1. MARCO ANTONIO ALPACA CHAMBA
La Ecuación de Schrödinger.
En la mecánica clásica es posible calcular, por ejemplo, los modos de vibración de
una cuerda, membrana o resonador mediante la resolución de una ecuación de
onda, sujeto a ciertas condiciones de contorno. En el comienzo del desarrollo de la
mecánica cuántica, uno se enfrenta con el problema de encontrar una ecuación
diferencial que describa los estados discretos de un átomo. No fue posible deducir
exactamente una ecuación como tal de principios físicos antiguos y conocidos,
sino que había que buscar paralelismos, con la mecánica clásica y tratar de
deducir la ecuación deseada sobre la base de argumentos plausibles. Una
ecuación como tal, no se dedujo pero se calculó intuitivamente, entonces sería un
postulado de la nueva teoría, y su validez tendría que ser comprobada mediante
la experiencia. Esta ecuación para el cálculo de los estados mecánico cuánticos
se llama la ecuación de Schrödinger, vamos ahora a obtenerla.
En mecánica clásica relativista, las coordenadas temporales y las coordenadas
espaciales, así como la energía y el momentum son tratados como las
cuadricomponentes de un cuadrivector, es decir,
(6,1).
Al ampliar la representación del operador del momentum tridimensional al
tetradimensional, obtenemos el vector operador covariante relativista
(6.2)
Ambos lados de esta ecuación son cuadrivectores. En comparación, la energía es
reemplazada por el siguiente operador:
(6.3).
Recordamos aquí que ya se tiene un operador para la energía en (4,83), es decir,
el hamiltoniano de una partícula. Obviamente tenemos dos operadores para la
energía. Tanto como el hamiltoniano describen la energía total y por lo tanto
se pueden igualar. Esto genera la ecuación de Schrödinger.
(6.4).
Usando la función de onda de una partícula libre (onda de Broglie),

2. MARCO ANTONIO ALPACA CHAMBA
(6,5), nos encontramos que el
operador tiene la energía total E como un eigenvalor.
La ecuación de Schrödinger (6.4) no es una ecuación relativista. En efecto, a partir
de (6.6), para la energía de una partícula libre relativista, la
ecuación de Klein-Gordon libre sigue, es decir,
(6,7).
La ecuación de Schrödinger y la ecuación de Klein-Gordon son ecuaciones
diferenciales lineales, lo que significa que con y la función definida por
es una solución, también. Esta es la formulación matemática del
principio de superposición, que se analizó en el capítulo. 3. La ecuación de
Schrödinger es de primer orden en el tiempo y de segundo orden en el espacio, la
ecuación de Klein-Gordon es de segundo orden tanto en el espacio como en el
tiempo. Suponemos que la función de onda en tiempo contiene toda la información
acerca de cómo el Estado se propaga si no existen perturbaciones externas. Sólo
la ecuación de Schrödinger como una ecuación diferencial de primer orden en el
tiempo satisface estos requerimientos. La ecuación de Klein-Gordon, que es
importante en la mecánica cuántica relativista, necesita ser reinterpretada. La
ecuación de Schrödinger (6.4) contiene la unidad imaginaria i como un factor, lo
que implica que las soluciones oscilantes son posibles.
Esto es separable en el tiempo y en el espacio, si el hamiltoniano no
está explícitamente dependiendo del tiempo: y por lo tanto
(6,8), [ya que y son dos funciones
diferentes, esto no debe dar lugar a malentendidos.] Después de separar las
variables, uno encuentra la ecuación
(6.9).
Esto significa para la función dependiente del tiempo
(6.10).

3. MARCO ANTONIO ALPACA CHAMBA
La función con el argumento espacial resuelve la ecuación estacionaria de
Schrödinger (6.11).
La función de onda es periódica en el tiempo, con el factor de fase
, y que es por qué las densidades también lo es, como
veremos, las corrientes son independientes del tiempo. La ecuación (6.4) es una
ecuación de eigenvalores del hamiltoniano, con E siendo el eigenvalor de energía
real. Las soluciones generales de (6.4) son funciones oscilantes en el tiempo,
(6.12), con la normalización
(6,13).
Cualquier estado estacionario corresponde a la energía bien definida y a una
estabilidad infinita en el tiempo. Tiene el carácter de una onda estacionaria, debido
a la densidad de probabilidad dada por que es independiente del tiempo.
Esto no es cierto para una superposición lineal de estados estacionarios.