Tema vii ecuaciones diferenciales ordinarias uney

PROFESOR: JULIO C BARRETO G MATEMÁTICA I
PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN
INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL
TEMA VII: ECUACIONES DIFERENCIALES
ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Isaac Newton (4 de enero de
1643, Woolsthorpe- 31 de marzo de
1727, Kensington) fue un físico, filósofo,
teólogo, inventor, alquimista y matemático
inglés. Autor de los Philosophiæ naturalis
principia mathematica (Principia).
Gottfried Wilhelm Leibniz, a veces
conocido como Von Leibniz fue un
filósofo, lógico, matemático, jurista,
bibliotecario y político alemán (1 de
julio de 1646, Leipzig-14 de noviembre
de 1716, Hannover).
Se dice que las ecuaciones diferenciales se originaron durante los siglos XVII y
XVIII. Más precisamente las ecuaciones diferenciales se originan en los principios
del cálculo, con Isaac Newton y Gottfried Wilheln Leibnitz en el siglo XVII.
Newton clasificó las ecuaciones de primer orden de acuerdo con las formas
   yf
dx
dy
xf
dx
dy
 , y  ., yxf
dx
dy
 En 1675 Leibnitz asentó en un papel la ecuación:
.
2
1 2
  yydy
Y descubrió el método de separación de variables, así como procedimientos para
resolver las ecuaciones homogéneas de primer orden y las ecuaciones lineales de primer
orden.
Jakob Bernoulli
Nació en Basilea el 27 de diciembre de 1654 y murió el 16
de agosto de 1705, también conocido como Jacob, Jacques o
James Bernoulli, fue un matemático y científico suizo y era
el hermano mayor de Johann Bernoulli (parte de la familia
Bernoulli).

PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 MATEMÁTICA I
Nació en Groninga un 8 de febrero de 1700 y
murió en Basilea el 17 de marzo de 1782. Fue
un matemático, estadístico, físico y médico
holandés-suizo. Destacó no sólo
en matemática pura, sino también en aplicadas,
principalmente estadística y probabilidad. Hizo
importantes contribuciones en hidrodinámica y
elasticidad. Daniel Bernoulli
Johann Bernoulli
También era conocido como Jean o John. Nació en Basilea
un 27 de julio de 1667 y murió allí mismo el 11 de
enero de 1748. Fue un matemático, médico y filólogo suizo.
Las novedades matemáticas de Leibniz sobre el cálculo
infinitesimal le cautivaron y fue mentor en Francia del
marqués de Guillaume de L’Hôpital.
A Newton y Leibnitz, siguieron la familia Bernoulli: Jacob, Johann y Daniel. Con
ayuda del cálculo formularon y resolvieron las ecuaciones diferenciales de muchos
problemas de mecánica.
Entre ellos el de la braquistócroma que conduce a las ecuaciones no lineales de
primer orden   .)(1 2
cyy 
En aquel tiempo, pasar de la ecuación
2
1
322
3








ayb
a
y a la forma diferencial y,
entonces, afirmar que las integrales en ambos lados de la ecuación debían ser iguales,
excepto por una constante, constituyó ciertamente un avance trascendental.
Así por ejemplo, mientras Johann sabía que 








1
1
p
ax
ddxax
p
p
no era para 1p
no sabía que  x
x
dx
ln .
Sin embargo, pudo demostrar que la ecuación ,
ax
y
dx
dy
 que podemos resolver
escribiéndola como ,
x
dx
y
dy
a  y tiene la solución .c
x
ya


A principio del siglo XVIII Jacobo Riccati,
matemático italiano, consideró ecuaciones de la
forma   0,,  yyyf .
Se le recuerda por el estudio de ecuaciones que
llevan su nombre, un tipo de ecuaciones
diferenciales de la forma:
      2
210 yxqyxqxqy 
Extensiones de la ecuación diferencial de primer
orden. En general, esta ecuación no se puede
resolver elementalmente (o en términos finitos);
lo que fue demostrado en el siglo XIX.
El conde Jacopo Francesco
Riccati (28 de mayo de
1676, Venecia,- 15 de abril de
1754, Treviso) fue un
matemático y filósofo
veneciano, que estudió
detalladamente la hidrodinámica
sobre la base de la mecánica
newtoniana, a cuya introducción
en Italia colaboró
Leonardo Euler, trabajó sobre el planteamiento de problemas de la mecánica y su
desarrollo de métodos de solución para estos problemas matemáticos. También, mediante
un cambio adecuado de variables, redujo ecuaciones de segundo orden a ecuaciones de
primer orden; Creó el concepto de factor integrante; en 1739 dio un tratamiento general a
las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias con coeficientes constantes; contribuyó al
método de las soluciones en series de potencias y dio un procedimiento numérico para
resolver las ecuaciones diferenciales.
Posteriormente en el siglo XVIII, los grandes matemáticos franceses Joseph-Louis
Lagrange (25 de enero de 1736, Turín, Italia- 10 de abril de 1813, París) y Pierre-
Simón Laplace (23 de marzo de 1749, Beaumont-en-Auge- 5 de marzo de
1827, París) hicieron importantes aportaciones a la teoría de las ecuaciones
diferenciales ordinarias y, además, dieron por primera vez un tratamiento a las
parciales.
Joseph-Louis Lagrange, bautizado
como Giuseppe Lodovico Lagrangia,
también llamado Giuseppe Luigi
Lagrangia o Lagrange, fue un físico,
matemático y astrónomo italiano que
después vivió en Prusia y Francia.
Pierre-Simón Laplace fue un
astrónomo, físico y matemático francés
que inventó y desarrolló la transformada
de Laplace y la ecuación de Laplace.

ECUACIONES DIFERENCIALES
DEFINICIÓN: Una ecuación diferencial es una igualdad que contiene las derivadas
de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
EJEMPLOS:
0
4
2
3
2
2
2
2
2
2





















x
u
y
u
x
u
xy
dx
dy
dx
yd
ey
dx
dy
x x
ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Las ecuaciones diferenciales pueden tener su origen en:
a) PROBLEMAS GEOMÉTRICOS
Veamos por medio de un ejemplo, como se puede originar una ecuación diferencial
en este campo de la matemática: Si se desea conocer una curva, que cumpla con la
condición de que en cada uno de sus puntos  yx, su pendiente sea igual al doble de la
suma de las coordenadas en dicho punto tendremos  yx
dx
dy
 2 que es la ecuación
diferencial originada por la condición dada.

b) PROBLEMAS DE OTRAS CIENCIAS
Supongamos que se ha determinado experimentalmente que el radio se desintegra a
una velocidad proporcional a la cantidad de radio presente. Si en 1600 años desaparece la
cantidad media inicial, hallar la cantidad perdida en 100 años. Llamando Q a la cantidad de
radio inicial, Q100 a la de 100 años y t al tiempo tendremos:
kQ
dt
dQ

Luego
k.dt
Q
dQ

Para hallar k integramos entre los datos conocidos:
  1600.ln
1600
0
. 22 kQ
Q
Q
Q
Q
dtk
Q
dQ
 
Ó sea   k.Q
Q
1600ln
2
ln 





Es decir
      k.QQ 1600ln2lnln 
Por tanto
 
1600
2ln
k
Luego para los 100 años será:
 
100
0
dt
1600
2lnQ
Q Q
dQ100

Es decir,
16
2ln
QlnQln 100 
Por tanto
958,0
043,0
Q
Q
e
100



Así,
Q100 = 0,958 . Q
c) PRIMITIVAS
Una relación entre las variables que contenga “n” constantes arbitrarias, se llama
PRIMITIVA. Las “n” constantes reciben el nombre de ESENCIALES si no se pueden
sustituir por un número menor de constantes.
EJEMPLO:
Sea + C x + D;By = A.x² las constantes A, B, C, D no son esenciales pues
dividiendo todo por B tenemos:
. x + C. x² + CC
B
D
x +
B
C
.x² +
B
A
y = 321= donde ,1
B
A
C  ,2
B
C
C  ,3
B
D
C 
luego . x + C. x² + Cy = C 321
Para hallar la ecuación diferencial de la primitiva dada; derivamos sucesivamente con
respecto a x ;. x + CC
dx
dy
212 ;2 12
2
C
dx
yd
 .03
3

dx
yd
Como esta última está libre de constantes arbitrarias, es la ecuación diferencial
asociada a la primitiva dada.

CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad.
CLASIFICACIÓN DE ACUERDO AL TIPO
I. LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDO)
Si una ecuación diferencial sólo contiene derivadas ordinarias de una o más variables
dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una
ecuación diferencial ordinaria.
EJEMPLOS:
23 2
 xxyy
0)12()32(  dyyxdxyx
y
dx
dy
x
dx
yd
y 33
3

023 
dx
dz
dx
dy
II. LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP)
Toda ecuación diferencial que contiene derivadas parciales de una o más variables
dependientes con respecto a dos o más variables independientes se denomina ecuación
diferencial parcial.

EJEMPLOS:
03
2



















y
u
x
u
yx
u
xyz
zyx
u
y
u
x
u
x 






















 3
2
2
3
OBSERVACIÓN: Más precisamente diremos que las ecuaciones diferenciales son:
 ORDINARIAS: Cuando la función f depende de una sola variable.
 PARCIALES: Cuando la función depende de varias variables.
CLASIFICACIÓN DE ACUERDO AL ORDEN
DEFINICIÓN DEL ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL: El orden
de una ecuación diferencial le corresponde al de la derivada de mayor orden que aparece en
dicha ecuación.
i. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden:
23 2
 xxy
dx
dy
0)12()32(  dyyxdxyx
03  x
dx
dy
y
ii. Ecuaciones Diferenciales Segundo Orden:
)(4´2´´3 xSenyyxy 

03
2



















y
u
x
u
yx
u
02´3´´  yyy
iii. Ecuaciones Diferenciales de Tercer Orden:
xyz
zyx
u
y
u
x
u
x 






















 3
2
2
3
y
dx
dy
x
dx
yd
y 33
3

1345´´2´´´ 22
 xeyyy x
iv. Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior:
   
253 34
 xyyy
CLASIFICACIÓN DE ACUERDO AL GRADO
El grado de una ecuación diferencial ordinaria, que puede escribirse como un
polinomio en la variable dependiente y sus derivadas, y por tanto es la potencia a la cual
esta elevada su derivada de mayor orden.
EJEMPLOS:
 .53
2
3
73
2
2
x
dx
dy
y
dx
dy
y
dx
yd


















Como es de Orden Dos, es una Ecuación
Diferencial de Tercer Grado.

 .45
2
2
2
xy
dx
dy
dx
yd






 Como es de Orden Dos, es una Ecuación Diferencial de
Primer Grado.
   .0
3 2
34
4
 ysen
dx
dy
x
dx
yd
dx
yd
No tiene grado a causa del término  .ysen
¡JUSTIFICA¡
CLASIFICACIÓN DE ACUERDO A LA LINEALIDAD
Se clasifican en Ecuaciones Diferenciales Lineales y No Lineales.
Las ecuaciones diferenciales lineales de orden n son todas aquellas que pueden
expresarse de la siguiente forma:
   
    
            

 01
1
1 xfxyxaxyxaxxaxyxa
n
n
n
n 
NOTA:
 Si   ,0xf la ecuación diferencial lineal es homogénea.
 Si   ,0xf la ecuación diferencial lineal es no homogénea.
Si nixai ,...,2,1,0),(  son todos valores constantes, entonces la ecuación
diferencial lineal es de coeficientes constantes; caso contrario se dice que la ecuación
diferencial lineal es de coeficientes variables.
)()()()´()()´´()()´´´()(3
)()()()´()()´´()(2
)()()()´()(1
0123
012
01
xfxyxaxyxaxyxaxyxaorden
xfxyxaxyxaxyxaorden
xfxyxaxyxaorden
er
do
er



En las ecuaciones lineales se observa las siguientes propiedades:

i. La variable dependiente y, y todas sus derivadas son de 1er
grado.
ii. Cada coeficiente depende solamente de la variable independiente x.
iii. Toda ecuación diferencial que no pueda expresarse en la forma (*) se llama ecuación no
lineal.
)ln(4´2´´´
)cos(2
)(
22
2
2
2
xyyy
xxyx
dx
dy
dx
yd
x
eyxsen
dx
dy
x x



Ecuaciones Diferenciales No Lineales:
3
4


y
dx
dy
e
dx
dy
xy x
1
)(32
2


dx
dy
e
ysen
dx
dy
dx
yd
xy
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA
DEFINICIÓN: Cualquier función  definida en un intervalo I que posee al menos
n derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de orden
n reducen la ecuación a una identidad, es una solución de la ecuación en el intervalo I.

SOLUCIÓN EXPLÍCITA
DEFINICIÓN: Se denomina solución explícita de )´,...,,,( )1( 
 n
n
n
yyyxf
dx
yd
en
un intervalo I a toda función  que al sustituirse por y   xy  en la ecuación
diferencial la satisface para cualquier valor de x del intervalo I.
EJEMPLO: Sea 023  yyy donde .)( x
ex  Al comprobar que la
función  satisface la ecuación diferencial dada, puesto que:
x
ex  )( y .)( x
ex 
Luego: 02323  xxx
eeeyyy
Y se concluye que
x
ex )( es solución explícita de la ecuación diferencial dada.
EJERCICIO: Dada la función )( 12 
 xx . Diga si es solución de la ecuación
diferencial ordinaria (EDO): 0
2
22
2
 y
xdx
yd
SOLUCIÓN IMPLÍCITA
DEFINICIÓN: La relación   0, yxG se denomina solución implícita de la
ecuación diferencial )´,...,,,( )1( 
 n
n
n
yyyxf
dx
yd
en un intervalo I, si es que la relación
  0, yxG define una o más soluciones explícitas de dicha ecuación diferencial en I.
EJEMPLO: Demostrar que 0 xy
eyx es una solución implícita de la
ecuación diferencial:
  011  xyxy
ye
dx
dy
xe
(*)
En efecto: Derivando implícitamente:

xy
xy
xyxyxy
xe
ye
dx
dy
ye
dx
dy
xey
dx
dy
xe
dx
dy




1
1
1)1(0)()1(
Sustituyendo en (*):
0111)
1
1
(*)1( 


 xyxyxy
xy
xy
xy
yeyeye
xe
ye
xe
 0 xy
eyx es solución implícita de (*)
EJERCICIO: La relación 0422
 yx es una solución implícita de la ecuación
diferencial
y
x
dx
dy
 en el intervalo .22  x
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Antonio Tineo. (1995). Topología de Espacios Métricos. Editorial Kariñas.
Ayres, Frank. (1975). Fundamentos de Matemáticas Superiores. Series de compendios
Schaum. McGraw-Hill Book Company, INC., USA
Barreto, J. (2015). Introducción al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos eléctricos,
al balanceo de ecuaciones químicas, a la investigación de operaciones y la
programación lineal. Colección de Universitaria. (1).
https://www.createspace.com/5230822
Grossman S. Stanley I. (2008). Álgebra Lineal. The McGraw-Hill Companies, Inc. Sexta
Edición. México D. F
Louis Leithold. (1998). Cálculo con Geometría Analítica. Séptima edición. Editorial:
Oxford University Press (USA)
Pulcell, E. y Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica. Segunda edición,
Prentice Hall Hispanoamericana, S. A. México-Englewood cliffs.
Ramirez, T. (1980). Ecuaciones diferenciales, Editorial Limusa. Mexico.
Saenz, J. (1995). Cálculo Diferencial para ciencias e ingeniería. Primera Edición.
Hipotenusa Barquisimeto- Venezuela.
Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal,
con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades. Editorial
Reverté.

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