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  1. 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES ESTRUCTURAS Ejercicios Resueltos de: Método de Cross – Estructuras Simétricas Ejercicio Resuelto: CAÑETE, Joaquin C-3064/3 Año: 2009 Corregido: GUTAWSKI Alex ¾ Ejercicio Nº1: 1t q = 2t/m 2 4 2´ 4I° I° I° 1 1´ En las estructuras simétricas cualquier estado de cargas puede ser transformado en la suma de un estado de cargas simétricas más otro asimétrico, mediante la aplicación del principio de superposición de efectos. 0,5t q = 2t/m q = 1t/m q = 1t/m 2 4 2´ 4I° simetrico I° I° 1 1´ 0,5t 2 4 2´ 4I° asimetrico I° I° 1 1´ 0,5t 0,5t Estructuras 2009 METODO DE CROSS – ESTRUCTURAS SIMETRICAS Pág. 1
  2. 2. UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES ESTRUCTURAS Ejercicios Resueltos de: Método de Cross – Estructuras Simétricas Ejercicio Resuelto: CAÑETE, Joaquin C-3064/3 Año: 2009 Corregido: GUTAWSKI Alex CARGA SIMETRICA: Si consideramos la barra que corta el eje de simetría, como el momento flector es simétrico, podemos suponer que en un determinado instante sobre la barra actúan dos momentos. Consideramos que soltamos dos nudos a la vez y analicemos que ocurre con el coeficiente de rigidez angular de la barra, si EJ = cte. EJ l 2 M [ ] si 2 1 1 ` ` = + = = − M ω ω ω ω EJ l AA ′ ⇒ = α = AA AA ′ 2 ` Se deberá entonces resolver una estructura que sea la mitad de la estructura original. Con los momentos de los nudos y las cargas podemos dibujar los diagramas y por condiciones de simetría extender a toda la estructura. 10,67 -3,83 -0,50 -0,50 -3,83 6,84 -3,00 -1,92 6,84 -6,84 2 4 2´ 4I° simetrico -3,00 3,00 -3,83 3,83 I° I° 1 1´ -1,92 1,92 CARGA ASIMETRICA: Por condición de simetría el punto 4 no puede descender y además en ese punto el momento flector es nulo. Bajo estas condiciones se puede considerar que hay un apoyo con una articulación y se resuelve la mitad de la estructura solamente. M EJ l si B 2 ( ω ω ) ω ω 2 1 6 = = + ′ = ′ = M EJ l BB ′ ⇒ = α = B BB ′ como l l EJ l BB ′ 2 = ⇒ α = BB BA BA 3 B A ′ Estructuras 2009 METODO DE CROSS – ESTRUCTURAS SIMETRICAS Pág. 2
  3. 3. UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES ESTRUCTURAS Ejercicios Resueltos de: Método de Cross – Estructuras Simétricas Ejercicio Resuelto: CAÑETE, Joaquin C-3064/3 Año: 2009 Corregido: GUTAWSKI Alex Con las cargas asimétricas considero el desplazamiento de la estructura hacia la derecha con un momento en la barra 1-2 de 1tm, entonces las iteraciones de los estados 0 y 1 serán: -0,75 -0,75 -0,25 -0,25 1,00 -0,12 -0,75 -0,75 -0,25 1,00 -0,25 0,75 0,88 -0,12 1,00 Ecuaciones de compatibilidad 0 H k H + = k k 0 1 1 + ⋅ − = ⇒ = 0,18 ( 0,82) 0 0,22 1 1 Momentos flectores Las solicitaciones serán entonces: 1 Mik = Mik + k1Mik o M12 = -0,12+0,22 * 0,88 = 0,07tm M21 = -0,25+0,22 * 0,75= -0,08tm M24 = -0,75+0,22 *- 0,75 = -0,91tm M2v = 1,00+0,22 * 0,00= 1,00tm M12 = -0,12+0,22 * 0,88 = 0,07tm M21 = -0,25+0,22 * 0,75= -0,08tm M24 = -0,75+0,22 *- 0,75 = -0,91tm M2v = 1,00+0,22 * 0,00= 1,00tm ´Momentos flectores finales Por superposición de efectos los momentos finales de la estructuras serán los finales de la simétrica mas los de la asimétrica. M12 = -1,92 + 0,07 = -1,85tm M21 = -3,83 - 0,08 = -3,91tm M24 = 6,84 - 0,91= 5,93tm M2v = -3,00+1,00 = -2,00tm M12 = 1,92 + 0,07 = 1,99tm M21 = 3,83 - 0,08 = 3,75tm M24 = -6,84 - 0,91 = -7,75tm M2v = 3,00+1,00 = 4,00tm Estructuras 2009 METODO DE CROSS – ESTRUCTURAS SIMETRICAS Pág. 3
  4. 4. UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES ESTRUCTURAS Ejercicios Resueltos de: Método de Cross – Estructuras Simétricas Ejercicio Resuelto: CAÑETE, Joaquin C-3064/3 Año: 2009 Corregido: GUTAWSKI Alex DIAGRAMA MOMENTO FLECTOR 5,93tm 2tm 3,91tm 1,85tm 6,64tm 6,64tm 4tm 3,75tm 1,99tm DIAGRAMA ESFUERZO CORTANTE 7,09t 1t 2,88t 4t 2,88t 8,91t Estructuras 2009 METODO DE CROSS – ESTRUCTURAS SIMETRICAS Pág. 4
  5. 5. UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES ESTRUCTURAS Ejercicios Resueltos de: Método de Cross – Estructuras Simétricas Ejercicio Resuelto: CAÑETE, Joaquin C-3064/3 Año: 2009 Corregido: GUTAWSKI Alex DIAGRAMA ESFUERZO NORMAL -8,09t -2,88t -12,91t DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE 1t q = 2t/m 2 4 2´ 4I° I° I° 1 1´ 2,88t 8,09t 2,88t 12,91t 1,85tm 1,99tm Estructuras 2009 METODO DE CROSS – ESTRUCTURAS SIMETRICAS Pág. 5
  6. 6. UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES ESTRUCTURAS Ejercicios Resueltos de: Método de Cross – Estructuras Simétricas Ejercicio Resuelto: CAÑETE, Joaquin C-3064/3 Año: 2009 Corregido: GUTAWSKI Alex ¾ Ejercicio Nº2: q = 1,5t/m 0,5t 3I° 5I° 3I° I° I° 1 1´ q = 1,5t/m 0,25t q = 0,75t/m 0,25t q = 0,75t/m 3I° 5I° 3I° simetrico I° I° 1 1´ 0,25t q = 0,75t/m 3I° 5I° 3I° asimetrico I° I° 1 1´ 0,25t q = 0,75t/m CARGA SIMETRICA: Cuando el eje de simetría corta un apoyo, dada la simetría, el nudo del eje no tendrá rotación. Luego se está comportando como un empotramiento y puede ser resuelta la mitad de la estructura a la cual se la considera como empotrada en el apoyo de referencia. Estructuras 2009 METODO DE CROSS – ESTRUCTURAS SIMETRICAS Pág. 6
  7. 7. UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES ESTRUCTURAS Ejercicios Resueltos de: Método de Cross – Estructuras Simétricas Ejercicio Resuelto: CAÑETE, Joaquin C-3064/3 Año: 2009 Corregido: GUTAWSKI Alex 0,25 1,125 0,48 -0,87 -0,13 0,07 1,60 -1,93 0,04 -1,125 0,24 -0,88 CARGA ASIMETRICA: Cuando el eje de simetría corta un apoyo, por condición de carga, en el apoyo es nulo el momento flector; por lo tanto podemos considerar que existe una articulación y calcular con esta condición la mitad de la viga solamente. Con las cargas asimétricas considero el desplazamiento de la estructura hacia la derecha con un momento en la barra 1-2 de 1tm, entonces las iteraciones de los estados 0 y 1 serán: -0,25 -0,57 -0,83 -0,17 -0,12 0,94 -0,06 -0,83 -0,83 -0,17 1,00 -0,17 0,83 0,92 -0,08 1,00 Estructuras 2009 METODO DE CROSS – ESTRUCTURAS SIMETRICAS Pág. 7
  8. 8. UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES ESTRUCTURAS Ejercicios Resueltos de: Método de Cross – Estructuras Simétricas Ejercicio Resuelto: CAÑETE, Joaquin C-3064/3 Año: 2009 Corregido: GUTAWSKI Alex Ecuaciones de compatibilidad 0 H k H + = 0 1 1 − + ⋅ − = ⇒ = − k k 0,41 ( 0,88) 0 0,46 1 1 Momentos flectores Las solicitaciones serán entonces: 1 Mik = Mik + k1Mik o M12 = 0,06-0,46 * 0,92 = -0,48tm M21 = -0,12-0,46 * 0,83= -0,50tm M24 = -0,57-0,46 *- 0,83 = -0,19tm M2v = -0,25-0,46 * 0,00= -0,25tm M23 = 0,94-0,46*0,.00= 0,94tm M12 = 0,06-0,46 * 0,92 = -0,48tm M21 = -0,12-0,46 * 0,83= -0,50tm M24 = -0,57-0,46 *- 0,83 = -0,19tm M2v = -0,25-0,46 * 0,00= -0,25tm M23 = 0,94-0,46*0,.00= 0,94tm ´Momentos flectores finales Por superposición de efectos los momentos finales de la estructuras serán los finales de la simétrica mas los de la asimétrica. M12 = 0,04 - 0,48 = -0,44tm M21 = 0,07 - 0,50 = -0,43tm M24 = 1,60 - 0,19= 1,41tm M2v = 0,25-0,25 = 0,00tm M23 = -1,93 + 0,94= -0,99tm M42 = -0,88 + 0,00= -0,88tm M12 = -0,04 - 0,48 = -0,52tm M21 = -0,07 - 0,50 = -0,57tm M24 = -1,60 - 0,19= -1,79tm M2v = -0,25-0,25 = 0,50tm M23 = 1,93 + 0,94= 2,87tm M42 = 0,88 + 0,00= 0,88tm Estructuras 2009 METODO DE CROSS – ESTRUCTURAS SIMETRICAS Pág. 8
  9. 9. UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES ESTRUCTURAS Ejercicio Resuelto de: Método de Cross – Estructuras Simétricas Ejercicio Resuelto: CAÑETE, Joaquin C-3064/3 Año: 2009 Corregido:GUTAWSKI Alex DIAGRAMA MOMENTO FLECTOR 0,44tm 0,99tm 0,43tm 0,88tm 1,79tm 2,87tm 0,57tm 0,52tm DIAGRAMA ESFUERZO CORTANTE 0,17t 2,43t 2,08t 0,22t 1,95t 2,07t 3,72t 2,55t 0,27t 2,22t Estructuras 2009 METODO DE CROSS – ESTRUCTURAS SIMETRICAS Pág. 9
  10. 10. UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES ESTRUCTURAS Ejercicio Resuelto de: Método de Cross – Estructuras Simétricas Ejercicio Resuelto: CAÑETE, Joaquin C-3064/3 Año: 2009 Corregido:GUTAWSKI Alex DIAGRAMA ESFUERZO NORMAL -0,22t -4,51t -6,57t DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE q = 1,5t/m 0,5t 3I° 5I° 3I° 0,17t 4,02t 2,28t I° I° 1 1´ 0,22t 4,51t 0,27t 6,27t 0,44tm 0,52tm Estructuras 2009 METODO DE CROSS – ESTRUCTURAS SIMETRICAS Pág. 10
  11. 11. UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES ESTRUCTURAS Ejercicio Resuelto de: Método de Cross – Estructuras Simétricas Ejercicio Resuelto: CAÑETE, Joaquin C-3064/3 Año: 2009 Corregido:GUTAWSKI Alex ¾ Ejercicio Nº3: q = 2t/m 2t 2t 3 2 3´ 5I° 5I° I° 1 q = 2t/m q = 1t/m q = 1t/m 2t 2t 3 2 3´ 5I° 5I° simetrico I° 1 q = 1t/m 3 2 3´ 5I° 5I° asimetrico I° 1 q = 1t/m CARGA SIMETRICA:El nudo 4 no puede tener rotación ni desplazamiento, luego, se lo considera como empotrado y se resuelve la mitad de la estructura. Se debe, sin embargo, tener en cuenta que en la columna actúa un esfuerzo normal que es el doble del esfuerzo de corte que actúa en el empotramiento. Estructuras 2009 METODO DE CROSS – ESTRUCTURAS SIMETRICAS Pág. 11
  12. 12. UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES ESTRUCTURAS Ejercicio Resuelto de: Método de Cross – Estructuras Simétricas Ejercicio Resuelto: CAÑETE, Joaquin C-3064/3 Año: 2009 Corregido:GUTAWSKI Alex -6,25 1,25 -5,00 2,50 -1,00 -2,50 CARGA ASIMETRICA: Podremos resolver una estructura que sea la mitad de la original, en la cual el coeficiente de rigidez de la columna que pasa por el eje de simetría tiene un momento de inercia que vale la mitad del original y por lo tanto su coeficiente de rigidez valdrá la mitad del original. Con las cargas asimétricas considero el desplazamiento de la estructura hacia la derecha con un momento en la barra 1-2 de 1tm, entonces las iteraciones de los estados 0 y 1 serán: -0,90 -0,10 0,50 0,02 0,01 0,01 0,04 0,01 -0,50 0,11 -0,11 0,02 -0,02 -0,50 -0,25 0,22 -0,05 0,04 -0,01 0,01 -0,04 -1,00 -0,90 -0,10 1,00 -0,10 -0,02 -0,01 0,87 0,94 -0,01 -0,05 1,00 -0,45 0,45 -0,10 0,10 -0,02 0,02 0,00 -0,90 0,22 -0,20 0,05 -0,04 0,01 -0,01 -0,87 -1,00 Estructuras 2009 METODO DE CROSS – ESTRUCTURAS SIMETRICAS Pág. 12
  13. 13. UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES ESTRUCTURAS Ejercicio Resuelto de: Método de Cross – Estructuras Simétricas Ejercicio Resuelto: CAÑETE, Joaquin C-3064/3 Año: 2009 Corregido:GUTAWSKI Alex Ecuaciones de compatibilidad 0 H k H + = k k 0 1 1 + ⋅ = ⇒ = − 0,01 0,72 0 0,01 1 1 Momentos flectores Las solicitaciones serán entonces: 1 Mik = Mik + k1Mik o M12 = 0,02-0,01 *1,88 = 0tm M21 = 0,08-0,01 * 1,74= 0,06tm M23 = -0,04-0,01 * 0,87 = -0,05tm M32 = -0,50-0,01 * 0,00= -0,50tm M2v = 0,50-0,01*0,.00= 0,50tm M23 = -0,04-0,01 * 0,87 = -0,05tm M32 = -0,50-0,01 * 0,00= -0,50tm M3v = 0,50-0,01 * 0,00 = 0,50tm ´Momentos flectores finales Por superposición de efectos los momentos finales de la estructuras serán los finales de la simétrica mas los de la asimétrica. M12 = 0tm M21 = 0+ 0,06 = 0,06tm M23 = -5,00- 0,05= -5,05tm M32 = -0,50+2,50 = 2,00tm M3v = 0,50 - 2,50= -2,00tm M23 = 5,00 - 0,05 = 4,95tm M32 = -0,50 - 2,50 = -3,00tm M3v = 2,50 + 0,50= 3,00tm Estructuras 2009 METODO DE CROSS – ESTRUCTURAS SIMETRICAS Pág. 13
  14. 14. UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES ESTRUCTURAS Ejercicio Resuelto de: Método de Cross – Estructuras Simétricas Ejercicio Resuelto: CAÑETE, Joaquin C-3064/3 Año: 2009 Corregido:GUTAWSKI Alex DIAGRAMA MOMENTO FLECTOR 5,05tm 4,95tm 0,06tm 0tm 2tm 3tm DIAGRAMA ESFUERZO CORTANTE 4,39t 2t 5,39t 5,61t 4t 4,61t 2t Estructuras 2009 METODO DE CROSS – ESTRUCTURAS SIMETRICAS Pág. 14
  15. 15. UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES ESTRUCTURAS Ejercicio Resuelto de: Método de Cross – Estructuras Simétricas Ejercicio Resuelto: CAÑETE, Joaquin C-3064/3 Año: 2009 Corregido:GUTAWSKI Alex DIAGRAMA ESFUERZO NORMAL -11t DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE q = 2t/m 2t 2t 3 2 3´ 5I° 5I° 6,39t 8,61t I° 1 11t 0,012t Estructuras 2009 METODO DE CROSS – ESTRUCTURAS SIMETRICAS Pág. 15

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