Ecuaciones Diferenciales Primer Orden

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Ecuaciones Diferenciales Primer Orden

  1. 1. 1. DEFINICIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL. ¿Qué es una ecuación? Las que conoces son: 065 ,642 2 xx x 02 0 2 yx yx Entonces si observas, todas tienen una o varias incógnitas y la relación de igualdad. ¿Qué es una ecuación diferencial? 2. ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Siglos XVII y XVIII origen de las ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones diferenciales se originan en los principios del cálculo, con Isaac Newton y Gottfried Wilheln Leibnitz en el siglo XVII. Newton clasificó las ecuaciones de primer orden de acuerdo con las formas ),(),( yfdxdyxfdxdy y ).,( yxfdxdy Definición Una ecuación diferencial es la relación (igualdad) que hay entre una función y sus derivadas.
  2. 2. En 1675 Leibnitz asentó en un papel la ecuación: 2 2 1 yydy descubrió el método de separación de variables, así como procedimientos para resolver las ecuaciones homogéneas de primer orden y las ecuaciones lineales de primer orden. A Newton y Leibnitz , siguieron la familia Bernoulli: Jacob, Johann y Daniel. Con ayuda del cálculo formularon y resolvieron las ecuaciones diferenciales de muchos problemas de mecánica. Entre ellos el de la braquistócroma que conduce a las ecuaciones no lineal de primer orden cyy 2 )(1 En aquel tiempo, pasar de la ecuaciones 2 1 3223 )( aybay a la forma diferencial y, entonces, afirmar que las integrales en ambos lados de la ecuación debían ser iguales, excepto por una constante, constituyó ciertamente un avance trascendental. Así por ejemplo, mientras Johann sabía que )1( 1 paxddxax pp no era para p = -1 no sabía que )(ln xdxdx . Sin embargo, pudo demostrar que la ecuación axydxdy , que podemos resolver escribiéndola como , x dx y dy a tiene la solución cxy a . A principio del siglo XVIII Jacobo Riccati, matemático italiano, consideró ecuaciones de la forma 0,, yyyf .
  3. 3. Leonardo Euler, trabajó sobre el planteamiento de problemas de la mecánica y su desarrollo de métodos de solución para estos problemas matemáticos. También , mediante un cambio adecuado de variables, redujo ecuaciones de segundo orden a ecuaciones de primer orden; Creó el concepto de factor integrante; en 1739 dio un tratamiento general a las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias con coeficientes constantes; contribuyó al método de las soluciones en series de potencias y dio un procedimiento numérico para resolver las ecuaciones diferenciales. Posteriormente en el siglo XVIII, los grandes matemáticos franceses Joseph- Louis Lagrange (1736-1813) y Pierre-Simon Laplace (1749-1827) hicieron importantes aportaciones a la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias y, además, dieron por primera vez un tratamiento a las ecuaciones diferenciales parciales. 3. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES La finalidad no es tanto crear métodos de solución para ecuaciones diferenciales particulares, sino desarrollar técnicas apropiadas para el tratamiento de diferentes clases de ecuaciones
  4. 4. ORDINARIAS ECUACINES DIFERENCIALES PARCIALES LINEALES PRIMER ORDEN EC. DIFERENCIALES NO LINEALES ORDINARIAS ORDEN SUPERIOR A PARTIR DEL SEGUNDO Si una ecuación contiene solo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria. Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes, se llama ecuación diferencial parcial. Las ecuaciones diferenciales lineales se caracterizan porque la variable dependiente y sus derivadas son de primer grado, esto es la potencia de cada término que involucra a y es uno. Los coeficientes dependen sólo de la variable independiente x.
  5. 5. Una ecuación que no es lineal se le llama no lineal. Ejemplo 6.3.1 Las ecuaciones que estudiaremos tienen la forma : ),( tyf dt dy y se llaman ecuaciones diferenciales de primer orden. 4. SOLUCIÓN GENERAL Y PARTICULAR DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL. Sea la ecuación diferencial: t dt dy 2 (1) Para encontrar una solución de esta ecuación, es necesario contestar la pregunta: ¿Qué función y(t) al derivarla nos da 2t?. Si recordamos las fórmulas de derivación podremos contestar la pregunta y decir que es la función : y(t) = t 2 es decir, esta función es la que satisface la igualdad de la ec. (1), es la solución de la ec. (1). ¿Es la única solución?
  6. 6. y(t)= t 2 + 1 y(t) = t 2 + 2 y(t) = t 2 + c donde c R (2) Como podemos observar existe una infinidad de soluciones ver Fig. 6.4.1 y a (2) le llamaremos solución general de la ec. dif. (1). ¿Cuándo existe una única solución?. Que pasaría si en (2) sustituimos los valores x=1 y y=3, observemos que al despejar c=2 y al sustituirlo en la solución (2) obtendremos una solución particular: y(t)= t 2 +2 es decir, basta fijar un punto (t 0,y 0) para obtener una solución particular. ¿Siempre existe una solución particular para el problema ),( tyf dt dy con valores iniciales (t 0,y 0)?. La respuesta sería si, siempre y cuando, en el problema la función ),( tyf y su derivada sean funciones continuas en un intervalo I que contenga al punto (t 0,y 0) . 5. MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO. Para poder aplicar los diferentes métodos para encontrar la solución de una ecuación diferencial de la forma: ),( tyf dt dy es necesario seguir los dos pasos siguientes:
  7. 7. 1.- Identificar la ecuación. 2.- Aplicar el método correspondiente para encontrar su solución. 5.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES. Método Cuando una ecuación diferencial se puede llevar a una ecuación de variables separables, el método para resolverla consiste en: poner en uno de los miembros de la igualdad todo lo que esta en términos de la variable dependiente y en el otro todo lo que esta en términos de la variable independiente, posteriormente se integran ambos miembros con respecto a su variable y de esta manera obtenemos la solución general de la ecuación. 5.2 ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS Definición Una ecuación diferencial que se puede poner de la forma: )( )( yg tf dt dy recibe el nombre de ecuación diferencial de variables separables. Definición. Si una ecuación diferencial se puede llevar a la forma x y f dx dy entonces decimos que se trata de una ecuación homogénea.
  8. 8. Una ecuación homogénea puede ser resuelta con el cambio de variable x y u o bien y x v , donde u y v son variables dependientes y transformaran la ecuación en una ecuación de variables separables. 5.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS. Si la ecuación (1) es exacta entonces existe una función f(x,y) tal que dy y yxf dx x yxf dyyxNdxyxM ),(),( ,, Para toda (x,y), es decir 3..................., , 2................., , yxN y yxf yxM x yxf Definición. Una ecuación diferencial de la forma 0,, dyyxNdxyxM (1) se dice que es exacta si x yxN y yxM ,,
  9. 9. Método de solución para resolver una ecuación diferencial exacta: Integrando (2) con respecto a la variable x obtenemos yhdxyxMyxf ),(, (4) Derivando (4) con respecto a la variable y tenemos yhdxyxM yy yxf ),( , Igualando esta expresión con (3) obtenemos )( yh dxyxM y yxN y yh ),(),( )( La cual al integrarla nos da )( yh , que sustituyendo en (4), obtenemos la solución general de la ecuación diferencial exacta (1): dydxyxM y yxNdxyxMyxf ),(),(),(, La integración con respecto a la variable y se obtiene de una manera similar.
  10. 10. 5.4 ECUACIONES DIFERENCIALES, LINEALES DE PRIMER ORDEN. El procedimiento para resolver este tipo de ecuaciones, consiste en: Primer paso. Encontrar el factor integrante. dxxp e Segundo paso. Multiplicamos la ecuación (1) por el factor integrante. xqeyxp dx dy e dxxpdxxp )( la cual es equivalente a la ecuación dxxqeyed dxxpdxxp )( Definición. Una ecuación diferencial de la forma xqyxp dx dy (1) se llama ecuación diferencial lineal , de primer orden.
  11. 11. Tercer paso. Integramos esta última ecuación y resulta cdxxqeye dxxpdxxp o bien dxxpdxxpdxxp cedxxqeey (2) en otras palabras la solución de la ecuación (1) es de la forma (2). 5.5 ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI. El procedimiento para resolver este tipo de ecuaciones, consiste en realizar el cambio de variable n yv 1 , para convertir la ecuación (1) en una ecuación lineal y resolverla de esa manera. Definición. Una ecuación diferencial de la forma n yxqyxp dx dy (1) donde n es un número real diferente de 0 y 1, se llama ecuación de bernoulli.

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