teoria rankine

1. TEORIA DE RANKINE. OTROS
CASOS. SOBRECARGA
INGENIERÍA GEOTÉCNICA
Prof.: Ing. Wilfredo Gutiérrez Lazares

2. TEORIA DE RANKINE
• Rankine para w=β=m=0. Ejemplo de cálculo
• Empujes en muros con paramento inclinado.
Rankine w  0.
• Empujes en muros con terrenos inclinados.
Rankine para β  0, suelo φ
• Efecto de las sobrecargas
• Deformación y condiciones de frontera
CONTENIDO

3. TEORIA DE RANKINE
Objetivo
Esquema básico a analizar.
Diagrama de solicitaciones sobre el muro o
diagrama de empujes.
WT : Peso total del suelo comprendido en la cuña
Wm : Peso del muro
Pp : Empujes pasivos
Pa : Empujes activos
Pw : Empuje debido al agua
Pwsp : Empuje de subpresión
Donde:

4. EMPUJE DE TIERRAS – MÉTODO DE RANKINE
(==m=0)
Tipo de
Empuje
Estado
Tensional
Condición
del suelo
Empuje
Coeficiente de
empuje de tierra
K0
Observación
Efecto de
sobrecarga
(Ps)
Reposo
(Po)
Alejado de
la falla
Equilibrio
elástico Po = K0 z Ko =


−
1
  0,05
ko  0,1
Activo
(Pa)
Falla
 Pa = ka..z
Ka=tg
2






−
2
45

Ps = Kaq
o
hs =

q
c Pa = z – 2c
c,  Pa= kaz-2c a
k
Pasivo
(Pp)
Falla
 Pp = kpz
Kp=tg2






+
2
45

Pp  10 . Pa
Ps = Kpq
o
hs =

q
c Pp = z + 2c
c,  Pp=kpz+2c p
k
EMPUJES DE TIERRA

5. TEORIA DE RANKINE
Rankine para w=β=m=0. Ejemplo de cálculo: Determinar los empujes
que solicitan al muro.

6. TEORIA DE RANKINE
Tipo de
Empuje
Estado
Tensional
Condición
del suelo
Empuje
Coeficiente de
empuje de tierra
K0
Observación
Efecto de
sobrecarga
(Ps)
Reposo
(Po)
Alejado de
la falla
Equilibrio
elástico Po = K0 z Ko =


−
1
  0,05
ko  0,1
Activo
(Pa)
Falla
 Pa = ka..z
Ka=tg
2






−
2
45

Ps = Kaq
o
hs =

q
c Pa = z – 2c
c,  Pa= kaz-2c a
k
Pasivo
(Pp)
Falla
 Pp = kpz
Kp=tg2






+
2
45

Pp  10 . Pa
Ps = Kpq
o
hs =

q
c Pp = z + 2c
c,  Pp=kpz+2c p
k
de
uje
Estado
Tensional
Condición
del suelo
Empuje
Coeficiente de
empuje de tierra
K0
Observación
Efecto de
sobrecarga
(Ps)
so Alejado de
la falla
Equilibrio
elástico Po = K0 z Ko =


−
1
  0,05
ko  0,1
o
Falla
 Pa = ka..z
Ka=tg
2






−
2
45

Ps = Kaq
o
hs =

q
c Pa = z – 2c
c,  Pa= kaz-2c a
k
vo
Falla
 Pp = kpz
Kp=tg2






+
2
45

Pp  10 . Pa
Ps = Kpq
o
hs =

q
c Pp = z + 2c
c,  Pp=kpz+2c p
k

7. 1.- Determinación de las tensiones efectivas por peso propio
Zona
activa Observen que:
γ ' = γ sat – 10 kN/m3 = 19-10
γ ' = 9 kN/ m3
Zona
pasiva
’1 = 0
’2 = ’1 + γ z = 0 + 4(17) = 68 kPa
’3 = ’2 + γ z = 68 + 1(19) = 87 kPa
’4 = ’3 + γ´z = 87 + 1(19-10) = 96 kPa
’5 = 0
’6 = 1 (19) = 19 kPa
’7 = ’6 + γ’ z = 19 + 1(19-10) = 28 kPa
TEORIA DE RANKINE
Rankine para w=β=m=0. Ejemplo de cálculo

8. Estrato 1-2. Estado Activo. Suelo φ. w = β = m = 0
Pa = γ. z. Ka ; Ka = tg2 (45 - φ /2) = tg2 (45- 30/2)
Ka = 0,333
Pa1 = ’1.Ka = 0 kPa
Pa2 = ’2.Ka = 68 (0,333) = 22.66 kPa
Estrato 2’- 4. Estado Activo. Suelo C. w = β = m = 0
Pa = γz – 2C
Pa2’ = ’2 - 2C = 68 – 2(30) = 8kPa
Pa3 = ’3 - 2C = 87 – 2(30) = 27kPa
Pa4 = ’4 - 2C = 96 – 2(30) = 36kPa
Pw3 = Yw.z = 0
Pw4 = Pw3+Ywz= 0+10(1) = 10kPa

TEORIA DE RANKINE
Estrato 5 - 7. Estado Pasivo. Suelo C.
Pp = γz + 2C
Pp5 = ’5 + 2C = 0 + 2 (30) = 60kPa
Pp6 = ’6 + 2C = 19 + 2(30) = 79kPa
Pp7 = ’7 + 2C = 28 + 2 (30) = 88kPa
Pw6 = γw.z = 0
Pw7 = Pw6+γwz= 0+10(1)=10kPa
2.- Determinación de los empujes de tierras y agua (w = β = m = 0)

9. 3. Construcción de los Gráficos de empujes de tierras
TEORIA DE RANKINE
Considerando la isotropía de la partícula de agua para el cálculo de supresión;
geometría del muro como 3.0 m de base y corona de 1.0 m, se pide calcular el Mo.
(“o” en extremo izquierdo de la base)

10. TEORIA DE RANKINE
• Rankine para w=β=m=0. Ejemplo de cálculo
• Empujes en muros con paramento inclinado.
Rankine w  0
• Empujes en muros con terrenos inclinados.
Rankine para β  0, suelo φ
• Efecto de las sobrecargas
• Deformación y condiciones de frontera
CONTENIDO

11. Empujes en muros con parámetro inclinado. Rankine para w  0
Resulta posible utilizar la teoría básica haciendo una simplificación totalmente
aceptada en la práctica.
TEORIA DE RANKINE
Simplificación:
•Trazar una vertical por el extremo de la base del muro.
•Determinar los empujes sobre dicha vertical virtual como si w=0.
•Considerar la fuerza producida por el peso de tierra de la cuña formada.

12. Si existe el nivel freático:
TEORIA DE RANKINE
Nota.- El peso “W” de la cuña, se trabaja con Ysat aún por debajo del N.F., pues lo que se
está determinando son fuerzas verticales.
W =
1
b.H.Ysat
2
Pa1 = γsat (0) Ka = 0
Pa2 = γsat H1 K2
Pa3 = (γsat H1+ γ’H2) Ka
Pw2 = γw (0) = 0
Pw3 = γ w H2

13. Empujes en muros con terrenos inclinados. Rankine
para β  0, suelo 
-La teoría de Rankine fue considerada para una masa de
suelo en falla sin considerar el efecto de la fricción muro-
suelo; luego la solución a obtener para suelos inclinados
(β  0), es aproximada.
- La práctica ingenieril ha demostrado que para muros con
H<10 m y fricción muro-suelo (m) superior a la
considerada por Rankine (RANKINE = β), es posible aplicar
estas fórmulas aproximadas con éxito.
TEORIA DE RANKINE

14. Método de Rankine (β  0; m≥ α RANKINE = β; w = 0 ó w  0. suelo 
Estado Activo: Pa = Y.z.Ka (H < 10 m)
TEORIA DE RANKINE







cos
.
cos
cos
cos
cos
cos
cos
2
2
2
2
−
+
−
−
=
Ka

15. Aspectos de interés:
1.- Los empujes activos Pa se determinan sobre la vertical virtual, que en este
caso al ser el relleno inclinado tiene una altura superior a H.
2.- Los empujes de agua Pw continúan siendo horizontales.
TEORIA DE RANKINE
Con nivel freático y w  0, se procede de la siguiente manera:

16. Método de Rankine para β  0; m ≥ RANKINE = β; w = 0 ó w  0. Suelo 
Estado Pasivo: Pp = Y.z.Kp







cos
.
cos
cos
cos
cos
cos
cos
2
2
2
2
−
−
−
+
=
Kp
TEORIA DE RANKINE
Si existe el N.F. y/o el parámetro es inclinado se procede de la misma forma que
para el estado activo.

17. Resumen de casos posibles a resolver con la teoría de Rankine
- Estado Activo o Pasivo; w  0 ó w = 0 ; β = 0; m = 0; suelos Φ, c, ó c-Φ
- Estado Activo o Pasivo; w  0 ó w = 0 ; m ≥ β; β  0 suelos Φ
Para los casos no contemplados en el resumen anterior no es factible
aplicar la teoría de Rankine.

TEORIA DE RANKINE

18. Efecto de las sobrecargas
Efecto de la sobrecarga uniforme; Suelo .
Estados Activo o Pasivo. w  0 ó w = 0 ; m = 0 ; β = 0
Pp = Yz Kp
Ps = q.Kp
TEORIA DE RANKINE
Este método sólo es aplicable a partir
de la teoría de Rankine para los casos
definidos anteriormente y en suelo
homogéneo.
Pa = Yz Ka
Ps = q Ka
WT = W + qb

19. Método de la altura equivalente.
Cualquier tipo de suelo y estado β = 0 ; w = 0
Transforma la sobrecarga en un estrato equivalente de altura tal que realice el
mismo efecto de la sobrecarga.
Con la altura “hs” los empujes se calculan con una altura del muro de (H + hs).
TEORIA DE RANKINE
hs = q /
Pa = Y (H+hs) Ka


20. Método de la altura equivalente. Cualquier tipo de suelo y estado. β  0 ; w  0
El principio de este método es transformar la sobrecarga en un estrato.
TEORIA DE RANKINE
El método de la altura equivalente es totalmente general y siempre puede ser
aplicado a cualquier caso, siempre que se utilice la teoría de empuje de tierra
adecuada para su solución.
)
cos(
cos
.
cos
.


 −
=
w
w
q
hs

21. Deformación y condiciones de frontera
- Planos de fallas en los estados activos y pasivos
El suelo en falla, para una misma altura de muro, es mucho mayor en el estado
pasivo que en el estado activo (Pp>Pa).
La inclinación del plano de falla es de α = 45+ /2, con respecto al plano principal
mayor, siendo dicho plano el horizontal en el caso del empuje activo, mientras
que en el estado pasivo dicho plano es vertical, pues la tensión principal es el
empuje pasivo que es horizontal.
TEORIA DE RANKINE

22. Deformación incompleta
TEORIA DE RANKINE

23. Inclinación mínima necesaria para producir los estado activo y
pasivo
Resulta de interés discutir como se procede en la práctica ingenieril
cuando la deformación del muro no es suficiente para que se genere
el estado activo o pasivo.
SUELO ESTADO ACTIVO ESTADO PASIVO
FRICCIONAL COMPACTO 0.0005H 0.005H
FRICCIONAL SUELTO 0.002H 0.01H
COHESIVO DURO 0.01H 0.02H
COHESIVO BLANDO 0.02H 0.04H
TEORIA DE RANKINE

24. MÉTODO DE RANKINE
Limitación del Método de Rankine:
•No considera efecto de fricción entre muro y suelo.
•Considera Rankine=β (m ≥ Rankine=β).
•Aplicación a muros con H<10 m.

25. MÉTODO DE COULOMB
Rankine: Errores posibles en la resolución de ejercicios.
1. La componente vertical de la sobrecarga no es considerada como
una resultante (cuando hay cuña).
2. Olvidan colocar el diagrama de empujes debido a la sobrecarga.
3. No zonifica adecuadamente los diagramas de empuje (Pp, Psp,
Pa, Psc y Pw).
4. No grafican las resultantes de cada diagrama.
5. No ubican las distancias a la base, de cada resultante.
6. No consideran sub-presión, habiendo NF y viceversa.
7. No definen las fórmulas, adecuadas a cada tipo de suelo.
8. No colocan la carga producida por la cuña de suelo (para w<>0).
9. No colocan los valores en los diagramas de empujes.
10.Diagramas de empujes, mal referenciados a la geometría (Pa
sobre la Psp).