1. José Daniel Vélez Ospino
MEMBRANAS VIBRANTES
RESUMEN
En el informe se da conocer las características de las membranas vibrantes
sobre el modelo teórico tomando las consideraciones matemáticas enfocadas
hacia un contorno físico, marcado por la geometría del material en cuestión,
que debe ser elástico y tensado de esta forma se basa en el mismo principio de
la cuerda, relacionando la aproximación de [n] cuerdas no se presentaran en
puntos nodales, se presentaran líneas nodales a lo largo de la superficie
expresando de la onda bidimensional.
MARCO TEÓRICO
La membrana vibrante se describe como una fina lámina de material tensado a
lo largo de una curva en el plano, cuando la membrana se desplaza un poco de
su posición de equilibrio la tensión actúa como fuerza recuperadora, tomando
como consideración el desplazamiento pequeño que indica pequeños ángulos,
garantizando la libre oscilación en el eje vertical, analizando un pequeño
fragmento de superficie en un tiempo determinado de tal forma que el
movimiento en el eje vertical estará en función de:
z(x, y ,t)
Podemos delimitar el plano de esta forma
(x+∆ x, y)
(x, y+∆ y)
(x+∆ x, y+∆ y)
Considerando m como unidad de masa por área
F=m ∆x ∆ y
∂
2
z
∂t
2

2. Tenemos en cuenta que las fuerzas son casi perpendiculares al eje x y casi
paralelas al eje y
T ∆ x(∂ z
∂ y )y +∆ y
;
−T ∆ x(∂z
∂ y )y
De acuerdo con lo anterior tendríamos
T ∆ x
[(∂ z
∂ y )y+∆ y
−(∂ z
∂ y )y
]
Las fuerzas en dirección vertical serian:
F=T ∆ y
[(∂ z
∂x )x+∆ x
−(∂ z
∂ x )x
]+T ∆ x
[(∂ z
∂ y )y +∆ y
−(∂ z
∂ y )y
]
Teniendo en cuenta la condición inicial de fuerza por unidad de área
F=m ∆x ∆ y
∂
2
z
∂t
2
T [(∂z
∂ x )x+∆ x
−(∂z
∂ x )x
∆ x ]−T [(∂ z
∂ y )y+∆ y
−(∂z
∂ y )y
∆ y ]=m
(∂
2
z
∂t2 )
Estableciendo condiciones

3. a
2
=
T
m
∆ x→0
∆ y →0
a
2
(∂
2
z
∂ x
2
+
∂
2
z
∂ y
2 )=
∂
2
z
∂t
2
Ecuaciónde ondabidimenciona
Consideraciones físicas para la membrana:
La ecuación de la “membrana vibrante", esto es, la ecuación de ondas en 2D,
gobierna un gran número de problemas en la física y la ingeniería
Las consideraciones preliminares son similares a las que se realizaron para el
análisis del movimiento vibratorio de una cuerda, pero teniendo en cuenta que
ahora existen dos dimensiones a contemplar, a saber:
1) La membrana es flexible y delgada, y no ofrece resistencia a la flexión. Se
desplaza en sentido vertical, sin modificar sus dimensiones transversales (no
se “estira”).
2) Es homogénea, siendo su masa por unidad de área constante y su espesor
uniforme e infinitesimal.
3) La tensión por unidad de longitud T [kg/cm] que se observa sobre los
bordes del diferencial de área considerado es la misma en todas direcciones y
no cambia al moverse la membrana.
4) El desplazamiento u = u (x,y,t) es pequeño frente a las dimensiones de la
membrana.
5) En el análisis se desprecia la aceleración de la gravedad “g”.
MENBRANA CIRCULAR

4. Tomando una membrana descrita por una curva en un plano xy, siendo un
problema circular utilizamos las llamadas coordenadas polares, Dando así la
expresión de aceleración en el eje vertical.
a
2
(∂
2
z
∂r
2
+
1
r
∂z
∂r
+
1
r
2
∂
2
z
∂θ
2 )=
∂
2
z
∂t
2
En este caso siendo z una función en coordenadas polares z(r, θ, t) observamos
que se incluye el tiempo en la posición, para este problema tomamos la
membrana circular de radio 1, de acuerdo con esto planteamos las condiciones
de frontera.
Suponemos z(1, θ,t)=0 , se hallara una solución que satisfaga las condiciones
de frontera, empleando el método de separación de variable, suponemos que
z(1, θ,t)=u(r)v(θ)w(t), reemplazos y llegamos a la expresión
u
´´
(r)
u(r)
+
1
r
u
´
(r)
u(r)
+
1
r
2
v
´ ´
(θ)
v(θ)
=
1
a
2
w
´´
(t )
w(t)
Se ilustra en el miembro izquierdo de la ecuación tanto la cantidad radial como
la cantidad angular son constantes, en el miembro izquierdo de la ecuación la
posición del ángulo que depende del tiempo es contante mediante el proce3so
para a la separación igualamos a cada lado a−ʎ
2
resultando así dos
ecuaciones
w
´´
(t )+ʎ
2
a
2
w (t )=0

5. u
´´
(r)
u(r)
+
1
r
u
´
(r)
u(r)
+
1
r
2
v
´´
(θ)
v(θ)
=−ʎ
2
Se observó que en el miembro derecho de la ecuación se tenía una posición
angular que dependía del tiempo y a su vez era constante, por ser una evento
periódico la solución que se da es:
w(t )=c1 cos atʎ +c2 sen aʎ t
Re expresamos la solución general
r
2 u
´ ´
(r)
u(r)
+r
u
´
(r)
u(r)
+ʎ
2
r
2
=
−v
´ ´
(θ)
v(θ)
La ecuación que describe el ángulo será:
v (θ)=d1cos nθ+d2 sen nθ
Falta hallar la variable u nos damos cuenta u viene acotada por el radio lo
aremos cerca de r=0 de manera que se descarta la segunda solución.
u(r)= jn( rʎ )
u(1)=0
jn (ʎ )=0
d
¿
nθ
¿
jn( rʎ )¿
Cabe aclarar que n=(1,2,..,n) para cada uno de sus ʎ correspondientes para
cada raíz

6. CONCLUCIONES
• De acuerdo con el modelo vibracional de las membranas analizado en un
sistema coordenado polar tiene una serie de variables y parámetros
tales cono el radio, el ángulo, frecuencia angular, cada una de ellas tiene
soluciones para cada intervalo de tiempo por esta razón se incluyen los
anteriores en la última expresión dando de esta manera lugar a las
raíces de ʎ
• desde las condiciones iniciales propuesta para la membrana teórica y
cualidades físicas se tomó en consideración la curva suave, por esta
razón se cumple una frecuencia armónica dando lugar a la expresión que
cumple con la superposición de funciones seno y coseno de onda
• tiene cavidad la aproximación del modelo vibracional de una cuerda,
aproximándola a [n] cuerdas juntas para formar una lámina o una figura
circular teniendo en cuenta que no tendrá puntos nodales si no líneas
nodales a lo largo de la superficie suponiendo en xy dando lugar a un
modelo de vibración bidimensional
BIBLIOGRAFIA
• ecuaciones diferenciales George m. Simmons
• vibraciones y onda A.P. French
• https://www.google.com.co/search?q=membranas+vibrantes&source