Funciones trascenden

1. MATEMATICAS
1º Bachillerato
MaTEX
r=A+lu
Proyecto A
d
B
Funciones
s=B+mv
SOCIALES
Trascendentes MaTEX
Fco Javier Gonz´lez Ortiz
a
Trascendentes
Funciones
2
Directorio -2 0
• Tabla de Contenido
• Inicio Art´
ıculo
c 2004 Doc Doc
31 de Mayo de 2004 Versin 1.00
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2. MATEMATICAS
1º Bachillerato
Tabla de Contenido A
r=A+lu
d
1. Introducci´no B
s=B+mv
2. Funciones circulares SOCIALES
2.1. Funci´n seno
o
2.2. Funci´n coseno
o
2.3. Funci´n tangente
o
MaTEX
2.4. Funciones del tipo y = A sen[ω (x + φ)] + D
Trascendentes
• An´lisis gr´fico
Funciones
a a
3. Funciones exponenciales
• An´lisis gr´fico
a a
4. Funciones logar´ ıtmicas
4.1. Las funciones ex y ln x
4.2. Algunas aplicaciones
• El enfriamiento de un cuerpo • Crecimiento de poblaciones
• Desintegraci´n radioactiva
o
5. Apendice.El n´ mero e
u
Soluciones a los Ejercicios
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3. MATEMATICAS
Secci´n 1: Introducci´n
o o 3 1º Bachillerato
r=A+lu
1. Introducci´n
o A
La mayor´ de las operaciones algebraicas que encontraremos involucran las
ıa d
operaciones m´s usuales: suma, resta, multiplicaci´n, divisi´n, exponentes y
a o o B
s=B+mv
ra´
ıces. SOCIALES
Sin embargo tambi´n nos encontraremos a menudo con algunas funciones
e
especiales que denominaremos funciones trascendentes y que son el seno, el
MaTEX
coseno, la tangente -es decir, las funciones trigonom´tricas-; y el logaritmo y
e
Trascendentes
Funciones
la exponencial. En esta secci´n presentaremos cada una de ellas.
o
Es conveniente haber estudiado ya el cap´ ıtulo de los logaritmos y expo-
nenciales para entender este cap´ ıtulo
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4. MATEMATICAS
Secci´n 2: Funciones circulares
o 4 1º Bachillerato
r=A+lu
2. Funciones circulares A
Las funciones circulares se originan a partir de la circunferencia unidad de d
radio 1. Como recuerdas para un ´ngulo dado α el segmento azul del gr´fico
a a B
s=B+mv
es el sen α y el segmento rojo del gr´fico es el cos α.
a SOCIALES
A medida que el punto P recorre la circunferencia cambia α y por tanto
el sen α y el cos α
MaTEX
π
y 2
Trascendentes
Funciones
senα P
π α
0 cosα x
3π
2
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5. MATEMATICAS
Secci´n 2: Funciones circulares
o 5 1º Bachillerato
r=A+lu
2.1. Funci´n seno
o A
A continuaci´n mostramos una tabla de valores para la funci´n
o o d
B
y = sen x s=B+mv
SOCIALES
x 0 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π 7π/2 4π
MaTEX
Trascendentes
sen x 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0
Funciones
y su representaci´n gr´fica donde x var´ entre 0 y 4π
o a ıa
y = sen x
2
1
0
2π 3π 4π
π π 3π
2 2
-1
-2 Doc Doc
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6. MATEMATICAS
Secci´n 2: Funciones circulares
o 6 1º Bachillerato
r=A+lu
2.2. Funci´n coseno
o A
A continuaci´n mostramos una tabla de valores para la funci´n
o o d
B
y = cos x s=B+mv
SOCIALES
x 0 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π 7π/2 4π
MaTEX
Trascendentes
cos x 1 0 −1 0 1 0 −1 0 1
Funciones
y su representaci´n gr´fica donde x var´ entre 0 y 4π
o a ıa
y = cos x
2
1
0
2π 3π 4π
π π 3π
2 2
-1
-2 Doc Doc
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7. MATEMATICAS
Secci´n 2: Funciones circulares
o 7 1º Bachillerato
r=A+lu
2.3. Funci´n tangente
o A
Si utilizas la calculadora y realizas una tabla se puede representar d
sen x B
y = tan x = s=B+mv
cos x SOCIALES
4
MaTEX
Trascendentes
3
Funciones
y = tan x
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
-5 Doc Doc
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8. MATEMATICAS
Secci´n 2: Funciones circulares
o 8 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 2.1. Representar juntas la funciones trigonom´tricas
e A
y = sen x y = cos x y = tan x d
B
Soluci´n:
o s=B+mv
SOCIALES
tan 4
MaTEX
3
Trascendentes
Funciones
2
1
cos
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4
-1
sin
-2
-3
-4
-5
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9. MATEMATICAS
Secci´n 2: Funciones circulares
o 9 1º Bachillerato
r=A+lu
2.4. Funciones del tipo y = A sen[ω (x + φ)] + D A
A partir de la funci´n y = sen x multiplic´ndola y sumando n´meros se puede
o a u d
construir un amplia familia de funciones. Veremos el efecto que produce cada B
s=B+mv
uno de los par´metros A, ω, φ y D sobre la funci´n sen x.
a o SOCIALES
• El par´metro ω se llama en f´
a ısica la velocidad angular. Si la funci´n
o
sen x da una vuelta completa desde 0 a 2π al multiplicar la variable x MaTEX
por ω, la funci´n sen ω x da ω vueltas en el mismo intervalo
o
Trascendentes
Funciones
• Al par´metro A se le llama amplitud y dilata la curva por A.
a
• Al par´metro φ se le llama en f´
a ısica la fase. Produce un desplazamiento
horizontal, a la derecha cuando φ se resta y a la izquierda cuando φ se
suma
• A D se le llama desplazamiento. Produce un desplazamiento vertical,
hacia arriba si D es positivo y hacia abajo cuando D es negativo
A continuaci´n analizamos cada una de ellas.
o
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10. MATEMATICAS
Secci´n 2: Funciones circulares
o 10 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 2.2. Comparar la funciones y = sen x con y = sen 2 x. A
Soluci´n: Si la funci´n sen x da una vuelta completa desde 0 a 2π al multi-
o o d
plicar la variable x por 2, da dos vueltas completas en el mismo intervalo B
s=B+mv
SOCIALES
y = sen x
MaTEX
2
Trascendentes
Funciones
1
2π
0 π π 3π
2 2
-1
y = sen 2x
-2
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11. MATEMATICAS
Secci´n 2: Funciones circulares
o 11 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 2.3. Comparar la funciones y = sen x con y = 2 sen x. A
Soluci´n: Si la funci´n sen x var´ entre −1 a 1 al multiplicar la funci´n por 2,
o o ıa o d
var´ entre −2 a 2 en el mismo intervalo. Lo que ha cambiado es la amplitud
ıa B
s=B+mv
SOCIALES
y = sen x
MaTEX
2
Trascendentes
Funciones
1
2π
0 π π 3π
2 2
-1
y = 2 sen x
-2
Doc Doc
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12. MATEMATICAS
Secci´n 2: Funciones circulares
o 12 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 2.4. Comparar la funciones y = sen x con y = sen (x − π/4). A
Soluci´n: al restar a la variable x por π/4, la funci´n se desplaza a la derecha
o o d
π/4 = 45o B
s=B+mv
SOCIALES
y = sen x
MaTEX
2
Trascendentes
Funciones
1
2π
0 π π 3π
2 2
-1
π
y = sen (x− 4 )
-2
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13. MATEMATICAS
Secci´n 2: Funciones circulares
o 13 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 2.5. Comparar la funciones y = sen x con y = sen x + 1. A
Soluci´n: Si la funci´n sen x var´ entre −1 a 1 al sumarla 1 , ahora var´
o o ıa ıa d
entre 0 a 2 en el mismo intervalo. La hemos desplazado verticalmente. B
s=B+mv
SOCIALES
y = sen x
MaTEX
2
Trascendentes
Funciones
1
2π
0 π π 3π
2 2
-1
y = 1 + sen x
-2
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14. MATEMATICAS
Secci´n 2: Funciones circulares
o 14 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 2.6. Representar y = sen x y y = | sen x| A
Soluci´n:
o d
y = sen x B
s=B+mv
2
SOCIALES
1
0
2π 3π 4π MaTEX
π π 3π
2 2
Trascendentes
Funciones
-1
-2
y = |sen x|
2
1
0 π π 3π 2π 3π 4π
2 2
-1
-2
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15. MATEMATICAS
Secci´n 2: Funciones circulares
o 15 1º Bachillerato
r=A+lu
Test. Considera el gr´fico inferior y responde:
a A
1. La funci´n y = 3 sen x es la
o d
B
s=B+mv
(a) azul (b) verde (c) roja SOCIALES
2. La funci´n y = 0.5 sen x es la
o
(a) azul (b) verde (c) roja
MaTEX
3. La funci´n y = sen (x − π/2) es la
o
Trascendentes
Funciones
(a) azul (b) verde (c) roja
3
2
1
2π
0 π π 3π
2 2
-1
-2
Doc Doc
-3
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16. MATEMATICAS
Secci´n 2: Funciones circulares
o 16 1º Bachillerato
r=A+lu
• An´lisis gr´fico
a a A
Funciones: y = A sen[ω (x + φ)] + D d
B
Pulsando los botones, estudia el efecto de los par´metros sobre la funci´n
a o s=B+mv
SOCIALES
seno dibujada entre [0, 2 π]
- A= 1 + MaTEX
- ω= 1 +
Trascendentes
Funciones
- φ= 0 +
- D= 0 +
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17. MATEMATICAS
Secci´n 3: Funciones exponenciales
o 17 1º Bachillerato
r=A+lu
3. Funciones exponenciales A
Las funciones exponenciales son las que tienen la variable como exponente. d
Para hacernos una idea clara vamos a analizar por ejemplo, la funci´n
o B
s=B+mv
y = 2x SOCIALES
La exponencial est´ bien definida para cualquier valor de x. Recuerda que
a
20 = 1 y como funcionan los exponentes negativos. MaTEX
Trascendentes
Funciones
x>0 x<0
1
21 = 2 2−1 =
2
−2 1
22 = 4 2 =
4
−5 1
25 = 32 2 =
32
−10 1
210 = 1024 2 =
1024
Observa que cualquier potencia de 2 es siempre positiva. A continuaci´n
o
realizamos una tabla de valores y mostramos la gr´fica de y = 2x .
a
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18. MATEMATICAS
Secci´n 3: Funciones exponenciales
o 18 1º Bachillerato
r=A+lu
A
6
x y = 2x d
B
−20 0, 00000095367 5 s=B+mv
SOCIALES
−10 0, 0009765625
4
−5 0, 03125
MaTEX
3
−3
Trascendentes
0, 125
Funciones
−1 0, 5 2
0 1
1
1 2
0
2 4 -3 -2 -1 0 1 2 3
5 32 -1
10 1024 • D=R
20 1048576 • x → −∞ =⇒ 2x → 0
30 1073741824 • x → +∞ =⇒ 2x → +∞
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19. MATEMATICAS
Secci´n 3: Funciones exponenciales
o 19 1º Bachillerato
r=A+lu
Podemos generalizar a cualquier base a que sea positiva, distinguiendo A
seg´n el valor de a sea menor o mayor que 1.
u
d
Ejemplo 3.1. Estudiar y representar la funci´n
o B
s=B+mv
y = ax SOCIALES
Soluci´n:
o
6
MaTEX
Trascendentes
Funciones
y = ax 5 y = ax
0<a<1 4 a>1
3
2
1
0
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1
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20. MATEMATICAS
Secci´n 3: Funciones exponenciales
o 20 1º Bachillerato
r=A+lu
• An´lisis gr´fico
a a A
Funciones: y = ax d
B
Estudia el efecto al cambiar el valor de la base exponencial,pulsando sobre s=B+mv
SOCIALES
los botones.
- a= 1 + MaTEX
Trascendentes
Funciones
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21. MATEMATICAS
Secci´n 4: Funciones logar´
o ıtmicas 21 1º Bachillerato
r=A+lu
4. Funciones logar´
ıtmicas A
Estudiar y representar la funci´n
o d
B
y = log10 x s=B+mv
SOCIALES
3
x y = log10 x
2
MaTEX
−100
10 −100
Trascendentes
Funciones
1
10−10 −10
0
10−1 −1 -1 0 1 2 3 4 5 6
1 0 -1
101 1 -2 y = ln x
102 2 -3
5
10 5 • D = (0; +∞)
100
10 100 • x → 0+ =⇒ log10 x → −∞
101000 1000
• x → +∞ =⇒ log10 x → +∞
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22. MATEMATICAS
Secci´n 4: Funciones logar´
o ıtmicas 22 1º Bachillerato
r=A+lu
Podemos generalizar a cualquier base a que sea positiva, distinguiendo A
seg´n el valor de a sea menor o mayor que 1.
u
d
Ejemplo 4.1. Estudiar y representar la funci´n
o B
s=B+mv
SOCIALES
y = loga x
Soluci´n:
o MaTEX
Trascendentes
3
Funciones
y = lga x
2 a>1
1
0
-1 0 1
-1
-2 y = lga x
0<a<1
-3
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23. MATEMATICAS
Secci´n 4: Funciones logar´
o ıtmicas 23 1º Bachillerato
r=A+lu
4.1. Las funciones ex y ln x A
La base m´s importante en matem´ticas tanto en exponenciales como en
a a d
logaritmos es el n´mero e. En el ap´ndice El n´mero e damos una explicaci´n
u e u o B
s=B+mv
de este n´mero.
u SOCIALES
x
Ejemplo 4.2. Representar las funciones y = ln x y y = e
Soluci´n:
o MaTEX
Trascendentes
y = ex
Funciones
8
6
4
y = ln x
2
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-2
-4
-6
-8
-10
Doc Doc
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24. MATEMATICAS
Secci´n 4: Funciones logar´
o ıtmicas 24 1º Bachillerato
r=A+lu
4.2. Algunas aplicaciones A
• El enfriamiento de un cuerpo d
La ley del enfriamiento de los cuerpos de Newton establece que el enfri- B
s=B+mv
amiento de un cuerpo es proporcional, en cada instante, a la diferencia con SOCIALES
la temperatura ambiente.
La ley dice que si T0 es la temperatura inicial con que introducimos un
cuerpo en un ambiente con una temperatura de Ta grados, al cabo de un
MaTEX
tiempo t la temperatura del cuerpo es
Trascendentes
Funciones
T (t) = Ta + (T0 − Ta ) e−α t
donde α es una constante, llamada la constante de enfriamiento, y que es
particular de cada cuerpo.
Ejemplo 4.3. En nuestra cocina hace 20o C y sacamos de la cazuela un
term´metro que est´ a 60o C. Pasados 15 minutos, el term´metro desciende
o a o
hasta los 25o C.
Hallar la constante de enfriamiento del term´metro.
o
Soluci´n:
o
25 = 20 + (60 − 20) e−α 0.25 =⇒ e−α 0.25 = 0.125
−0.25 α = ln 0.125 =⇒ α ≈ 8, 318
Doc Doc
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25. MATEMATICAS
Secci´n 4: Funciones logar´
o ıtmicas 25 1º Bachillerato
r=A+lu
Una aplicaci´n interesante de esta ley consiste en determinar el instante
o A
de fallecimiento de una persona, despu´s de algunas horas de muerta. Esta
e
d
informaci´n es de crucial importancia en criminolog´ y en estudios forenses.
o ıa B
s=B+mv
SOCIALES
El escenario de un crimen puede variar de manera muy importante seg´nu
que un crimen haya ocurrido a una hora u otra. La idea se basa en que los
mam´ ıferos, cuando estamos vivos, tenemos una temperatura muy estable e MaTEX
igual a T0 = 37o C. Al morir, la temperatura corporal comienza a descender
Trascendentes
hasta alcanzar la temperatura ambiente Ta .
Funciones
Ejercicio 1. Un polic´ tom´ nota de que la temperatura ambiente era de
ıa o
20o C y la del cad´ver de 29,5o C. Dos horas m´s tarde, se volvi´ a tomar la
a a o
temperatura del cad´ver, que hab´ descendido hasta los 23,4o C. Averigua,
a ıa
con los datos anteriores,
a) la constante de enfriamiento del fallecido,
b) y la hora de su fallecimiento.
Doc Doc
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26. MATEMATICAS
Secci´n 4: Funciones logar´
o ıtmicas 26 1º Bachillerato
r=A+lu
• Crecimiento de poblaciones A
El economista brit´nico Thomas Malthus propuso en 1798 que la velocidad
a d
de crecimiento de una poblaci´n de individuos es proporcional a la poblaci´n
o o B
s=B+mv
ya existente. SOCIALES
Si P0 es la poblaci´n inicial (es decir, la existente cuando comenzamos a
o
contar), existe una constante de crecimiento k en cada poblaci´n, de manera
o
que el n´mero de individuos al cabo de un tiempo t, viene expresado por una
u MaTEX
ley del tipo
Trascendentes
P (t) = P0 ekt
Funciones
Ejemplo 4.4. Una poblaci´n de insectos crece de acuerdo a la funci´n
o o
y = 1 + 2 ex
donde x es el tiempo en meses e y es el n´mero de insectos en miles.
u
a) ¿Cu´ntos insectos hay inicialmente?
a
b) ¿Cu´ntos insectos hay al cabo del primer mes?
a
Soluci´n:
o
a) Inicialmente, cuando x = 0, hab´ y(0) = 1 + 2 e0 = 3 mil insectos
ıa
Doc Doc
b) Al cabo del primer mes, y(1) = 1 + 2 e1 ≈ 6436 insectos
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27. MATEMATICAS
Secci´n 4: Funciones logar´
o ıtmicas 27 1º Bachillerato
r=A+lu
A
Ejercicio 2. La cantidad de bacterias en un cultivo fue de 400 despu´s de 2
e d
horas y de 25.600 despu´s de 6 horas. (Se supone crecimiento exponencial.)
e B
s=B+mv
Se pide: SOCIALES
a) ¿Cu´l era el tama˜o de la poblaci´n inicial?
a n o
b) Encontrar una expresi´n para la poblaci´n despu´s de t horas.
o o e
MaTEX
Trascendentes
Funciones
Ejercicio 3. El coste de una barra de chocolate “Xokolat” en 1982 era 5
c´ntimos. La funci´n exponencial que describe el crecimiento del coste de la
e o
barra de chocolate es:
C(t) = 0.05 e0.097 t
a) ¿Cu´l es ahora el coste de la barra de “Xokolat”?
a
b) ¿Cu´l ser´ el coste en el a˜o 2100?
a a n
Ejercicio 4. El n´mero de discos compactos producidos cada a˜o crece ex-
u n
ponencialmente. El n´mero N , en millones, producidos es:
u
N (t) = 7.5 e0.5 t
donde t es el tiempo en a˜os y t = 0 corresponde al a˜o 1990. ¿Cuanto
n n
tiempo pasar´ hasta que 1 bill´n de discos compactos sean vendidos en un
a o
Doc Doc
a˜o?
n
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28. MATEMATICAS
Secci´n 4: Funciones logar´
o ıtmicas 28 1º Bachillerato
r=A+lu
• Desintegraci´n radioactiva
o A
Algunos ´tomos son inestables y se desintegran espont´neamente emitiendo
a a d
radiaciones. Se ha observado que el tiempo en que determinada substancia B
s=B+mv
se reduce a la mitad, llamado vida media, es una constante caracter´
ıstica de SOCIALES
ella e independiente de la cantidad que haya.
La ley de Rutherford sobre la desintegraci´n radiactiva dice que el n´mero
o u MaTEX
de ´tomos de un elemento radiactivo transformados en un tiempo determi-
a
Trascendentes
nado es proporcional al n´mero de ´tomos de ese elemento que est´n presentes
u a e
Funciones
en la substancia, en particular, la f´rmula que describe la desintegraci´n es
o o
de la forma:
N (t) = N0 e−k t
donde N0 es la poblaci´n inicial, y k es la constante de desintegraci´n
o o
radiactiva.
La vida media de los elementos radiactivos puede utilizarse a veces para
determinar la fecha de sucesos del pasado de la Tierra. Las edades de las
rocas de m´s de 2000 millones de a˜os pueden establecerse mediante la desin-
a n
tegraci´n radiactiva del uranio (de 4500 millones de a˜os de vida media).
o n
En un organismo vivo, cada gramo de carbono contiene 10−6 gramos de
C 14 . Tras su muerte, el organismo deja de absorber carbono y la proporci´n
o
de C 14 decrece a medida que se va desintegrando. Su vida media es de unos
Doc Doc
5730 a˜os, de modo que es posible estimar la edad de restos org´nicos: los
n a
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29. MATEMATICAS
Secci´n 4: Funciones logar´
o ıtmicas 29 1º Bachillerato
r=A+lu
arque´logos han fechado as´ conchas, semillas, objetos de madera, o la fecha
o ı A
en que se realizaron pinturas rupestres.
d
Ejemplo 4.5. Hallar k en la f´rmula de desintegraci´n del C 14
o o B
s=B+mv
Soluci´n:
o SOCIALES
Un gramo N0 = 1 se reduce a la mitad N = 0.5 en un periodo de 5730 a˜os,
n
luego con la expresi´n
o MaTEX
N (t) = N0 e−k t
Trascendentes
Funciones
ln 0.5
0.5 = 1 e−k 5730 =⇒ k = − ≈ 1, 21 × 10−4
5730
Ejercicio 5. El carb´n de un ´rbol muerto en la erupci´n volc´nica que dio
o a o a
origen al Lago Cr´ter, en Oreg´n, conten´ el 44, 5% del C 14 que se halla en
a o ıa
la materia viva. ¿Qu´ antig¨edad aproximada tiene el lago?
e u
Ejercicio 6. En el a˜o 2000 se encuentra, en el centro de Illinois, un hueso
n
fosilizado con el 17% de su contenido original de C 14 . ¿En qu´ a˜o muri´
e n o
el animal? Cont´stese en el caso de que las proporciones fuesen 16% y 18%
e
respectivamente para ver las consecuencias de un peque˜o error en la medida
n
del carbono.
Doc Doc
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30. MATEMATICAS
Secci´n 5: Apendice.El n´mero e
o u 30 1º Bachillerato
r=A+lu
5. Apendice.El n´ mero e
u A
En Matem´ticas existen algunos n´meros que son muy famosos. Vamos a
a u d
hablar del n´mero e, que debe su nombre al matem´tico alem´n Leonard
u a a B
s=B+mv
Euler. El n´mero e es un n´mero irracional, y se obtiene como l´
u u ımite de la SOCIALES
sucesi´n
o
1
lim (1 + )n = e
n→∞ n MaTEX
Durante el siglo XVI, antes de la invenci´n de las calculadoras y los com-
o
Trascendentes
Funciones
putadores, ¿c´mo actuaban los t´cnicos y cient´
o e ıficos cuando ten´ la necesi-
ıan
dad de realizar c´lculos numerosos y complejos ?:
a
lo hac´ utilizando las tablas de logaritmos.
ıan
La invenci´n de los logaritmos la dio a conocer el escoc´s Juan Neper,
o e
bar´n de Merchiston, que los public´ por primera vez en 1614.
o o
De manera paralela a Neper, tambi´n los descubr´ el suizo B¨rgi. Su
e ıa u
idea se basaba en la observaci´n, ya realizada por Arqu´
o ımedes, de ciertas
propiedades de las progresiones geom´tricas.
e
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31. MATEMATICAS
Secci´n 5: Apendice.El n´mero e
o u 31 1º Bachillerato
r=A+lu
A
Observa la tabla de la izquierda. Con la regla de
n y = 2n las potencias d
2a · 2b = 2a+b B
1 2 s=B+mv
SOCIALES
si queremos calcular
2 4
8 · 128 = 23 · 27 = 210
3 8 ir´
ıamos en la tabla a la fila (3 + 7 = 10) y ob-
MaTEX
tendr´ıamos a la derecha el valor 1024, es decir con
Trascendentes
4 16
Funciones
los logaritmos hemos logrado evitar el c´lculo de
a
5 32 productos por sumas. ¡Todo un chollo!
Pero si queremos calcular 12 · 37 necesitamos en la
6 64
columna de la derecha estos n´meros, sin embargo
u
7 128 las potencias de 2 dejan muchos huecos, por ello
una idea v´lida puede ser la de considerar, en lu-
a
8 256 gar de las potencias de 2, potencias de un n´mero
u
9 512
cercano a 1, que dejan menos huecos. Esta es
la idea que tuvieron Neper y B¨rgi (aunque sigu-
u
10 1024 iendo m´todos diferentes).
e
B¨rgi consider´ la base 1’0001.
u o
11 2048 Realicemos una tabla de valores de 1 0001n :
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32. MATEMATICAS
Secci´n 5: Apendice.El n´mero e
o u 32 1º Bachillerato
r=A+lu
A
n 1 0001n
d
0 1 B
s=B+mv
SOCIALES
1 1 0001
2 1 00020001
MaTEX
3 1 000300030001
Trascendentes
Funciones
4 1 0004000600040001
5 1 00050010001000050001
6 1 000600150020001500060001
Vemos que se avanza muy poco (nos interesa que vayan apareciendo los
n´meros naturales y con 6 pasos a´n estamos muy lejos de 2). Adem´s
u u a
los c´lculos son tan complicados que parece imposible obtener una potencia
a
elevada de 1 0001.
Se observ´ que los n´meros en negrita son los del tri´ngulo de Tartaglia
o u a
Observamos que la segunda columna en negrita es la serie de los n´meros
u
n n n
naturales , la tercera columna , la cuarta ,etc.
1 2 3
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33. MATEMATICAS
Secci´n 5: Apendice.El n´mero e
o u 33 1º Bachillerato
r=A+lu
Para las primeras cifras de por ejemplo 1 000150 calculamos A
50 50 50 50 d
= 50 = 1225 = 19600 = 230300
1 2 3 4 B
s=B+mv
coloc´ndolas adecuadamente se obtiene
a SOCIALES
1 000150 = 1 0050122696230300.....
En definitiva, aunque muy laborioso, hemos comprobado que es posible
MaTEX
construir la tabla de logaritmos de base 1 0001. El inconveniente que sigue
Trascendentes
Funciones
presentando es que el avance es muy lento: elevando esta base a 50 s´lo vamos
o
por 1 005 · · · ; para obtener 2 hemos de elevar la base a 6931,
1, 00016931 = 1 99983634
Tambi´n se nos presenta el problema de que los logaritmos en esta base
e
resultan n´meros muy grandes: hay que elevar 1 0001 a 16095 para estar
u
cerca de 5.
La soluci´n que encontr´ B¨rgi fue considerar la base 1.000110000 , cuya
o o u
tabla es muy f´cil de construir a partir de la anterior: se comprueba sin difi-
a
cultad que si el logaritmo de 2 es 6931 81183, en la nueva base es 0 69314 · · ·
S´lo hay que dividir por 10000, con lo que el tama˜o de los nuevos logaritmos
o n
resulta m´s razonable.
a
Siendo exagerados, podr´ ıamos pensar que ser´ mejor base todav´
ıa ıa
1.000000110000000 Doc Doc
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34. MATEMATICAS
Secci´n 5: Apendice.El n´mero e
o u 34 1º Bachillerato
r=A+lu
que es justamente A
10000000
1
1+ d
10000000 B
s=B+mv
puesto que 1 0000001 a´n est´ m´s cerca de la unidad, y ¿por qu´ no seguir?
u a a e SOCIALES
n
1
lim
n→∞
1+
n
=e
MaTEX
Esta ha sido algo de la historia del n´mero e y de los logaritmos en base e,
u
Trascendentes
que escribimos como ln x, y llamamos logaritmos naturales o neperianos.
Funciones
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35. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 35 1º Bachillerato
r=A+lu
Soluciones a los Ejercicios A
Ejercicio 1. Con T0 = 37o C, se tiene d
  B
s=B+mv
29.5 = 20 + (37 − 20) e−α t 9.5 = 17 e−α t

 

SOCIALES
23.4 = 20 + (37 − 20) e−α (t+2)  3.4 = 17 e−α (t+2) 

MaTEX

Dividiendo miembro a miembro, se tiene
9.5 e−α t e−α t
Trascendentes
Funciones
= −α (t+2) == −α t −2 α
3.4 e e e
simplificando
e2 α = 2.8 =⇒ 2 α = ln 2.8 ≈ 1.03 =⇒ α = 0.51
sustituyendo em la primera ecuaci´n
o
9.5 = 17 e−0.51 t =⇒ e−0.51 t = 0.56 =⇒ t = 1.14
Luego hab´ pasado 1.14 horas desde que falleci´ hasta que el polic´ en-
ıan o ıa
contr´ el cadaver.
o
Ejercicio 1
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36. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 36 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 2. Sea la poblaci´n de bacterias en funci´n del tiempo en horas,
o o A
la funci´n
o
d
P (t) = P0 ekt B
s=B+mv
a) Siendo P0 la poblaci´n inicial, P (2) = 400 y P (6) = 25.600. Planteamos
o SOCIALES
un sistema y dividimos miembro a miembro
400 = P0 e2 k 25.600 = P0 e6 k MaTEX
e4 k = 64 =⇒ 4 k = ln 64 =⇒ k ≈ 1.04
Trascendentes
Funciones
Sustituyendo en una de las ecuaciones anteriores
400 = P0 e2 1.04 =⇒ P0 ≈ 50
b) Encontrar una expresi´n para la poblaci´n despu´s de t horas.
o o e
P (t) = 50 e1.04 t
Ejercicio 2
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37. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 37 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 3. A
a) ¿Cu´l es ahora el coste de la barra de “Xokolat”? Si estamos en el a˜o
a n d
2004, y han pasado 22 a˜os
n B
s=B+mv
SOCIALES
C(t) = 0.05 e0.097 22 ≈ 0, 42 c´ntimos
e
b) ¿Cu´l ser´ el coste en el a˜o 2100? Para el 2100 habr´n pasado 118
a a n a MaTEX
a˜os, luego
n
C(t) = 0.05 e0.097 118 ≈ 4676 c´ntimos
e
Trascendentes
Funciones
Ejercicio 3
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38. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 38 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 4. 1 bill´n de discos corresponde a N = 1000, luego
o A
ln 133.33
1000 = 7.5 e0.5 t =⇒ e0.5 t = 133.33 =⇒ t = ≈ 9.8 d
0.5 B
s=B+mv
Ejercicio 4 SOCIALES
MaTEX
Trascendentes
Funciones
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39. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 39 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 5. A
Una cantidad inicial de N0 = 1 se redujo a N = 0.445, siendo la constante
d
de desintegraci´n k = 1, 21 × 10−4 , con la expresi´n
o o B
s=B+mv
SOCIALES
N (t) = N0 e−k t
−4
0.445 = 1 e−1,21×10 t =⇒
aplicando logaritmos y despejando t
MaTEX
ln 0.445
Trascendentes
Funciones
t=− ≈ 6693 a˜os
n
1, 21 × 10−4
Ejercicio 5
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40. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 40 1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 6. A
Una cantidad inicial de N0 = 1 se redujo a:
d
• al 16%, N = 0.16 B
s=B+mv
SOCIALES
−4 ln 0.16
0.16 = 1 e−1,21×10 t
=⇒ t = − ≈ 15145 a˜os
n
1, 21 × 10−4
• al 17%, N = 0.17
MaTEX
ln 0.17
Trascendentes
−4
0.17 = 1 e−1,21×10 t
Funciones
=⇒ t = − ≈ 14644 a˜os
n
1, 21 × 10−4
• al 18%, N = 0.18
−4 ln 0.18
0.18 = 1 e−1,21×10 t
=⇒ t = − ≈ 14171 a˜os
n
1, 21 × 10−4
Se observa que un 1% de error supone unos 500 a˜os de diferencia en la
n
estimaci´n
o Ejercicio 6
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