Ecuaciones diferenciales Universidad

1. ECUACIONES DIFERENCIALES
UC1. IDENTIFICA LAS CONSIDERACIONES BÁSICAS, TEÓRICAS, Y
CLASIFICA LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CON
INICIATIVA.
EC1. Identifica las consideraciones teóricas de las Ecuaciones
Diferenciales generales con iniciativa.
1. Definición de la ecuación diferencial
Una ecuación diferencial es aquella que involucra una función junto con sus
derivadas y la variable o variables de la que depende:
Definición. Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una función
desconocida (la variable dependiente), las variables de las que depende
(variables independientes) y sus derivadas respecto de estas variables
independientes:
En las ecuaciones diferenciales pueden aparecer ciertos términos constantes
relacionados con el problema, que reciben el nombre de parámetros.
2. Clasificación de las ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad.
2.1 Tipo de ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones diferenciales se dividen en dos grupos según su tipo:
Las ecuaciones diferenciales ordinarias: son aquellas en las que la
función incógnita depende de una sola variable independiente, y = y(x) y
tienen la forma:
‫ܨ‬ሺ‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫,´ݕ‬ ‫´´ݕ‬ … ሻ = 0
Un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria es:
߲‫ݕ‬
߲x
= 2‫ݔ‬
La variable independiente (v. i) es x
La variable dependiente (v. d) es y

2. Las ecuaciones diferenciales ordinarias se pueden expresar de dos formas: la
forma implícita y la forma normal.
FORMA IMPLÍCITA.
En la ecuación diferencial no aparece despejada la derivada de mayor orden
yn
(x).
F[x, y(x), y´(x), y´´(x), y´´´(x), ,yn-1
(x), yn
(x)]= 0
Ejemplo: x2
y´´´+ 2xy – y´= 0
FORMA NORMAL
Aparece despejada la derivada de mayor orden yn
(x) en la ecuación diferencial.
yn
(x)= G[x, y(x), y´(x), y´´(x), y´´´(x), ,yn-1
(x)]
Ejemplo : y´´= 2xy´- 2sen(2x)
FORMA DIFERENCIAL
A(x,y)dx + B(x,y)dy = 0
Ejemplo: xy´´dx + 4y´´´dy = 0
De esta forma, se puede representar una misma ecuación diferencial de las
tres distintas formas:
‫´´ݕ‬ + 2‫´ݕ‬ = 3‫ݕ‬
݂´´ሺ‫ݔ‬ሻ + 2݂´ሺ‫ݔ‬ሻ = 3݂ሺ‫ݔ‬ሻ
߲2
‫ݕ‬
߲‫ݔ‬2
+ 2
߲‫ݕ‬
߲‫ݔ‬
= 3‫ݕ‬
Las ecuaciones en derivadas parciales: son aquellas en las que la función
incógnita depende de varias variables; por tanto, relacionan la función,
sus variables y las derivadas parciales de dicha función.
Un ejemplo de ecuación diferencial parcial es:
߲2
ܸ
߲‫ݔ‬2 + 2
߲ܸ
߲‫ݔ‬
= ܸ
La variable independiente (v. i) es "x" y "y"
La variable dependiente (v. d) es V
Las ecuaciones diferenciales parciales también se pueden expresar de dos
formas: la forma implícita y la forma normal.
FORMA IMPLÍCITA

3. No aparece despejada en la ecuación la derivada de mayor orden.
߲ଷ
‫ݖ‬
߲‫ݔ‬ଶ߲‫ݕ‬
−
߲ଶ
‫ݖ‬
߲‫ݔ‬ଶ
= 0
FORMA NORMAL
Aparece despejada en la ecuación la derivada de mayor orden.
߲ଶ
‫ݖ‬
߲‫ݕ߲ݔ‬
= 2
߲‫ݖ‬
߲‫ݔ‬
− 4‫ݔ‬
Ejemplo. Veamos cuáles de las siguientes ecuaciones son ecuaciones
diferenciales ordinarias y cuáles son ecuaciones en derivadas parciales.
Las ecuaciones diferenciales (a), (b) y (c) son ordinarias mientras que las
ecuaciones dadas en (d) y (e) son ecuaciones en derivadas parciales.
2.2 Orden de una ecuación diferencial
Definición. Se llama orden de una ecuación diferencial al orden de la mayor
derivada que aparece en la ecuación.
Ejemplo. Veamos qué orden y cómo se representan las ecuaciones
diferenciales siguientes.
2.3 Grado de una ecuación diferencial

4. Definición. El grado de una ecuación diferencial está dado por el exponente del
mayor orden de su derivada.
Ejemplo. Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones
diferenciales ordinarias.
2.4 Linealidad de una ecuación diferencial
Una ecuación diferencial es lineal si se puede representar de la siguiente
forma:
Debe cumplir las tres condiciones siguientes:
La variable dependiente “y” y todas sus derivadas son de primer
grado.
Cada coeficiente depende sólo de la variable dependiente “x”.
No debe aparecer funciones trigonométricas de la función incógnita
ni de sus derivadas.
Ejemplo.
߲‫ݕ‬
߲‫ݔ‬
߲ଷ
‫ݕ‬
߲‫ݔ‬ଷ
− 2
߲ଷ
‫ݕ‬
߲‫ݔ‬ଷ
= 0
Es una ecuación diferencial ordinaria lineal de tercer orden.
ቆ
߲ଷ
‫ݕ‬
߲‫ݔ‬ଷ
ቇ − 2‫ݕ‬
߲‫ݕ‬
߲‫ݔ‬
− ‫ݕ‬ଷ
+ cos‫ݕ‬ = 0
La ecuación diferencial no es lineal porque aparecen una derivada tercera
elevada al cuadrado, la función incógnita elevada al cubo y el coseno de la
función incógnita.

5. Dentro de las ecuaciones diferenciales lineales distinguimos:
Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes,
cuando todos los coeficientes son constantes: ai(x) = cte, ∀i = 1,..,
n.
Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables si
algún coeficiente es una función ai(x) que depende de x y no es
constante.
Ejemplo. Clasifiquemos las siguientes ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones diferenciales (a) y (b) son lineales con coeficientes constantes.
Las ecuaciones diferenciales (c), (d) y (e) son lineales con coeficientes
variables. Las ecuaciones diferenciales (f), (g) y (h) son no lineales.
3. Función primitiva de una ecuación diferencial
Una función que cuando se remplaza en la ecuación diferencial da una
igualdad, se llama una solución de la ecuación diferencial, por lo tanto, resolver
una ecuación diferencial es encontrar una función desconocida que al ser
sustituida en la ecuación diferencial se obtiene una igualdad.
Ejemplo. Resolver la ecuación diferencial

6. La expresión es una "función primitiva" de la ecuación diferencial.
Verificación
Observación: Al derivar la función primitiva se reproduce exactamente la
ecuación diferencial.

7. EC3. Resuelve problemas de las Ecuaciones diferenciales de primer
orden con precisión.
La resolución de ecuaciones diferenciales en términos de funciones analíticas
no es inmediata, especialmente si no son lineales. Sin embargo, en el caso de
las ecuaciones de primer orden existen ciertos tipos especiales de ecuaciones
que admiten métodos sencillos para resolverlas.
Dada una ecuación diferencial, tendremos que distinguir de qué tipo de
ecuación se trata y saber cuál es el método que nos va a permitir resolverla.
Para ello, veamos cuáles son las distintas formas en que se nos puede
presentar una ecuación diferencial de primer orden:
Forma general: Fሺx, y, y´ሻ = 0
Forma normal:
ப୷
ப୶
= fሺx, yሻ
Forma diferencial: M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
Como métodos básicos de resolución estudiaremos los que nos permiten
resolver las ecuaciones de variables separables y las diferenciales exactas.
Estas ecuaciones son las ecuaciones homogéneas, las ecuaciones con
coeficientes lineales (reducibles a homogéneas) y las ecuaciones de Bernouilli.
EC3. Resolución de problemas de ecuaciones diferenciales de primer
orden.
1. Ecuaciones diferenciales separables
Definición 1. Una ecuación diferencial de la forma,
߲‫ݕ‬
߲‫ݔ‬
= ݂ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ
es una ecuación separable o de variables separables si f(x, y) se puede
expresar como el producto de una función de x por una función de y, esto es:
డ௬
డ௫
= ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻqሺ‫ݕ‬ሻ (1)
Definición 2. Una ecuación diferencial de la forma,
M ሺx, yሻdx + Nሺx, yሻdy = 0
es una ecuación separable o de variables separables si se puede escribir de la
forma:
f ሺxሻgሺyሻdx + hሺxሻkሺyሻdy = 0 (2)

8. 1.1 Método de resolución
Si la ecuación diferencial presenta la forma (1), separamos las variables
x e y, aislándolas en miembros opuestos de la ecuación. Para ello, hemos de
suponer que q(y) ≠ 0, en ese caso:
1
‫ݍ‬ሺ‫ݕ‬ሻ
dy = ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻdy
Integrando ahora ambas partes de la igualdad,
∫
1
‫ݍ‬ሺ‫ݕ‬ሻ
݀‫ݕ‬ = ∫ ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ݀‫ݔ‬
obtenemos la solución implícita formada por una familia 1-paramétrica de
soluciones:
Fሺyሻ = ‫ܩ‬ሺ‫ݔ‬ሻ + C
Si q(y) = 0 es solución de la ecuación diferencial, la añadiremos a la familia 1-
paramétrica para obtener la solución general de la ecuación diferencial, a
menos que ya esté incluida en ella.
Si la ecuación diferencial presenta la forma (2), dividimos la ecuación por
g(y)h(x), obteniendo:
y por tanto, la ecuación queda de la forma:
A continuación separamos las variables:
obteniendo la solución implícita:
Fሺyሻ = ‫ܩ‬ሺ‫ݔ‬ሻ + C
Ejemplo 1: Separar las variables de la ecuación

9. Ejemplo 2: Resolver por el método de ecuaciones de variables separables
߲‫ݕ‬
߲‫ݔ‬
= −
2‫ݔ‬
‫ݕ‬
1) Primero revisamos si la ecuación diferencial es de variables separables:
߲‫ݕ‬
߲‫ݔ‬
= −
2‫ݔ‬
‫ݕ‬
= ሺ−2‫ݔ‬ሻ ൬
1
‫ݕ‬
൰ = ݂ሺ‫ݔ‬ሻ݃ሺ‫ݕ‬ሻ
2) Separando las variables:
y߲‫ݕ‬ = −2‫ݔ߲ݔ‬
3) Integrando tenemos:
1
2
‫ݕ‬ଶ
= −‫ݔ‬ଶ
+ ‫ܥ‬
La expresión representa una familia de soluciones: una solución para cada
valor de la constante C. Si graficamos las funciones para diferentes valores de
C tenemos:

10. Solución gráfica:
Ejemplo 2: Problema con Condiciones Iniciales
El problema consiste en encontrar una función Y=Y(x) solución a la ecuación
diferencial y que además cumpla Y(Xo) =Yo en el plano (es decir, que al
evaluar dicha función en X=Xo el valor resultante sea yo).
Generalmente este problema se resuelve primero encontrando la solución
general (aparece C arbitraria) y posteriormente se sustituten los datos del punto
(Xo, Yo) para determinar el valor de C.
Resuelve el problema con condiciones iniciales:
Por el ejemplo anterior la solución general es:
1
2
‫ݕ‬ଶ
= −‫ݔ‬ଶ
+ ‫ܥ‬
Como el punto (Xo= 1, Yo= 1) debe cumplir:

11. 1
2
1ଶ
= −1ଶ
+ ‫ܥ‬
Por tanto, C= 3/2 y la solución buscada es:
1
2
‫ݕ‬ଶ
= −‫ݔ‬ଶ
+
3
2
Solución gráfica:
Ejemplo 3:
En un cultivo de bacterias el número inicial estimado es de 200. Al cabo de 10
minutos es de 300. Indicar cuál será el número estimado al cabo de 20
minutos.
Recuerde que el modelo utilizado en estos problemas es:
Separando variables e integrando,
Despejando P:
Puesto que para t= 0 el número inicial es de P= 200:

12. Y para t= 10, el número es de 300:
Por tanto, para t= 20 tendremos:
http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/recursos/l841-02.pdf
2. Ecuaciones diferenciables exactas
Dada una familia de curvas F(x, y) = C, se puede generar una ecuación
diferencial de primer orden hallando la diferencial total de F:
es decir:
El método en que se basa la resolución de las ecuaciones exactas es el
proceso inverso. Es decir, dada una ecuación diferencial en la forma:
intentamos ver si corresponde a la diferencial total de alguna función de dos
variables.
Definición. Una ecuación diferencial de primer orden
es exacta en un rectángulo R si M(x, y)dx + N(x, y)dy es una diferencial exacta, es decir,
si existe una función F(x, y) tal que:

13. Teorema. Sean M(x, y) y N(x, y) funciones continuas con derivadas parciales
de primer orden continuas en un rectángulo R. Entonces, la ecuación
es exacta si y sólo si se verifica:
2.1 Método de resolución
Si la ecuación (2.6) es exacta, existe una función F de modo que:
por tanto, la ecuación queda:
y la solución es:
Ejemplo 1: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales exactas:
(x2 + y2 + 2x)dx + (2xy + 3y2)dy = 0.
Comprobamos en primer que es exacta:
Por tanto, la soluci´on general viene dada por F(x, y) = C, siendo F una funci´on
tal que:
Calculemos F(x, y). Integrando la ecuaci´on (2.10) respecto de x tenemos:

14. Derivando esta expresión respecto de y, se tiene que:
Igualamos esta ecuación a la ecuación (2.11):
y despejamos :
por tanto:
Podemos tomar k = 0, ya que en la solución final de la ecuación diferencial esta
constante quedará englobada en la constante C. Por tanto, la función F
buscada es:
y la solución general de la ecuación diferencial es:

15. Ejemplo 2: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales exactas:
3. Ecuaciones diferenciales lineales
Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden pueden ser lineales o
no lineales. En esta sección centraremos la atención en las ED lineales.
Una ecuación diferencial lineal de primer orden es de la forma:
Una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden es de la
forma:

16. Ejemplo. Mostrar que las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales:
Ejemplo. Las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales homogéneas:
3.1 Resolución de la ecuación diferencial lineal homogénea
Ejemplo. Resolver la siguiente ecuación diferencial lineal homogénea

17. 3.2 Resolución de la ecuación diferencial lineal no homogénea de primer
orden

18. Ejemplo 1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineal no
homogénea
Ejemplo 2. Resolver la siguiente ecuación diferencial lineal no homogénea

19. Ejemplo 3. Resolver la siguiente ecuación diferencial lineal no homogénea