamiento utilizado en el o amodelo es el habitual y sencillo amortiguamiento viscoso (proporicional a la
  17. 17. ´ ´APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 17velocidad), a´n cuando el real pueda no responder a este modelo. Este tipo ude amortiguamiento tiene la ventaja de que da lugar a ecuaciones sencillas ybien conocidas que pueden analizarse de forma elemental, como se hizo antespara las vibraciones libres de la cuerda. F=f0sin(ωt) m k c Figura A.4: Modelo para el estudio de la vibraci´n forzada o En estas condiciones se puede demostrar f´cilmente que si se llama m a la amasa del k a la rigidez del muelle (siendo por lo tanto la frecuencia natural kde vibraci´n de ese sistema f0 la que corresponde a ω0 = 4π 2 f0 = m , la o 2 2respuesta de la amplitud m´xima de la vibraci´n x sigue la expresi´n a o o F 1 x= (A.17) k (1 − ω2 2 ω2 )2 + (2ζ ω2 )2 ω0 n c donde ζ ser´ el factor de amortiguamiento, definido como ζ = ıa cr , siendocr el conocido como amortiguamiento cr´ıtico 4 y vale c2 = 4mk. r 4 El significado de este valor se entiende f´cilmente al estudiar las vibraciones libres de aun sistema amortiguado. Es aquel valor que justamente separa los r´g´ e ımenes de amortigua-miento super-cr´ıtico y sub-cr´ ıtico. En el amortiguamiento super-cr´ ıtico, el movimiento librede la masa esta dominado por la amortiguaci´n y la masa se para antes de completar una ooscilaci´n. En el amortiguamiento sub-crt´ o ıtico, la amortiguaci´n no puede con la vibraci´n o oy la masa oscila aunque, l´gicamente, acaba par´ndose. Con el valor del amortiguamiento o acr´ ıtico, la masa se parar´ justa en su posici´n de reposo natural. ıa o
  18. 18. ´ ´APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 18 De esta expresi´n es f´cil ver que la amplitud de la vibraci´n varia con- o a osiderablemente al variar la pulsaci´n de la excitaci´n ω, siendo fundamental o osu relaci´n con la pulsaci´n correspondiente al modo natural de vibrar ω0 . o oLa figura ?? muestra los bien conocidos resultados correspondiente a estemodelo sencillo. 5 4,5 Factor de amortiguación 4 1 3,5 0,5 0,25 Amplitud relativa 0,15 3 0 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 Frecuencia de excitación / frecuencia natural Figura A.5: Amplitud de la oscilaci´n forzada o De lo anterior se deduce que interesa que la caja de resonancia tengamodos naturales de vibraci´n que est´n en el rango de la frecuencias que o etienen inter´s desde el punto de vista musical. Naturalmente, no existir´n e amodos de vibraci´n para todas las notas de inter´s, pero en tanto haya una o ecobertura razonable del rango de inter´s la guitarra sonar´ bien. e a En la pr´ctica musical de la guitarra la m´sica se suele escribir una octava a upor encima de lo que realmente suena. Es decir, el ’la’ central (el que estajusto por encima de la clave de sol en el pentrama) suena realmente a 220 Hzen vez de lo que ocurre en otros instrumentos en los que suena a 440 Hz. Estaconsideraci´n permite estimar que la mayor parte de los tonos fundamentales oque se encuentran en la m´sica para guitarra podr´ estar entre los 110 Hz y u ıan
  19. 19. ´ ´APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 19los 880 Hz (los dos ’la’ por encima y por debajo del referido). En este sentidocabr´ esperar que los pricipales modos de vibraci´n de la caja de resonancia ıa oesten en este rango de frecuencias, lo que los resultados de ....., entre otrosmuchos, vienen a confirmar.A.5. Estudio de la cuerda percutida El an´lisis del modelo de la cuerda pulsada nos ha servido para iden- atificar un buen n´mero de propiedades interesantes de los tonos musicales. uDichon an´lisis tiene adem´s el inter´s de que presentra resultados que pue- a a eden generalizarse a otros instrumentos m´s complejos. El an´lisis de dichos a ainstrumentos mediante m´todos matem´ticos puede llegar a ser muy com- e aplejo y, por otro lado, resulta innecesario para el prop´sito de este libro. o Existe sin embargo un instrumento al que si dedicaremos una minimaatenci´n adicional: el piano. Este instrumento consiste en una serie de cuerdas otensadas que, a diferencia de la guitarra, no son pulsadas sino percutidas oimpactadas por un martillo. El martillo es activado al apretar una tecla,siendo la velocidad del impacto dependiente de la velocidad (’la fuerza sueledecirse’) con que se aprieta la tecla. Como pasa con la guitarra, la t´cnica constructiva del piano ha ido me- ejorando a lo largo de los siglos y un buen piano actual es un elemento muysofisticado con inumerables detalles constructivos que son fruto de la expe-riencia e inventiva acumulada de cientos o miles de artesanos. As´ mode- ı,lar adecuadamente el piano ser´ de nuevo labor compleja que no podemos ıaabordars. Sin embargo, si puede abordarse el estudio de un caso simplificadoconsistente en una cuerda tensada en sus extremos que es impactada en uninstante por un martillo que luego se retira instant´neamente. Como luego acomentaremos este caso se diferencia de la mec´nica real del piano en algunos aaspectos importantes pero su estudio no deja de tener inter´s.e Asi, las condiciones iniciales correspondientes a este caso ser´ ıan y(x, 0) = 0 yy(x, 0) = 0 para todox = x0 yy(x, 0) = v0 parax = x0 (A.18) ˙ ˙ donde x0 ser´ el punto de impacto y v0 la velocidad inicial impartida a ıadicho punto. Puede demostrarse f´cilmente, siguiendo pasos muy similares a los em- apleados en la secci´n ?? que el resultado es de la forma ??, donde Dn = 0 y o 2v0 nπx0 Cn = sin( ) (A.19) nπc LEste resultado difiere, fundamentalmente, del obtenido para la cuerda pul-sada en que la amplitud m´xima decae con el inverso de n mientras que en a
  20. 20. ´ ´APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 20aquel caso lo hac´ con el de n2 . Esta simple observaci´n ya nos indica que ıa ocabe esperar que los arm´nicos superiores sean m´s importantes en el caso o ade la cuerda percutida. En efecto la representaci´n de la soluci´n anterior en forma gr´fica (ver o o afigura ??) muestra los modos no solamente no decaen tan r´pidamente como aen el caso de cuerda pulsada sino que en ciertas zonas (cuando el punto deimpacto se sit´a alrededor de 0, 1) en que los primeros modos tienen todos uuna amplitud similar. 100,00% Modos 80,00% 1 2 3 4 % amplitud respecto al primer modo 60,00% 5 6 7 8 40,00% 9 10 20,00% 0,00% 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 -20,00% -40,00% Punto de imapcto Figura A.6: Amplitud de los modos en la caso de la cuerda percutida En el caso real del piano, estos resultados se ven modificados de formarelevante, porque realmente el impacto del martillo no se corresponde conel que representa el modelo anterior. Los martillos del piano tienen una ca-beza acolchada, de diversa elasticidad, que se comprime en el momento delimpacto y que hace que el empuje no sea realmente instant´neo sino que ael martillo empuje la cuerda durante unos breves instantes. Helmholtz [? ]analiza y comenta este caso en detalle en su monumental obra. De hecho rea-liza un an´lisis matematem´tico algo m´s complejo que el aqu´ presentado a a a ı
  21. 21. ´ ´APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 21para presentar unos resultados algo m´s realistas. Adem´s, recoje comen- a atarios muy interesantes sobre experiencia pr´ctica percutiendo cuerdas de apiano real, as´ como observando el dise˜o que los artesanos han ido dando a ı nlos martillos, dise˜o que como el comenta suele ir cambiando segun uno se nmueve a lo largo de las teclas del piano. Existen multitud de an´lisis m´s recientes, como por ejemplo los realiza- a ados por Hall[? ], que realiza una comparaci´n entre los resultados te´ricos, o oderivados de modelar diversos grados de elasticidad del martillo. Uno de susresultados consiste en la medici´n experimental de la respuesta modal del opiano cuando se pulsa el do central. Estos resultados se muestran en la figura??. Es interesane recordar que todos estos hermosos resultados no hacen sinoexplicar o confirmar lo que los artesanos ’lutiers’ han ido aprendiendo du-rante siglos. Ellos han sido capaces de acumular una experiencia r´ ıquisimay construir unos instrumentos hermosos y maravillosos, y, ciertamente, paraello no han necesitado de ecuaciones ninguna clase sino de paciencia, ensayoy cari˜o por trabajo bien hecho. El resultado de esta combinaci´n es natu- n oralmente superior a la que cualquier se llegar´ con el an´lisis te´rico m´s ıa a o asofisticado.
  22. 22. ´ ´APENDICE A. ANALISIS DE LA CUERDA VIBRANTE 22 Figura A.7: Respuesta modal de un piano al do central

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