espero les ayude

1. INSTITUTO TECNOLÓGICO DE
VILAHERMOSA
Departamento de ciencias de la tierra.
Materia
Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos
Unidad 3
Estado de Deformación
Alumnos
Teresa de Jesús May De La Cruz
Carlos Enrique Notario Pérez
Danyrel De la Cruz Palma
Catedrático:
Carlos Rodríguez Jiménez
Lugar y fecha: Villahermosa Tab. a 30 de marzo de 2019

2. 3.1 Descripciones del movimiento.
Formulaciones Lagrangiana y Euleriana
En la descripción del movimiento (o desplazamiento) y deformaciones (y por lo tanto para
el cálculo de tensiones) de los cuerpos, es fundamental la elección de un sistema de referencia
para describir el mismo. En el cálculo lineal no existe distinción entre la configuración inicial (no
deformada) y la configuración temporal (o deformada) ya que las características geométricas y
mecánicas son invariantes. Ésta es la característica fundamental que diferencia el cálculo lineal
del no lineal.
Desde el punto de vista de la Mecánica de Medios Continuos (MMC) un sólido es un
conjunto infinito de partículas que ocupan una posición en el espacio. Estas posiciones son
variables en el tiempo, a la posición de todas ellas en un instante dado se le denomina
configuración.
En el desarrollo que sigue a continuación se denotan con letras mayúsculas los estados
referidos a la configuración inicial y con minúsculas los referidos a la configuración temporal (o
deformada).
u Pp xi X I
Si se conociesen los vectores posición X y x para cualquier instante, estaría perfectamente
definido el movimiento del cuerpo. En Mecánica de Medios Continuos, se supone que estas
funciones con continuas y biunívocas, por la tanto, es posible escribir:
o bien,
o de la posición temporal (formulación euleriana

3. Se podría decir que la formulación Lagrangiana se ocupa de lo que le sucede al sólido
mientras que la formulación Euleriana se ocupa de lo que le sucede a una zona del espacio. En el
caso de un ensayo de tracción se define la deformación como:
Esta deformación se suele llamar deformación ingenieril y corresponde a una descripción
Lagrangiana del problema. Por el contrario, si se realiza un enfoque Euleriano del mismo surge el
concepto de deformación real como
Como se puede ver la diferencia entre los dos estriba en comparar el alarmiento con la
longitud inicial o con la longitud en el instante considerado.
 Gradientes de deformación y desplazamiento
Considérese dos puntos infinitamente próximos de un sólido sometido a un estado de
deformación. Las proyecciones de un elemento diferencial de la configuración deformada en
función de la configuración inicial son:
que se puede expresar matricialmente como:
Donde F es la matriz jacobiana de la transformación. Esta matriz se denomina gradiente
de deformación y transforma vectores en el entorno de un punto de la configuración de referencia
a la configuración temporal,
Sustituyendo las anteriores se tiene
Por lo que la ecuación se puede escribir

4. De donde se deduce que el tensor gradiente de deformación se puede descomponer en suma de
dos:
3.2 El estado de deformación de un sólido: descripción
matemática:
Estudiar la deformación consiste en ver como se transforman los puntos de K en los puntos de
K', o dicho de otra manera, como cambian sus coordenadas de los puntos del sólido al
desplazarse por la acción de las fuerzas exteriores. Cada punto situado dentro de K al desplazarse
se transforma en un punto situado dentro de K'. Matemáticamente, este proceso permite definir
una correspondencia entre ambos conjuntos, de tal manera que a cada punto de K le corresponde
un punto de K' (y viceversa). Eso motiva la siguiente definición matemática de deformación:
 Definición.
Una deformación de un cuerpo elástico K, es una transformación TD:
TD:K¾®K'ÌR3 P ¾® TD(P) = P'
(siendo K' el sólido deformado) que cumple: (i) TD es una aplicación biyectiva, es decir, que
tiene inversa. (ii) TD y su inversa son de clase C(1), es decir, ambas son diferenciables y sus
derivadas primeras son continuas.
Nota: De toda aplicación que satisface (i) y (ii) se dice que es un difeomorfismo.
La condición (ii) asegura que ciertas condiciones de regularidad en la forma en que puede
deformarse un cuerpo, que siempre se dan en los sólidos reales. Además dicha condición excluye
del tratamiento a cierto tipo de "deformaciones" físicamente no razonables o aquellas que
implican fractura o pérdida de continuidad del material.
Por otra parte, la deformación también puede quedar especificada por el campo vectorial
de corrimientos u = (ux, uy, uz) Î R3 definido por:
u(P) = TD(P) - P (con P = (x, y, z)ÎK )
 El tensor deformación

5. Sean P y Q dos puntos del sólido elástico K antes de deformar y sean P' = TD(P) y Q' =
TD(Q) los correspondientes puntos de K'. Consideremos ahora coordenadas sobre K y K' (=
sólido después de la deformación). Si las coordenadas de todos estos puntos vienen dadas por:
P = (x, y, z) ÎK Q = (x + Dx, y+ Dy, z+ Dz) ÎK
P' = (x', y', z') ÎK' Q' = (x' + Dx', y' +Dy', z'+Dz') ÎK'
Las distancias entre P y Q antes y después de la deformación serán entonces:
Introduciendo ahora el vector de corrimiento u = (ux, uy, uz), se tiene que ui = x'i - xi y por tanto
Dui = Dx'i - Dxi, por lo que:
DL'2 = (Dx+Dux)2 + (Dy+Duy)2 +(Dz+Duz)2
DL'2 = (Dx2+ Dy2+Dz2) + 2(DxDux+ DyDuy DzDuz) + (Dux2+ Duy2 Duz2)
Después de ciertas manipulaciones algebraicas llegamos a una ecuación que relaciona
ambas distancias: dividiendo por DL2, y pasando al límite, se obtiene la ecuación fundamental
del tensor deformación.
La ecuación que relaciona el cambio de longitud en el entorno de un punto motiva la
siguiente definición:
 Definición.
Estado de deformación de un sólido. Llamaremos estado de deformación de un
sólido a la aplicación DL: R3¾®L(R3) que asigna a cada punto P la aplicación DL que
en cada punto da la variación de distancia debida a la deformación. Así DL es la única
aplicación que para cada punto fijada una dirección n satisface:
(· Denota el producto escalar de dos vectores). Obsérvese también que el estado de
deformación DL al igual que el estado de tensión T, es un tensor simétrico.
A efectos prácticos muchos problemas pueden resolverse forma suficientemente
aproximada utilizando otro tensor para caracterizar la deformación, diferente de DL. A
este otro tensor se le llama tensor deformación lineal de Cauchy-Lagrange y se designa
mediante DCL, mientras que DL se conoce como tensor deformación no lineal de
Landau. El tensor DCL viene dado por:
Obsérvese que ambos tensores son simétricos y que el segundo de ellos
satisface la misma ecuación que DL, aunque tan sólo de forma aproximada. Dicha
aproximación es tanto mejor cuánto menores sean las derivadas de los corrimientos:

6. En cuanto a cuando puede emplearse esta aproximación puede utilizarse en cada punto la
siguiente desigualdad que relaciona las componentes de ambos tensores deformación:
Donde emax = max |eij| y k es una constante que depende de los signos relativos de las
derivadas parciales de las componentes del vector (ux, uy, uz). En la mayoría de casos prácticos
puede tomarse k = 1 sin cometer un error apreciable; por tanto el error relativo cometido al
utilizar el tensor deformación de Cauchy-Lagrange en lugar del tensor de Landau.
Por tanto si se desea un error del orden de un 1% deberá usarse el tensor deformación de
Landau siempre y cuando emax > 0,01, si nos conformamos con cometer un error del orden de un
10% será correcto utilizar el tensor deformación de Cauchy-Lagrange siempre y cuando emax <
0,1 debiendo utilizarse, el tensor deformación de Landau si 2emax > 0,1.
 Interpretación del tensor deformación
Consideremos una base en la que el tensor deformación es diagonal. En el caso de pequeñas
deformaciones y utilizando la fórmula de Taylor:
(1+ x ) r = 1 + rx + ...
Podemos escribir para la deformación en, deformación en la dirección n: si en particular
tomamos (nx, ny, nz) = (1,0,0) tenemos que e = exx. Por tanto la interpretación del tensor
deformación es la siguiente: (en una base diagonal dada) la deformación principal eii representa
el alargamiento en la dirección i. Así en el entorno de un punto las longitudes en dirección i se
alargan tendremos eii > 0, mientras que si se encogen tendremos eii < 0.
 Cálculo de dimensiones en el sólido deformado
Un problema que se presenta a menudo es conocer las relaciones entre el sólido no deformado
y el sólido deformado, las siguientes ecuaciones dan cuenta de ello.
Sea una curva CÌK de longitud l, que al someter K a una deformación se transforma en la
curva C' de longitud l', entonces la relación entre l y l' viene dado por: siendo n el vector tangente
a la curva C y siendo en(L) y en(CL) las deformaciones de Landau y de Cauchy-Lagrange en la
dirección de n para cada punto. Si hacemos la hipótesis habituales de pequeñez de las
deformaciones esta fórmula exacta puede escribirse simplemente como:
Siendo q el ángulo inicial ente dos direcciones cualesquiera (n y n'), y siendo en y en' las
deformaciones unitarias según estas dos direcciones. Si en una base cualquiera tomamos n = (1,
0, 0) y n'= (0, 1, 0) y aplicamos la ecuación anterior teniendo en cuenta que q = p/2, obtenemos
que Dq = 2exy. Esta última ecuación proporciona una interpretación geométrica para exy, exz. y
2ezy en términos de variaciones angulares.

7.  Estados de deformación físicamente admisibles
Una vez definido el tensor deformación para un sólido, podemos preguntarnos como siempre
que condiciones debe cumplir un campo tensorial para que podamos asegurar que representan un
estado de deformación físicamente admisible:
Un campo tensorial simétrico representa un estado de deformación en un sólido si y sólo si:
(i) Para todo punto del sólido, las deformaciones principales [del tensor deformación de
Landau] son mayores que -1/2.
(ii) Cada uno de los elementos de la matriz que representa el tensor deformación es
diferenciable dos veces.
(iii) Se verifican las llamadas ecuaciones de compatibilidad (dichas ecuaciones tienen que ver
la existencia del campo de corrimientos u, es decir, permite afirmar la integrabilidad de un
sistema de ecuaciones para u).
 Ecuaciones de compatibilidad.
Para que un tensor deformación del tipo DCL sea aceptable, deberá derivar de un campo de
desplazamientos bien definido. Para que esto suceda deben satisfacerse las siguientes ecuaciones
de compatibilidad:
Dichas ecuaciones son las condiciones de integrabilidad para poder garantizar que DCL
puede integrarse para dar lugar a un campo de desplazamientos (ux, uy, uz). Puede comprobarse
que dichas ecuaciones de compatibilidad se satisfacen idénticamente si existe un campo
desplazamientos (ux, uy, uz) tal que:
En el caso general, es decir, considerando un tensor deformación DL no lineal de Landau,
las ecuaciones de compatibilidad adoptan una forma más complicada:
(1+ x ) r = 1 + rx + ...
Estas ecuaciones de compatibilidad para el tensor no lineal de Landau son no lineales y de
difícil aplicación. Sin embargo, su linealización alrededor de sus soluciones coincide con las
ecuaciones de compatibilidad para el tensor lineal de Cauchy-Lagrange. En la práctica nos
conformaremos con comprobar que se satisfacen las ecuaciones linealizadas, es decir, las
ecuaciones de compatibilidad para el tensor lineal de Cauchy-Lagrange.

8. 3.3 Calculo de deformaciones. El tensor de deformación
infinitesimal
El problema que pretendemos resolver en esta sección es el siguiente: dado un campo de
desplazamientos u: Ω → R3, ¿cuáles son las deformaciones Є 𝑒𝑥 y 𝛾𝑒𝑥 en todos los puntos y todas
las direcciones posibles? Este es el problema central de la cinemática de los cuerpos deformables.
Para calcular las deformaciones en cualquier punto será necesario determinar la forma
local del campo de desplazamientos alrededor de dicho punto. Como siempre en teoría de
campos, esta información la recoge el gradiente:
Dado un campo de desplazamientos u : Ω → R3 se define el tensor gradiente de
desplazamientos ∇ 𝑢 como aquel que verifica
𝑢( 𝑃 + 𝑑𝑟) = 𝑢( 𝑃) + ∇𝑢( 𝑃) 𝑑𝑟 + 𝜎(| 𝑑𝑟|2
)
La expresión en coordenadas cartesianas de la matriz asociada al tensor ∇u es:
|∇𝑢(𝑃)| = [
𝑢 𝑥,𝑥(𝑃) 𝑢 𝑥,𝑦(𝑃) 𝑢 𝑥,𝑧(𝑃)
𝑢 𝑦,𝑥(𝑃) 𝑢 𝑦,𝑦(𝑃) 𝑢 𝑦,𝑧(𝑃)
𝑢 𝑧,𝑥(𝑃) 𝑢 𝑧,𝑦(𝑃) 𝑢 𝑧,𝑧(𝑃)
]
El gradiente de desplazamientos es también a dimensional y, como veremos después, nos
servirá para calcular deformaciones. Para simplificar el cálculo de las mismas vamos a suponer a
partir de ahora que el cuerpo al desplazarse se deforma muy poco. La definición precisa de qué
significa esto es la siguiente:
Se dice que un cuerpo experimenta una deformación con pequeña si ‖ 𝛻𝑢 ‖ ≪ 1. Esto
ocurre si y solo si todas las componentes de 𝛻𝑢 son mucho más pequeñas que 1.
 El tensor de deformaciones infinitesimales
Cuando calculemos deformaciones comprobaremos que ´estas solo dependen de la parte
simétrica de ∇u y a este objeto lo denominaremos el tensor de deformación, y juega un papel
central en el modelo del solido deformable.
Dado un campo de desplazamientos u : 𝛺 → 𝑅3
, definimos la deformación infinitesimal
D como el campo de tensores simétricos.
𝐷( 𝑃) ≔ ∇ 𝑆
𝑢( 𝑃) =
1
2
(∇𝑢( 𝑃) + ∇𝑢 𝑇( 𝑃))

9. La parte de 𝛻𝑢 que no está asociada a la deformación infinitesimal D, es decir la parte
hemisimetrica del tensor, si que está asociada al movimiento local y recibe la siguiente
definición:
La parte hemisimetrica de ∇u(P) es el campo tensorial de giro infinitesimal
Ω:= ∇a
𝑢( 𝑃) =
1
2
(𝛻𝑢( 𝑃) − ∇𝑢 𝑇
(𝑃))
Como Ω es un tensor hemisimetrico tiene un vector axial asociado ω, llamado el vector de
giro infinitesimal. Este campo vectorial satisface además
𝜔 =
1
2
𝑟𝑜𝑡𝑢
La interpretación geométrica completa de estos campos tensoriales es la siguiente. Si en
un punto P ∈ Ω se escogen tres vectores diferenciales ortogonales dr1, dr2, dr3, cuando el cuerpo
se deforme, estos tres vectores cambian de modulo y dirección transformándose en tres nuevos
vectores infinitesimales 𝑑𝑟𝑖
/
𝑑𝑟2
/
𝑑𝑟3
/
. Para cada uno de ellos se puede escribir.
𝑑𝑟1
/
= ( 𝐼 + 𝐷 + 𝛺) 𝑑𝑟𝑖 = 𝐷𝑑𝑟𝑖 + 𝜔𝑋𝑑𝑟𝑖
Así pues, los tensores D y Ω caracterizan, de forma completa, la transformación
geométrica local, para cada entorno diferencial de los puntos del cuerpo deformable.
 Calculo de deformaciones longitudinales
Para obtener una expresión que nos permita obtener el valor de εex en función de u y sus
gradientes, sustituimos el desarrollo de Taylor del campo de desplazamiento en la expresión. Sea
η el vector unitario en la dirección en la que queremos.
Calcular la deformación longitudinal. Entonces,
𝜖 𝑒𝑥 ≔
| 𝑑𝑟/
|
| 𝑑𝑟|
− 1 =
| 𝑑𝑟 + 𝑢( 𝑄) − 𝑢(𝑃)|
| 𝑑𝑟|
− 1 =
| 𝑑𝑟 + ∇𝑢( 𝑃) 𝑑𝑟|
| 𝑑𝑟|
− 1
La expresión para la deformación longitudinal 𝜖 𝑒𝑥 es una función no lineal. Sin embargo,
si las deformaciones son pequeñas podemos aproximar.
𝜀 𝑒𝑥 ≈ √𝜂. 𝜂 + 2𝜂. ∇𝑢( 𝑃) 𝜂 − 1,
Y utilizando un desarrollo de Taylor para la función √1 + 𝑥 obtener finalmente
𝜀 𝑒𝑥 ≈ 𝜂. ∇𝑢(𝑃)𝜂

10. Se define la deformación longitudinal infinitesimal en un punto P ∈ Ω y una dirección
cualquiera η como el escalar.
𝜀( 𝑃, 𝜂) ≔ 𝜂. 𝐷𝜂
1._ La deformación longitudinal infinitesimal ε es una aproximación al la verdadera
deformación longitudinal εex, que es mucho más complicada de calcular. La aproximación es
tanto más valida cuanto más pequeña sea la cantidad [[∇u]]. Por tanto, ε solo es exacta cuando la
deformación sea infinitesimal. Para deformaciones finitas se puede dar el caso de que un cuerpo
que se mueve rígidamente tenga deformación ε no nula.
2._ La deformación ε es unitaria, y por tanto adimensional. Cuando un cuerpo se deforma,
una curva material C se deforma también pues cada uno de sus puntos se desplaza debido al
movimiento del cuerpo. A menudo es interesante encontrar la longitud de la curva deformada a
partir de la longitud inicial y de la deformación longitudinal unitaria en cada punto. Si la longitud
de la curva sin deformar es L, cada punto de la curva lo denominamos P y el vector tangente a la
curva P 𝜏, entonces:
𝐿/
= ∫ (1 + 𝜀(𝑃, 𝜏( 𝑝))) 𝑑𝑆.
𝐶
Un cuarto de aro de radio r se deforma según el campo de desplazamientos.
𝑢( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑘
𝑥2
2
𝑖
Siendo x un eje del sistema cartesiano situado en el centro del aro como se indica en la
figura. Calcular:
i) la deformación longitudinal unitaria ε en cualquier punto del aro y dirección
circunferencial.
ii) la longitud del aro deformado. El vector tangente al aro en un punto genérico es
τ = −𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑖 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑗, siendo θ ∈ [0,π/2] el ´Angulo que forma el vector de posición del
punto con el eje x. La deformación longitudinal unitaria en dicho punto y dirección es:
𝜀( 𝑃, 𝜏) = 𝜏. 𝐷𝜏 = 2𝑘𝑥𝑠𝑒𝑛2 𝜃
Como 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 el valor de la deformación es
simplemente 𝜀(𝑃, 𝜏) = 2𝜅𝑟 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃.
La longitud del trozo de aro deformado es:
𝐿/
= ∫ 𝑑𝑆/
= ∫ (1 + 𝜀( 𝜃, 𝜏))𝑑𝑆 =
𝜋 2⁄
𝜃=0𝐶
= ∫ (1 + 2𝑘𝑟𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝑑𝑆 =
𝜋
2
𝑟 +
2
3
𝑘𝑟2
𝜋 2⁄
𝜃=0

11. 3.4. Deformaciones por rotación, deformación lineal &
angular
Los cuerpos se deforman debido a la acción de las fuerzas aplicadas. Para conocer la
deformación de un cuerpo es preciso conocer primero la deformación de uno cualquiera de los
paralelepípedos elementales que lo forman. Veremos a continuación cómo la deformación de un paralelepípedo
elemental se puede descomponer e cuatro partes:
 Una traslación que lleva el origen delparalelepípedo del punto O alpunto O’
 Una rotación del paralelepípedo alrededor de un eje que pasa por O’
Estas dosprimeras partes van aoriginar el movimiento del paralelepípedo, perosin deformarse.
 Unas deformaciones lineales de las aristas del paralelepípedo
Fig.
1
Fig.
2
Fig.
3

12.  Unas deformaciones angulares “simétricas” de los ángulos que forman las aristas del
paralelepípedo, inicialmente a90º
Estas dos últimas partes son las que originan la deformación propiamente dicha delparalelepípedo.
Observación: En la 4ª parte nos hemos referido a Deformaciones Angulares “Simétricas”.
El por qué de ello lo veremos a continuación: Supongamos la cara del paralelepípedo contenida
en el plano XOY y supongamos, por ejemplo, que la arista OA gira 4º en sentido anti horario y la
arista OB gira 2º en sentido horario.
Estas deformaciones angulares las podemos obtener como suma de dos acciones: en una primera acción
hacemos girar las aristas el mismo ángulo, lo que denominaremos deformación angular simétrica, que
sería la media aritmética de las dos, o sea: 3º y en la segunda acción completamos la deformación angular
inicial, con lo cual la arista OA habría que girarla 1º más en sentido anti horario y la arista OB
restarla 1º, ósea, girarla 1º en sentido horario. Ésta acción sería una rotación
 Deformación
Como consecuencia de la deformación propiamente dicha del
paralelepípedo: deformaciones lineales y deformaciones angulares
simétricas, el vértice D delparalelepípedo experimentará el desplazamiento
Fig.
4
Deformación
angular
Deformación
angular simétrica Rotación
𝜹

13. DD’, con lo cual el elemento lineal OD, modifica su longitud y gira un ángulo transformándose en el elemento
lineal OD’.
Se denomina deformación unitaria (δ) del elemento lineal OD, al cociente entre el
desplazamiento sufrido por su extremo: DD´ y la longitud del elemento lineal: OD, es decir:
4.1
Si observamos la fig. 5. Se ve que δ es el desplazamiento que sufre el vector unitario ODo en la
dirección delelemento lineal OD.En efecto, por semejanza detriángulos ODD’y ODoDo’seobtiene:
Descompondremos a continuación el vector δ en dos componentes: una sobre la propia dirección
del elemento lineal OD, a la que denominaremos: deformación longitudinal unitaria () y otra en dirección
perpendicular al elemento lineal OD, a la que denominaremos: deformación angular unitaria (/2). Se
cumplirá:
 Estado de deformaciones en un punto
Como se verá a continuación, va a existir una analogía entre el Estado de Tensiones y el Estado de
Deformaciones
Tal y como se vio ‘’ a cada superficie S que pase por un punto Ode un sólido le corresponde una tensión
ρ, con componentes: σ (tensión normal) y
τ (tensión cortante)’’ y “al conjunto de todas
las tensiones que pueda haberen un punto O se
las denomina: Estado de Tensiones del punto
O”
/
Fig.
4.2

14. En el caso de las deformaciones va a ocurrir algo similar: “A cada elemento lineal que pasa por un
punto O de un sólido le corresponde una deformación unitaria δ, con componentes:
ε (deformación longitudinal unitaria) y /2 (deformación angular unitaria).” ,“Al conjunto de todas
las deformaciones que pueda haber enel punto O sele denomina: Estado deDeformaciones del punto O”
Siguiendo con dicha analogía, ‘’de las infinitas Tensiones que puede haber en un punto O
correspondientes a las infinitas superficies que pasanpor él, conocidas 6 de ellas: σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx ,
denominadas componentes del estado de tensiones en el punto O , podremos conocer todas las demás a
través dela ecuación siguiente:
Pues bien, en el caso de las Deformaciones ocurrirá algo similar y así podremos decir:“De
las infinitas Deformaciones que puede haber en un punto O, correspondientes a las infinitas direcciones de
elementos lineales que puedan pasan por él, conocidas 6 de ellas: εx, εy, εz, xy , yz, zx, denominadas
componentes del estado de deformaciones en el punto O, podremos conocer todas las demás, a
través de una ecuación matricial, que como ahora se verá, será similar a la de las tensiones
anteriores”
Sea un punto O del interior de un sólido en el que se suponen conocidas las 6componentes del estado
de deformaciones: εx, εy, εz, xy , yz, zx, ysea OD un
elemento lineal cuya deformación unitaria δ se desea
conocer. La dirección del elemento lineal OD la
definiremos por su vector unitario: u = ODo, dado por sus
cosenos directores: u (cos𝛼, cosβ, cos).
Construyamos ahora unparalelepípedo con diagonal entre
vértices opuestos ODo = 1 (ver fig. 8).
El paralelepípedo así construido tendrá por aristas:
cos𝛼(en dirección del eje OX), cosβ (en
dirección del eje OY) y cos (en dirección del eje OZ).
Para obtener el valor de la deformación unitaria δ calcularemos y sumaremos los
correspondientes desplazamientos sufridos por el punto Do debidos a las deformaciones longitudinales y angulares
unitarias dadas, correspondientes al punto O: , εy, εz, xy , yz, zx. Desplazamiento δ debido a las
deformaciones longitudinales: εx, εy, εz.
Fig.
7
Fig.
Fig.

15. Desplazamiento δ debido a las deformaciones angulares: xy, yz, zx
Sumando finalmente todos los desplazamientos δ obtenidos
quedaría:
Fig.10 a),b),c)
4.3

16. Poniendo las ecuaciones 4.3 en forma matricial, sería:
Y en forma abreviada: siendo:
‘tensor de deformaciones’
Conocidas las componentes del Estado de Deformaciones en un punto O: εx, εy, εz, xy,yz,zx y
dada una dirección OD cualquiera, definida por su vector unitario: u (cos𝛼, cosβ, cos), se podrá conocer,
por la ecuación obtenida (4.4), la deformación δ en dicha dirección. Una vez conocida
la deformación δ, se podrá obtener ε y /2, (ver fig.6):
 Representación de Mohr
Criterios de signos para las deformaciones, al utilizar el método gráfico de Mohr
 Deformaciones longitudinales (ε): Se consideran positivas las deformaciones longitudinales cuando
indican un alargamiento. Negativas encasocontrario.
 Deformaciones angulares (/2): se consideran positivas cuando impliquen un giro en sentido
horario. Negativas en caso contrario
4.4
4.5
4.6
Fig.
11
Fig.
12

17. Como las tensiones cortantes (τ) son las que
producen las deformaciones angulares (/2), se
observa por lo visto en la sección del tema de
Tensiones, que hay coherencia con los criterios de
signos dados para las tensiones cortantes y el dado
ahora para las deformaciones angulares: τ > 0 → /2
> 0.
Los criterios de signos utilizados para las
deformaciones angulares, en la representación gráfica de
Mohr, no coinciden con los dados en4 .3. Para la resolución analítica. Este hecho habrá de tenerse siempre en
cuenta en la resolución de los problemas.
Ejemplo:
 Calculo de deformaciones  y /2 en una dirección OD cualquiera
A partir de las componentes del estado de deformaciones plano en un punto O: εx, εy, xy,
se dibujará en un sistema de ejes coordenados: (ε, /2), la circunferencia de Mohr, tal y como se
ha indicado en el apartado anterior, obteniendo su centro y su radio.
De lo que se trata ahora es de poder conocer gráficamente las deformaciones ε y /2correspondientes
a una dirección OD, definida por su vector unitario: uD
Fig.
Fig.
Criterio de signos para
la resolución analítica
Criterio de signos para
la resolución grafica
(Mohr)

18. El procedimiento seráel siguiente:
Para pasar de la dirección OX (definida por u X), a la dirección OD (definida por uD), se deberá
girar, en sentido antihorario, el ángulo 𝛼. Pues bien, para pasar en la circunferencia de Mohr, del
punto X, (representativo del estado de deformaciones de la dirección OX), al punto D, (que
representará el estado de deformaciones de la dirección OD), se tendrá que girar, igualmente en sentido
antihorario, el ángulo 2𝛼. (o sea el doble del anterior).
Mediante este procedimiento las deformaciones enla dirección ODserán pues:
Deformación longitudinal: ε = OH = OC + CH = OC + CD.cosβ
Deformación angular: /2=DH =CD.senβ
(los valores de OC “centro” y CD “radio”, se obtendrán de la circunferencia de Mohr).
Fig.

19. 3.4 Deformaciones y direcciones principales
Deformaciones principales
De las infinitas Deformaciones que puede haber en un punto O de un sólido, relativas a
las infinitas direcciones OD que se puedan considerar, habrá unas que tengan los valores máximo
y mínimo a las que se denominará: deformaciones principales. A las direcciones
correspondientes en la que eso ocurre, se las denominará: direcciones principales
Ocurrirá pues igual que con las tensiones, que en las direcciones principales se cumplirá
que: γ/ 2 = 0 y por tanto: δ=ε.
Una
deformación
físicamente
admisible de un
sólido
deformable
viene caracterizada
por
un difeomorfismo TD cuyo jacobiano DTD(x,y,z) es positivo en todo instante y para todos los
puntos del cuerpo. A partir de esta deformación admisible podemos construir el campo vectorial
de desplazamientos y a partir de sus derivadas primeras construimos el llamado tensor
deformación.
Puede demostrarse que fijado un punto de un sólido deformable, toda deformación
físicamente admisible puede aproximarse localmente por tres alargamientos (o acortamientos) εi
según direcciones perpendiculares, el valor de estos alargamientos εi puede determinarse
resolviendo para cada punto la siguiente ecuación:
Las tres direcciones según las cuales se producirían estos alargamientos son precisamente
las rectas que pasan por el punto considerado y son paralelas a cada uno de los vectores ni. Si
para una determinada dirección principal εi > 0 entonces en esa dirección tenemos alargamiento,
mientras que εi < 0 corresponde a direcciones principales donde existe acortamiento.

20.  Calculo de deformaciones principales
Para obtener el valor de las deformaciones principales, recodemos que si εi es el valor de
una de ellas; por ser
εt
i = 0 resultará de acuerdo a:
Para que el sistema homogéneo de dos ecuaciones con dos incógnitas admita soluciones
distintas de la trivial (sen αi = cos αi = 0), la que no representa solución para el problema físico
planteado, puesto que no cumple la ecuación de condición sen 2 αi + cos2 αi =1
Y cuyas raíces son:

21. Para ubicar las direcciones principales, bastará con plantear la nulidad de la deformación
específica transversal
Si la ecuación XVI se satisface para αi = ϕI, también lo hara para 2ϕI + π = 2ϕII
Por lo tanto ϕII = ϕI + π/2
Es decir, que existen en el plano (x-y) dos direcciones ortogonales entre sí para las cuales
εt
r resulta nula. Resulta claro que ambas direcciones resultan también normales al eje z (tercera
dirección principal)
 Calculo de las deformaciones principales
Las ecuaciones correspondientes para calcular las Deformaciones Principales, se
obtendrán, por lo dicho antes, haciendo los cambios:
Y quedarán las ecuaciones:

22. Resolviendo este determinante, que da lugar a una ecuación de tercer grado, se obtendrán
las Deformaciones Principales: δ1, δ2, δ3 y se cumplirá:δ1=ε1,δ2=ε2,δ3=ε3
 Dirección principal
Definición matemática
Dada una magnitud física de tipo tensorial T se plantea el problema matemático de buscar
los vectores no nulos v que cumplan la ecuación:
Dicho problema constituye un problema matemático de vectores propios, donde los auto
valores (o valores principales) son valores del parámetro λ para los que existe solución y cada
una de las rectas generadas por un vector v se llama dirección principal. El significado físico
tanto de los valores y direcciones principales varía según la magnitud tensorial considerada. En
los siguientes apartados se explica el significado e importancia de valores y direcciones
principales para algunas magnitudes tensoriales importantes.
 Dirección principal
En física e ingeniería, una dirección principal se refiere a una recta de puntos formada
por vectores propios de alguna magnitud física de tipo tensorial. Los dos ejemplos más notorios
son las direcciones principales de inercia, usualmente llamadas ejes principales de inercia y
las direcciones principales de tensión y deformación de un sólido deformable.
Este artículo resume las propiedades matemáticas de las direcciones principales y el
significado físico de las mismas en diferentes los contextos.
 Ejes principales de inercia
Como es sabido en mecánica del sólido rígido, la inercia rotacional de un cuerpo viene
caracterizada por un tensor llamado tensor de inercia, que en una base ortogonal se expresa
mediante una matriz simétrica.

23. Los ejes principales de inercia son precisamente las rectas o ejes formadas por vectores
propios del tensor de inercia. Tienen la propiedad interesante de que un sólido que gira
libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. En cambio, si el
cuerpo gira alrededor de un eje arbitrario que no sea principal, el movimiento de acuerdo con
las ecuaciones de Euler presentará cambios de orientación en forma de precesión y nutación.
El hecho de que el giro alrededor de un eje principal sea tan simple se debe a que, cuando
un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular L y la velocidad
angular ω son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:
Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia corresponiente
a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes.
Puede probarse además que si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de
inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.
Todo cuerpo sólido tiene al menos un sistema de tres ejes de inercia principales (el tensor
de inercia siempre se puede diagonalizar) aunque, en particular, el número sistemas de ejes de
inercia principales puede llegar a ser infinito si el sólido rígido presenta simetría axial o esférica.
En el caso de la simetría axial dos de los momentos de inercia relativos a sendos ejes tendrán el
mismo valor y, en el caso de la simetría esférica, todos serán iguales. Los sólidos rígidos que
tienen simetría esférica se denominan peonzas esféricas y, los que sólo tienen simetría
axial, peonzas simétricas.
 Calculo de direcciones principales
En el tema 1 relativo a las tensiones, el cálculo de las Direcciones Principales venían
dadas por las ecuaciones 1.17.a y b.:
Pues bien, haciendo nuevamente los cambios:
Obtendremos las Direcciones Principales correspondientes a las Deformaciones
Principales y serán:

24. 3.6 Ecuaciones de compatibilidad.
Una ecuación de compatibilidad es una ecuación adicional a un problema mecánico de
equilibrio necesario para asegurar que la solución buscada es compatible con las condiciones de
contorno o para poder asegurar la integralidad del campo de deformaciones.
En el planteamiento del problema elástico, las ecuaciones de compatibilidad son
ecuaciones que si se cumplen garantizan la existencia de un campo de desplazamientos
compatible con las deformaciones calculadas. En otras palabras, las ecuaciones de compatibilidad
son las condiciones necesarias de integrabilidad para el campo de desplazamientos en términos de
las componentes del tensor deformación.
Elasticidad lineal.
En elasticidad lineal una deformación será físicamente posible si es compatible con un
determinado campo de desplazamiento U es decir si se cumplen las siguientes relaciones para las
componentes del tensor deformación:
Normalmente las componentes del campo de desplazamiento son desconocidas por lo que
necesitamos una relación expresable sólo en términos de las componentes del tensor
deformación. La expresión buscada es precisamente:

25. Estas últimas relaciones son precisamente las que se conocen como ecuaciones de
compatibilidad de la elasticidad lineal.
Elasticidad no lineal
En teoría de la elasticidad no lineal la relación entre el vector de desplazamientos y las
componentes del tensor tensión son no lineales y substancialmente más complicadas:
Por lo que las ecuaciones de compatibilidad en elasticidad no lineal también son no
lineales:
Donde los símbolos de Christoffel vienen dados por:
La ecuación se puede reinterpretar en términos de geometría diferencial, si consideramos
que el sólido se deforma sobre un espacio euclídeo una vez deformado las coordenadas
materiales dejarán de ser cartesianas y la medición de distancias requerirá el uso de un tensor
métrico de la forma:
Y en ese caso la condición no expresa más que el tensor de Riemann del espacio euclídeo
expresado en esta métrica debe ser nulo