METODO DE CROSS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES
ESTRUCTURAS
Ejercicios Resueltos de: Método de Cross – Estructuras Simétricas
Ejercicio Resuelto: CAÑETE, Joaquin C-3064/3 Año: 2009 Corregido: GUTAWSKI Alex
¾ Ejercicio Nº1:
1t
q = 2t/m
2 4 2´
4I°
I° I°
1
1´
En las estructuras simétricas cualquier estado de cargas puede ser transformado en la suma
de un estado de cargas simétricas más otro asimétrico, mediante la aplicación del principio de
superposición de efectos.
0,5t
q = 2t/m
q = 1t/m q = 1t/m
2 4 2´
4I°
simetrico
I° I°
1
1´
0,5t
2 4 2´
4I°
asimetrico
I° I°
1
1´
0,5t
0,5t
Estructuras 2009 METODO DE CROSS – ESTRUCTURAS SIMETRICAS Pág. 1

ESTRUCTURAS
CARGA SIMETRICA:
Si consideramos la barra que corta el eje de simetría, como el momento flector es
simétrico, podemos suponer que en un determinado instante sobre la barra actúan dos momentos.
Consideramos que soltamos dos nudos a la vez y analicemos que ocurre con el coeficiente
de rigidez angular de la barra, si EJ = cte.
EJ
l
2
M [ ]
si
2 1 1
` `
= + = = −
M
ω ω ω ω
EJ
l
AA
′
⇒ = α
=
AA
AA
′
2
`
Se deberá entonces resolver una estructura que sea la mitad de la estructura original. Con
los momentos de los nudos y las cargas podemos dibujar los diagramas y por condiciones de
simetría extender a toda la estructura.
10,67
-3,83
-0,50
-0,50
-3,83 6,84
-3,00
-1,92
6,84 -6,84
2 4 2´
4I°
simetrico
-3,00 3,00
-3,83 3,83
I° I°
1
1´
-1,92 1,92
CARGA ASIMETRICA:
Por condición de simetría el punto 4 no puede descender y además en ese punto el momento flector es nulo.
Bajo estas condiciones se puede considerar que hay un apoyo con una articulación y se resuelve la mitad de
la estructura solamente.
M
EJ
l
si
B
2
( ω ω ) ω ω
2 1
6
= = + ′ = ′ =
M
EJ
l
BB
′
⇒ = α
=
B BB
′
como l l
EJ
l
BB
′
2
= ⇒ α
=
BB BA BA
3
B A
′

ESTRUCTURAS
Con las cargas asimétricas considero el desplazamiento de la estructura hacia la derecha con un
momento en la barra 1-2 de 1tm, entonces las iteraciones de los estados 0 y 1 serán:
-0,75
-0,75
-0,25
-0,25
1,00
-0,12
-0,75
-0,75
-0,25
1,00
-0,25
0,75
0,88
-0,12
1,00
Ecuaciones de compatibilidad
0
H k H
+ =
k k
0 1 1
+ ⋅ − = ⇒ =
0,18 ( 0,82) 0 0,22
1 1
Momentos flectores
Las solicitaciones serán entonces:
1
Mik = Mik + k1Mik o
M12 = -0,12+0,22 * 0,88 = 0,07tm
M21 = -0,25+0,22 * 0,75= -0,08tm
M24 = -0,75+0,22 *- 0,75 = -0,91tm
M2v = 1,00+0,22 * 0,00= 1,00tm
M12 = -0,12+0,22 * 0,88 = 0,07tm
M21 = -0,25+0,22 * 0,75= -0,08tm
M24 = -0,75+0,22 *- 0,75 = -0,91tm
M2v = 1,00+0,22 * 0,00= 1,00tm
´Momentos flectores finales
Por superposición de efectos los momentos finales de la estructuras serán los finales de la
simétrica mas los de la asimétrica.
M12 = -1,92 + 0,07 = -1,85tm
M21 = -3,83 - 0,08 = -3,91tm
M24 = 6,84 - 0,91= 5,93tm
M2v = -3,00+1,00 = -2,00tm
M12 = 1,92 + 0,07 = 1,99tm
M21 = 3,83 - 0,08 = 3,75tm
M24 = -6,84 - 0,91 = -7,75tm
M2v = 3,00+1,00 = 4,00tm

ESTRUCTURAS
DIAGRAMA MOMENTO FLECTOR
5,93tm
2tm
3,91tm
1,85tm
6,64tm
6,64tm
4tm
3,75tm
1,99tm
DIAGRAMA ESFUERZO CORTANTE
7,09t
1t
2,88t
4t
2,88t
8,91t

ESTRUCTURAS
DIAGRAMA ESFUERZO NORMAL
-8,09t
-2,88t
-12,91t
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
1t
q = 2t/m
2 4 2´
4I°
I° I°
1
1´
2,88t 8,09t 2,88t
12,91t
1,85tm 1,99tm

ESTRUCTURAS
¾ Ejercicio Nº2:
q = 1,5t/m 0,5t
3I° 5I° 3I°
I° I°
1 1´
q = 1,5t/m 0,25t
q = 0,75t/m 0,25t q = 0,75t/m
3I° 5I° 3I°
simetrico
I° I°
1 1´
0,25t
q = 0,75t/m
3I° 5I° 3I°
asimetrico
I° I°
1 1´
0,25t q = 0,75t/m
CARGA SIMETRICA:
Cuando el eje de simetría corta un apoyo, dada la simetría, el nudo del eje no tendrá
rotación. Luego se está comportando como un empotramiento y puede ser resuelta la mitad de la
estructura a la cual se la considera como empotrada en el apoyo de referencia.

ESTRUCTURAS
0,25
1,125
0,48
-0,87
-0,13
0,07 1,60
-1,93
0,04
-1,125
0,24
-0,88
CARGA ASIMETRICA:
Cuando el eje de simetría corta un apoyo, por condición de carga, en el apoyo es nulo el
momento flector; por lo tanto podemos considerar que existe una articulación y calcular con esta
condición la mitad de la viga solamente.
-0,25
-0,57
-0,83
-0,17
-0,12
0,94
-0,06
-0,83
-0,83
-0,17
1,00
-0,17
0,83
0,92
-0,08
1,00

ESTRUCTURAS
0
H k H
+ =
0 1 1
− + ⋅ − = ⇒ = −
k k
0,41 ( 0,88) 0 0,46
1 1
Momentos flectores
1
Mik = Mik + k1Mik o
M12 = 0,06-0,46 * 0,92 = -0,48tm
M21 = -0,12-0,46 * 0,83= -0,50tm
M24 = -0,57-0,46 *- 0,83 = -0,19tm
M2v = -0,25-0,46 * 0,00= -0,25tm
M23 = 0,94-0,46*0,.00= 0,94tm
M12 = 0,06-0,46 * 0,92 = -0,48tm
M21 = -0,12-0,46 * 0,83= -0,50tm
M24 = -0,57-0,46 *- 0,83 = -0,19tm
M2v = -0,25-0,46 * 0,00= -0,25tm
M23 = 0,94-0,46*0,.00= 0,94tm
M12 = 0,04 - 0,48 = -0,44tm
M21 = 0,07 - 0,50 = -0,43tm
M24 = 1,60 - 0,19= 1,41tm
M2v = 0,25-0,25 = 0,00tm
M23 = -1,93 + 0,94= -0,99tm
M42 = -0,88 + 0,00= -0,88tm
M12 = -0,04 - 0,48 = -0,52tm
M21 = -0,07 - 0,50 = -0,57tm
M24 = -1,60 - 0,19= -1,79tm
M2v = -0,25-0,25 = 0,50tm
M23 = 1,93 + 0,94= 2,87tm
M42 = 0,88 + 0,00= 0,88tm

ESTRUCTURAS
Ejercicio Resuelto de: Método de Cross – Estructuras Simétricas
Ejercicio Resuelto: CAÑETE, Joaquin C-3064/3 Año: 2009 Corregido:GUTAWSKI Alex
0,44tm
0,99tm
0,43tm
0,88tm
1,79tm
2,87tm
0,57tm
0,52tm
0,17t
2,43t
2,08t 0,22t
1,95t
2,07t
3,72t
2,55t
0,27t 2,22t

ESTRUCTURAS
-0,22t
-4,51t -6,57t
q = 1,5t/m 0,5t
3I° 5I° 3I°
0,17t 4,02t 2,28t
I° I°
1 1´
0,22t
4,51t
0,27t
6,27t
0,44tm 0,52tm

ESTRUCTURAS
¾ Ejercicio Nº3:
q = 2t/m
2t 2t
3 2 3´
5I° 5I°
I°
1
q = 2t/m
q = 1t/m q = 1t/m
2t 2t
3 2 3´
5I° 5I°
simetrico
I°
1
q = 1t/m
3 2 3´
5I° 5I°
asimetrico
I°
1
q = 1t/m
CARGA SIMETRICA:El nudo 4 no puede tener rotación ni desplazamiento, luego, se lo
considera como empotrado y se resuelve la mitad de la estructura.
Se debe, sin embargo, tener en cuenta que en la columna actúa un esfuerzo normal que es el
doble del esfuerzo de corte que actúa en el empotramiento.

ESTRUCTURAS
-6,25
1,25
-5,00
2,50
-1,00
-2,50
CARGA ASIMETRICA: Podremos resolver una estructura que sea la mitad de la original, en la
cual el coeficiente de rigidez de la columna que pasa por el eje de simetría tiene un momento de
inercia que vale la mitad del original y por lo tanto su coeficiente de rigidez valdrá la mitad del
original.
-0,90
-0,10
0,50
0,02
0,01
0,01
0,04
0,01
-0,50
0,11
-0,11
0,02
-0,02
-0,50
-0,25
0,22
-0,05
0,04
-0,01
0,01
-0,04
-1,00
-0,90
-0,10
1,00
-0,10
-0,02
-0,01
0,87
0,94
-0,01
-0,05
1,00
-0,45
0,45
-0,10
0,10
-0,02
0,02
0,00
-0,90
0,22
-0,20
0,05
-0,04
0,01
-0,01
-0,87
-1,00

ESTRUCTURAS
0
H k H
+ =
k k
0 1 1
+ ⋅ = ⇒ = −
0,01 0,72 0 0,01
1 1
Momentos flectores
1
Mik = Mik + k1Mik o
M12 = 0,02-0,01 *1,88 = 0tm
M21 = 0,08-0,01 * 1,74= 0,06tm
M23 = -0,04-0,01 * 0,87 = -0,05tm
M32 = -0,50-0,01 * 0,00= -0,50tm
M2v = 0,50-0,01*0,.00= 0,50tm
M23 = -0,04-0,01 * 0,87 = -0,05tm
M32 = -0,50-0,01 * 0,00= -0,50tm
M3v = 0,50-0,01 * 0,00 = 0,50tm
M12 = 0tm
M21 = 0+ 0,06 = 0,06tm
M23 = -5,00- 0,05= -5,05tm
M32 = -0,50+2,50 = 2,00tm
M3v = 0,50 - 2,50= -2,00tm
M23 = 5,00 - 0,05 = 4,95tm
M32 = -0,50 - 2,50 = -3,00tm
M3v = 2,50 + 0,50= 3,00tm

ESTRUCTURAS
5,05tm 4,95tm
0,06tm
0tm
2tm
3tm
4,39t
2t
5,39t
5,61t
4t
4,61t
2t

ESTRUCTURAS
-11t
q = 2t/m
2t 2t
3 2 3´
5I° 5I°
6,39t 8,61t
I°
1
11t
0,012t

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