El documento resume la aplicación de la mecánica cuántica al átomo de hidrógeno en tres dimensiones. Explica las diferencias entre los modelos clásico y cuántico, y cómo Schrödinger resolvió la ecuación de onda en coordenadas esféricas, llegando a los mismos niveles de energía que Bohr pero introduciendo tres números cuánticos en lugar de uno. También discute las similitudes y diferencias entre los modelos de Schrödinger y Bohr.

1. Mecánica cuántica en tres dimensiones:
el átomo de hidrógeno
Alumno: Martin F. Pavero
Profesores: E. González, D. Menoyo & C. Salas
Seminario de Temas Avanzados II: Física
Licenciatura en Enseñanza de las Ciencias
Universidad Nacional de San Martín

2. Introducción
Resumiendo lo visto en el curso, podemos establecer algunas analogías y diferencias entre la formulación clásica y la
cuántica:
Mecánica Clásica versus Mecánica Cuántica
Ecuación de Newton Ecuación de Schrödinger
1 De segundo grado a derivadas
totales.
De segundo orden a
derivadas parciales.
2 El dato es la fuerza. El dato es el potencial.
3 Dada la fuerza pretende hallar
la trayectoria
Dado el potencial pretende
hallar la función de estado (y
la probabilidad)
4 No hay límites teóricos para la
precisión de una medición.
Existe un límite teórico más
allá del error experimental.
5 Todas las variables pueden
conocerse a la vez.
Existen variables observables
y otras no observables.

3. El átomo de hidrógeno en tres dimensiones
¿Por qué estudiar al átomo de hidrógeno? ¿Cuál es su trascendencia?
Es el elemento más abundante del Universo conocido, con una abundancia de más del 70%.
Limitaciones del modelo de Bohr
● Problema para explicar átomos multielectrónicos.
● Justificaba vagamente la cuantización del momento angular.
● La idea de trayectoria es incompatible con el principio de incertidumbre.
● No explicaba el efecto Zeeman.
A pesar de su éxito, el modelo comenzaba a generar dudas.

4. Schrödinger y el átomo de hidrógeno
Suponiendo al núcleo en reposo (Mn >> me) en el origen de coordenadas, y al electrón sometido a un
potencial coulombiano tenemos que:
El signo menos nos indica que este es un ejemplo de fuerza central.
Por otra parte, recordamos que la función de onda debe satisfacer la ecuación de Schrödinger:
Como puede verse, hay que dar información de x, y y z para r lo cual no resulta muy práctico.

5. Las coordenadas esféricas
Como es una fuerza central, entendemos al núcleo como el centro
de fuerzas ubicado en el origen.
Por lo tanto y para aprovechar la simetría, conviene utilizar las
coordenadas esféricas:
A pesar de la aparente complejidad de la ecuación, no le fue
complicado su resolución a Schrödinger ya que era similar a
algunas ecuaciones diferenciales de la física clásica.

6. La función de onda en
coordenadas esféricas
La función de onda queda expresada como el producto de tres
ecuaciones diferenciales comunes, cada una de ellas función de
una sola variable:
El producto de las funciones angulares es una función intermedia
llamada Y(𝛉,𝚽), y se conocen como los armónicos esféricos.
Para satisfacer los requisitos matemáticos, se establecen tres
parámetros: n, l, y m, que llamamos números cuánticos.

7. Las nuevas restricciones
En este proceso para determinar las soluciones que satisfagan las
condiciones de frontera, también se determinan los niveles de
energía correspondientes:
Como puede verse y a pesar de tener planteos distintos, el
resultado es idéntico al planteado por Bohr!. Sin embargo, el
modelo cuántico de Schrödinger nos permite explicar más cosas:
siendo l el número cuántico orbital.
donde m es el número cuántico magnético.

8. Los números cuánticos
Como se mencionó anteriormente, los tres números cuánticos resultantes de la ecuación de Schrödinger
estacionaria están vinculados siendo n el número cuántico principal, con la energía ; l, el número cuántico
azimutal (u orbital), con el módulo del momento cinético L ; y por último m, el número cuántico magnético
con la componente Lz del momento cinético. Entonces resulta:
n = 1, 2, 3, 4, 5,......
l = 0, 1, 2 ,3, … ( n - 1 )
m = -l, -l +1, ……. -2, -1, 0, 1, 2, ……. l-1, l
n l m Notación
espectroscópica
Capa
1 0 0 1s K
2 0 0 2s L
2 1 -1, 0, 1 2p L
3 0 0 3s M
3 1 -1, 0, 1 3p M
3 2 -2, -1, 0, 1, 2 3d M

9. Similitudes y diferencias entre los modelos de Schrödinger y
Bohr para el átomo de hidrógeno
Modelo de Bohr Modelo de Schrödinger
1 Modelo físico Modelo matemático
2 Existen órbitas permitidas en las que el electrón
no emite. Se concibe la idea de trayectoria.
No existen las órbitas. Se puede hallar la máxima
probabilidad de presencia. No hay trayectoria.
3 Postula la cuantización del momento cinético. El
mismo número vale para la energía como para el
momento cinético.
El momento cinético está cuantizado pero los
números para la energía y el momento son distintos.
4 Justifica series espectrales del hidrógeno. Justifica series espectrales del hidrógeno.
5 No puede justificar el efecto Zeeman normal. Justifica el efecto Zeeman normal.
6 No postula la cuantización espacial del momento
cinético.
Resulta cuantización espacial del momento cinético.

10. Resumen de resultados y posibles proyecciones didácticas
A partir de lo expuesto en la presentación, podemos concluir que:
● El modelo de Schrödinger al llegar a la misma expresión que el modelo de Bohr para los niveles de energía que puede
adoptar el electrón, resulta que también justifica las series espectrales del hidrógeno.
● Aparecen tres números cuánticos (en lugar de uno del modelo de Bohr). No es el mismo número cuántico que establece
la condición de energía el que lo hace para el momento cinético o para su proyección en el eje z.
● Por estar cuantificados L y Lz, se concluye que sólo el módulo y una componente pueden ser observables. Las otras no.
● No existen las órbitas, como plantea el modelo de Bohr. Como se discutió, la idea de trayectoria es incompatible con el
principio de incertidumbre. Se habla de regiones donde una hay mayor probabilidad de encontrar al electrón.
● Degeneración de los niveles de energía. Vimos que la energía sólo depende del número cuántico. Esto significa que para
un valor de energía dado le corresponden varias autofunciones según los posibles valores de m y l.
La degeneración puede dar puntapié a un trabajo interdisciplinar con Química para un nivel
superior. Algunos temas a tratar pueden ser:
Experimento de Stern Gerlach, Spin, Principio de exclusión de Pauli y la tabla periódica.

11. Funciones de onda completas para el átomo de hidrógeno

12. Bibliografía
1. P. Tipler & R. Llewellyn (2008). Física moderna. 5ta edición.
1. R. Eisberg & R. Resnik (1974). Física cuántica. Ed. Limusa.
1. L. R. Argüello (1998). Física moderna. 3ra edición. Ed. Answer Just in time.
1. J. Gratton (2003). Introducción a la mecánica cuántica.
1. Sears & Zemansky (1999). Fisica Universitaria vol. II. Ed. Pearson.