profe aqui esta mi unidad 5 haber si esta bien

1. INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA
SIERRA NEGRA DE AJALPAN
MARÍA R. LÓPEZ HERNÁNDEZ
UNIDAD 5 ESTADÍSTICA NO
PARAMÉTRICA
ESTADÍSTICA II
INGENIERÍA EN ADMINISTRACIÓN
4° SEMESTRE

2. Estadística noparamétrica.
5.1 Escala de medición
5.2 Métodos estadísticos contra no paramétricos
5.3 Prueba de corridas para aleatoriedad
5.4 Una muestra: prueba de signos
5.5 Una muestra: prueba de Wilcoxon
5.6 Dos muestras: prueba de Mann-Whitney
5.7 Observaciones pareadas: prueba de signos
5.8 Observaciones pareadas prueba de Wilcoxon
5.9 Varias muestras independientes: prueba de Krauskal-Wallis
5.10 Software de aplicación
ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA.

3. La estadística no paramétrica es una rama de la estadística que
estudia las pruebas y modelos estadísticos cuya distribución
subyacente no se ajusta a los llamados criterios paramétricos. Su
distribución no puede ser definida a priori (se utilizan para
distinguir entre dos tipos de conocimiento: el conocimiento a
priori es aquel que, en algún sentido importante, es
independiente de la experiencia; mientras que el conocimiento a
posteriori es aquel que, en algún sentido importante, depende de
la experiencia.), pues son los datos observados los que la
determinan. La utilización de estos métodos se hace
recomendable cuando no se puede asumir que los datos se ajusten
a una distribución conocida, cuando el nivel de medida empleado
no sea, como mínimo, de intervalo.
5.1 ESCALA DE MEDICIÓN
Existen diversas definiciones del término "medición", pero estas
dependen de los diferentes puntos de vista que se puedan tener al
abordar el problema de la cuantificación y el proceso mismo de la
construcción de una escala o instrumento de medición. En
general, se entiende por medición la asignación de números a
elementos u objetos para representar o cuantificar una propiedad.
El problema básico está dado por la asignación un numeral que
represente la magnitud de la característica que queremos medir y
que dicho números pueden analizarse por manipulaciones de
acuerdo a ciertas reglas. Por medio de la medición, los atributos
de nuestras percepciones se transforman en entidades conocidas y

4. manejables llamadas "números". Es evidente que el mundo
resultaría caótico si no pudiéramos medir nada. En este caso
cabría preguntarse de que le serviría la físico saber que el hierro
tiene una alta temperatura de fusión.
5.2 Métodos estadísticos contra no paramétricos
Escala Nominal:
La escala de medida nominal, puede considerarse la escala de
nivel más bajo, y consiste en la asignación, puramente arbitraria
de números o símbolos a cada una de las diferentes categorías en
las cuales podemos dividir el carácter que observamos, sin que
puedan establecerse relaciones entre dichas categorías, a no ser el
de que cada elemento pueda pertenecer a una y solo una de estas
categorías.
Se trata de agrupar objetos en clases, de modo que todos los que
pertenezcan a la misma sean equivalentes respecto del atributo o
propiedad en estudio, después de lo cual se asignan nombres a
tales clases, y el hecho de que a veces, en lugar de
denominaciones, se le atribuyan números, puede ser una de las
razones por las cuales se le conoce como "medidas nominales".
Por ejemplo, podemos estar interesados en clasificar los
estudiantes de la UNESR Núcleo San Carlos de acuerdos a la
carrera que cursan.
Carrera Número asignada a la categoría
Educación 1

5. Administración 2
Se ha de tener presente que los números asignados a cada
categoría sirven única y exclusivamente para identificar la
categoría y no poseen propiedades cuantitativas.
Escala Ordinal:
En caso de que puedan detectarse diversos grados de un atributo o
propiedad de un objeto, la medida ordinal es la indicada, puesto
que entonces puede recurrirse a la propiedad de "orden" de los
números asignándolo a los objetos en estudio de modo que, si la
cifra asignada al objeto A es mayor que la de B, puede inferirse que
A posee un mayor grado de atributo que B.
La asignación de números a las distintas categorías no puede ser
completamente arbitraria, debe hacerse atendiendo al orden
existente entre éstas.
Los caracteres que posee una escala de medida ordinal permiten,
por el hecho mismo de poder ordenar todas sus categorías, el
cálculo de las medidas estadísticas de posición, como por ejemplo
la mediana.
Escalas de intervalos iguales:

6. La escala de intervalos iguales, está caracterizada por una unidad
de medida común y constante que asigna un número igual al
número de unidades equivalentes a la de la magnitud que posea el
elemento observado. Es importante destacar que el punto cero en
las escalas de intervalos iguales es arbitrario, y no refleja en
ningún momento ausencia de la magnitud que estamos midiendo.
Esta escala, además de poseer las características de la escala
ordinal, encontramos que la asignación de los números a los
elemento es tan precisa que podemos determinar la magnitud de
los intervalos (distancia) entre todos los elementos de la escala.
Sin lugar a dudas, podemos decir que la escala de intervalos es la
primera escala verdaderamente cuantitativa y a los caracteres que
posean esta escala de medida pueden calculársele todas las
medidas estadísticas a excepción del coeficiente de variación.
Escala de coeficientes o Razones:
El nivel de medida más elevado es el de cocientes o razones, y se
diferencia de las escalas de intervalos iguales únicamente por
poseer un punto cero propio como origen; es decir que el valor
cero de esta escala significa ausencia de la magnitud que estamos
midiendo. Si se observa una carencia total de propiedad, se
dispone de una unidad de medida para el efecto. A iguales
diferencias entre los números asignados corresponden iguales
diferencias en el grado de atributo presente en el objeto de
estudio. Además, siendo que cero ya no es arbitrario, sino un valor
absoluto, podemos decir que A. Tiene dos, tres o cuatro veces la
magnitud de la propiedad presente en B.

7. 5.3 PRUEBA DE CORRIDAS PARA ALEATORIEDAD
Una corrida es una serie de observaciones similares. La prueba de
corridas se usa para probar la aleatoriedad de una serie de
observaciones cuando cada observación puede ser asignada a una
de dos categorías.
Ejemplo. En relación con una muestra aleatoria de n = 10
individuos, supongamos que cuando se les clasifica por sexo la
secuencia de observaciones es: M, M, M, M, F, F, F, F, M, M. Estos
datos contienen tres corridas, o series de elementos semejantes.
Respecto de datos numéricos, un medio para obtener el esquema
requerido de dos categorías es clasificar cada observación según si
es superior o inferior a la mediana del grupo. En general, mucho
menos corridas o mucho más corridas que las que serían de
esperar al azar resultarían en el rechazo de la hipótesis nula de
que la secuencia de observaciones es una secuencia aleatoria.
El número de corridas de elementos semejantes se determina de
acuerdo con los datos muéstrales, con el uso del símbolo R para
designar el número de corridas observadas. Si n1 equivale al
número de elementos muestreados de un tipo y n2 al número de
elementos muestreados del segundo tipo, la media y el error
estándar asociados con la distribución de muestreo de la
estadística de prueba R cuando la secuencia es aleatoria son
Sin, n1 > 20 o n2 > 20, la distribución de muestreo de r aproxima la
distribución normal. Por lo tanto, en estas circunstancias la
estadística R puede convertirse a la estadística de prueba z.

8. 5.4 UNA MUESTRA: PRUEBA DE SIGNOS
La prueba de los signos puede utilizarse para probar una hipótesis
nula referente al valor de la medida de la población. En
consecuencia, es el equivalente no paramétrico a la prueba de una
hipótesis referente al valor de la medida de la población. Es
necesario que los valores de la muestra aleatoria se encuentren al
menos en la escala ordinal, aunque no se requiere de supuestos
acerca de la forma de la distribución de la población.
Las hipótesis nula y alternativa pueden aludir ya sea a una prueba
bilateral o unilateral. Si Med denota la mediana de la población y
Med0 designa al valor hipotético, las hipótesis nulas y alternativa
para una prueba de dos extremos son:
H0: Med=Med0
H1: Med≠Med0
Se aplica un signo de más a cada valor muestra observada mayor
que el valor hipotético de la mediana y un signo de menos a cada
valor menor que el valor hipotético de la mediana. Si un valor
maestral es exactamente igual a la mediana hipotética, no se le
aplica ningún signo, con lo que el tamaño de muestra efectivo se
reduce. Si la hipótesis nula sobre el valor de la mediana es cierta,
el número de signos de más debería ser aproximadamente igual al
número de signos de menos. O, para decirlo de otra manera, la
proporción de signos de más debe ser de alrededor de 0.50. Por
consiguiente, la hipótesis nula que se prueba en una prueba
bilaterales H0: π=0.50, donde π es la proporción de la población de

9. los signos de más o de menos. Así, una hipótesis referente al valor
de la mediana se prueba en realidad como una hipótesis sobre π.
Si la muestra es grande, se puede hacer uso de la distribución
normal.
5.5 UNA MUESTRA: PRUEBA DE WILCOXON
La prueba de Wilcoxon puede usarse para probar una hipótesis
nula referente al valor de la medida de la población. Pero dado
que la prueba Wilcoxon considera la magnitud de la diferencia
entre cada valor muestral y el valor hipotético de la mediana, es
una prueba más sensible que la prueba de los signos.
Sea X una variable aleatoria continua. Podemos plantear cierta
hipótesis sobre la mediana de dicha variable en la población, por
ejemplo, M=M0. Extraigamos una muestra de tamaño m y
averigüemos las diferencias Di = X - M0. Consideremos
únicamente la n diferencias no nulas (n “m). Atribuyamos un
rango u orden (0i) a cada diferencia según su magnitud sin tener
en cuenta el signo. Sumemos por un lado los 0+i, rangos
correspondientes a diferencias positivas y por otro lado los 0-i,
rangos correspondientes a diferencias negativas. La suma de los
órdenes de diferencias positivas sería igual a la suma de los
órdenes de diferencias negativas, caso que la mediana fuera el
valor propuesto M0. En las muestras, siendo M0 el valor de la
verdadera mediana, aparecerán por azar ciertas discrepancias,
pero si la suma de los rangos de un ciclo es considerablemente
mayor que la suma de los rangos de otro signo, nos hará concebir
serias dudas sobre la veracidad de M0. La prueba de Wilcoxon va a
permitir contrastar la hipótesis de que una muestra aleatoria
procede de una población con mediana M0. Además, bajo el

10. supuesto de simetría este contraste se puede referir a la media,
E(X). Esta prueba es mucho más sensible y poderosa que la prueba
de los signos; como se puede apreciar utiliza más información,
pues no solo tiene en cuenta si las diferencias son positivas o
negativas, sino también su magnitud. El contraste de Wilcoxon
puede ser utilizado para comparar datos por parejas. Supongamos
que la distribución de las diferencias es simétrica, y nuestro
propósito es contrastar la hipótesis nula de que dicha distribución
está centrada en 0. Eliminando aquellos pares para los cuales la
diferencia es 0 se calculan los rangos en orden creciente de
magnitud de los valores absolutos de las restantes diferencias. Se
calculan las sumas de los rangos positivos y negativos, y la menor
de estas sumas es el estadístico de Wilcoxon. La hipótesis nula
será rechazada si T es menor o igual que el valor correspondiente.
Cuando n≥25 y la hipótesis nula es cierta, la estadística t tiene una
distribución aproximadamente normal. La media y el error
estándar asociados con esta distribución de muestreo son,
respectivamente: µ_T=(N(N+1))/4 σ_T=√ ((N(N+1) (2N+1))/24) En el
caso de una muestra relativamente grande la prueba puede
realizarse usando la distribución normal de probabilidad y
calculando la estadística de prueba z, de la siguiente manera: Z=
(T-µ_R)/σ_T.
5.6 DOS MUESTRAS: PRUEBA DE MANN-WHITNEY

11. La prueba de Mann-Whitney se emplea en aquellos casos en los
que deseamos contrastar si existen diferencias entre las
poblaciones de donde se extraen dos muestras, que han de ser
aleatorias e independientes. La utilidad de esta prueba es la
misma que la de la prueba t, pero no parte de supuestos y puede
ser aplicada a datos medidos en escala ordinal.
El procedimiento es el siguiente:
1. Hipótesis:
Hipótesis nula: No existen diferencias entre los dos grupos.
Hipótesis alternativa: Hay diferencias entre los dos grupos.
2. Estadístico de contraste:
En este caso, el estadístico a emplear se denomina U de Mann-
Whitney, que se calcula siguiendo estos pasos:
a) Se procede a ordenar las puntuaciones de las dos muestras
como si fueran una sola.
b) A cada una de ellas se le asigna un rango.
c) Se calcula el estadístico T, a partir de la suma de los rangos de la
muestra de menor tamaño.
d) Teniendo T, se calcula U:
Donde U = n1n2 + n1 (n1 + 1)/2 - T
Donde n1 es el número de sujetos de la muestra de menor tamaño,
y n2 el de la muestra mayor.
3. Como en el caso anterior, el valor observado es comparado con
valores tabulados.

12. En dicha tabla encontramos la probabilidad asociada a cada valor
del estadístico para una prueba unilateral. Si nuestro contraste es
bilateral, sólo tendremos que multiplicar por dos el valor tabular
correspondiente a una cola.
5.7 OBSERVACIONES PAREADAS: PRUEBA DE SIGNOS
También se puede utilizar la prueba de signo para probar la
hipótesis nula para observaciones
pareadas. Aquí se reemplaza cada diferencia, di, con un signo más
o menos dependiendo si la diferencia ajustada, di-d0, es positiva o
negativa. A lo largo de esta sección suponemos que las
poblaciones son simétricas. Sin embargo, aun si las poblaciones
son asimétricas se puede llevar a cabo el mismo procedimiento de
prueba, pero las hipótesis se refieren a las medianas poblacionales
en lugar de las medias.
Ejemplo:
1. Una compañía de taxis trata de decidir si el uso de llantas
radiales en lugar de llantas regulares con cinturón mejora la
economía de combustible. Se equipan 16 automóviles con
llantas radiales y se manejan por un recorrido de prueba
establecido. Sin cambiar de conductores, se equipan los
mismos autos con llantas regulares con cinturón y se
manejan una vez más por el recorrido de prueba. Se registra
el consumo de gasolina, en kilómetros por litro, de la
siguiente manera:
Automóvil Llantas radiales Llantas con cinturón
1 4.2 4.1

13. 2 4.7 4.9
3 6.6 6.2
4 7.0 6.9
5 6.7 6.8
6 4.5 4.4
7 5.7 5.7
8 6.0 5.8
9 7.4 6.9
10 4.9 4.9
11 6.1 6.0
12 5.2 4.9
13 5.7 5.3
14 6.9 6.5
15 6.8 7.1
16 4.9 4.8
¿Se puede concluir en el nivel de significancia de 0.05 que los
autos equipados con llantas radiales obtienen mejores economías
de combustible que los equipados con llantas regulares con
cinturón?
Solución:

14. Regla de decisión:
Si zR 1.645 no se rechaza Ho.
Si zR> 1.645 se rechaza Ho.
Se procede ha realizar las diferencias entre de los kilómetros por
litro entre llantas radiales y con cinturón:
Automóvil Llantas Llantas con d
radiales cinturón
1 4.2 4.1 +
2 4.7 4.9 -

15. 3 6.6 6.2 +
4 7.0 6.9 +
5 6.7 6.8 -
6 4.5 4.4 +
7 5.7 5.7 0
8 6.0 5.8 +
9 7.4 6.9 +
10 4.9 4.9 0
11 6.1 6.0 +
12 5.2 4.9 +
13 5.7 5.3 +
14 6.9 6.5 +
15 6.8 7.1 -
16 4.9 4.8 +
Al observar las diferencias se ve que sólo existe una n=14, ya que se
descartan los valores de cero. Se tiene r+ = 11
Decisión y conclusión:
Como 2.14 es mayor a 1.645 se rechaza H0 y se concluye con un =
0.05 que las llantas radiales mejoran la economía de combustible.

16. 5.8 OBSERVACIONES PAREADAS PRUEBA DE WILCOXON
Se puede notar que la prueba de signo utiliza sólo los signos más y
menos de las diferencias entre las observaciones y 0 en el caso de
una muestra, o los signos más y menos de las diferencias entro los
pares de observaciones en el caso de la muestra pareada, pero no
toma en consideración la magnitud de estas diferencias. Una
prueba que utiliza dirección y magnitud, propuesta en 1945 por
Frank Wilcoxon, se llama ahora comúnmente prueba de rango con
signo de Wilcoxon. Esta prueba se aplica en el caso de una
distribución continua simétrica. Bajo esta condición se puede
probar la hipótesis nula  0. Primero se resta  de cada valor
muestral y se descarta todas las diferencias iguales a cero. Se
asigna un rango de 1 a la diferencia absoluta más pequeña, un
rango de 2 a la siguiente más pequeña, y así sucesivamente.
Cuando el valor absoluto de dos o más diferencias es el mismo, se
asigna a cada uno el promedio de los rangos que se asignarían si
las diferencias se distinguieran. Por ejemplo, si la quinta y sexta
diferencia son iguales en valor absoluto, a cada una se le asignaría
un rango de 5.5. Si la hipótesis  0 es verdadera, el total de los
rangos que corresponden a las diferencias positivas debe ser casi
igual al total de los rangos que corresponden a las diferencias
negativas. Se representan esos totales como w+y w-,
respectivamente. Se designa el menor de w+y w-con w.
Al seleccionar muestras repetidas esperaríamos que variaran w+y
w-, y por tanto w. De esta manera se puede considerar a w+y w-, y w
como valores de las correspondientes variables aleatorias W+, W-,
y W. La hipótesis nula  0 se puede rechazar a favor de la
alternativa  0 sólo si w+ es pequeña y w- es grande. Del mismo
modo, la alternativa  0 se puede aceptar sólo si w+ es grande y
w- es pequeña. Para una alternativa bilateral se puede rechazar H0

17. a favor de H1 si w+ o w-y por tanto w son suficientemente pequeñas.
No importa cuál hipótesis alternativa puede ser, rechazar la
hipótesis nula cuando el valor de la estadística apropiada W+, W-, o
W es suficientemente pequeño.
Ejemplos:
1. Los siguientes datos representan el número de horas que un
compensador opera antes de requerir una recarga: 1.5, 2.2,
0.9, 1.3, 2.0, 1.6, 1.8, 1.5, 2.0, 1.2 y 1.7. Utilice la prueba de rango
con signo para probar la hipótesis en el nivel de significancia
de 0.05 que este compensador particular opera con una
media de 1.8 horas antes de requerir una recarga.
Solución:
H0;
H1;
Se procederá a efectuar las diferencias y a poner rango con signo a
los datos.
Dato di = dato - Rangos
1.8
1.5 -0.3 5.5
2.2 0.4 7
0.9 -0.9 10
1.3 -0.5 8
2.0 0.2 3

18. 1.6 -0.2 3
1.8 0 Se anula
1.5 -0.3 5.5
2.0 0.2 3
1.2 -0.6 9
1.7 -0.1 1
Regla de decisión:
Para una n = 10, después de descartar la medición que es igual a
1.8, la tabla A.16 muestra que la región crítica es w 8.
Cálculos:
w+ = 7 + 3 + 3 = 13
w-= 5.5 + 10 + 8 + 3 + 5.5 + 9 + 1 = 42
Por lo que w = 13 (menor entre w+ y w-).
Decisión y Conclusión:
Como 13 no es menor que 8, no se rechaza H0 y se concluye con un
= 0.05 que el tiempo promedio de operación no es
significativamente diferente de 1.8 horas.
5.9 VARIAS MUESTRAS INDEPENDIENTES: PRUEBA DE
KRAUSKAL-WALLIS
Esta prueba estadística de análisis de varianza de entrada simple
de Kruskal-Wallis es una extensión de la prueba de U Mann-

19. Whitney, en razón de que se usan rangos para su aplicación; por
otra parte, este procedimiento se emplea cuando el modelo
experimental contiene más de dos muestras independientes.
Dicha prueba se define matemáticamente de la forma siguiente:
Dónde:
H = valor estadístico de la
prueba de Kruskal-Wallis.
N = tamaño total de la muestra.
Rc2 = sumatoria de los rangos
elevados al cuadrado.
ni = tamaño de la muestra de
cada grupo.
L = ajuste dado por el ajuste de
ligas o empates de los rangos.
El ajuste L se calcula de la manera siguiente:
Dónde:
Li = valor de número de empates de un rango.
N = tamaño total de la muestra.