Este documento trata sobre los métodos para calcular la deflexión y pendiente en puntos específicos de vigas y ejes sometidos a cargas, incluyendo el método de integración. Presenta ejemplos numéricos de cálculo de deflexión usando este método y condiciones de frontera.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
Alumnos :
 Sovero Trinidad Cristhian Oscar 20150319G
2017
DEFLEXION DE VIGAS Y EJES
FACULTAD DE INGENIERIA
GEOLOGICA MINERA
METALURGICA

2. A menudo es necesario fijar límites sobre la cantidad de deflexión que
puede experimentar una barra o un eje que está sometido a una caga. Los
métodos para poder hallar deflexión y pendiente en puntos específicos
De la viga y ejes. Los métodos analíticos son :
 Método de integración
 Función de discontinuidad
 Método de superposición
Conceptos previos:
Curva elástica
Debe limitarse a la deflexión de una viga o eje con el fin de proporcionar
integridad y estabilidad a una estructura o máquina, y así evitar un
agrietamiento de cualquier materia frágil unida a una viga como el
concreto o el vidrio. Si seanaliza un elemento estáticamente
indeterminado, resulta importante encontrar deflexiones en puntos
específicos de una viga o eje.
Si la curva elástica de una viga parece difícil establecer, se sugiereprimero
dibujar el diagrama de momento para la viga.

3. Observemos la construcción dela curva elástica en la viga en voladizo con
suportefijo en A, por lo tanto, la curva elástica la pendiente y el
desplazamiento con valor 0 en ese punto. A mayor desplazamiento se
producirá en D, donde la pendiente es 0, o en C.
El método que desarrollarees:
PENDIENTE Y DESPLAZAMIENTO POR INTEGRACIO
La ecuación de la curva elástica puede expresarsematemáticamente como
𝑦 = 𝑓(𝑥) , para obtener esta ecuación primero es necesario representar la
curvatura en términos de y, x.
La mayoría de libros presenta así la ecuación:
Como la mayoría de deflexiones elásticas para las vigas y ejes son pocos
pronunciadas, por eso la ecuación de determina a partir de
𝑑𝑦
𝑑𝑥⁄ será
muy pequeña. Por lo tanto la ecuación quedara asi:

4. Condiciones de frontera:
Cuando se resuelven ecuaciones, las constantes de
integración se determinan mediante evaluación de
funciones de fuerza cortante, el momento, la
pendiente y el desplazamiento en un punto
determinado de la viga donde se conoce el valor de
función.
Estos valores de denominan condiciones de frontera,
estos valores están dados en gráfico, se presentan
varias condiciones de frontera que suelen utilizarse
para resolver los ejercicios de deflexión de vigas.
Si la curva elástica no puede expresarsecon una sola
coordenada, entonces deben usarsecondiciones de
continuidad para evaluar algunas de las constantes de
integración. Por ejem:
En la figura “a” aquí se eligen dos coordenadas de origen en A. Cada una
es válida dentro de regiones 0 ≤ 𝑥1 ≤ 𝑎 𝑦 𝑥2 ≤ 𝑎 + 𝑏. Una vez que se
obtienen funciones de deflexión y pendiente deben ser iguales en es
punto .Expresado de manera matemática 𝜃1 𝑎
= 𝜃2 𝑎
𝑦 𝑦´1 𝑎
= 𝑦´2 𝑎

5. 120mm
500mm
100mm
180mm
120mm
PROBLEMAS APLICATIVOS.
1. La viga se encuentra apoyada que se muestra en la figura está sometida a una fuerza
concentrada P= 90KN, E=200GPa , a=3m , la viga tiene una
sección recta como se ve en la figura.
a) calcular la deflexión para x=2m.
b) calcular la deflexión para x=7m.
c) calcular la deflexión máxima.
Calculandola
inercia:
𝐼 =
𝑏 ∗ ℎ3
12
= 192,6 ∗ 106 𝑚𝑚4
SOLUCION:
∑ 𝑀 𝐶 = 0
𝑹 𝑨 = 𝟑𝟎𝑲𝑵 𝑹 𝑪 = 𝟔𝟎𝑲𝑵
𝐶𝑜𝑟𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 𝑑𝑒 0 ≤ 𝑋1 ≤ 6𝑚 𝑀1 = 30𝑥
𝐸𝐼𝑦´ = 15𝑥2 + 𝐶1
𝐸𝐼𝑦 = 5𝑥3 + 𝑥𝐶1 + 𝐶2
𝑥 = 0, 𝑦 = 0 → 𝐶2 = 0 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑜𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑛 "𝐴"
𝐶𝑜𝑟𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 𝑑𝑒 6 ≤ 𝑋2 ≤ 9𝑚 𝑀2 = 60(9 − 𝑥)
𝐸𝐼𝑦´ = 6𝑂 (9𝑥 −
𝑥2
2
) + 𝐶3
𝐸𝐼𝑦 = 6𝑂 (
9𝑥2
2
−
𝑥3
6
) + 𝐶3 𝑥+ 𝐶4
𝑹 𝑨 𝑹 𝑪
𝑹 𝑨 = 30𝐾𝑁
𝑅 𝐴 = 30𝐾𝑁

6. ∗ 𝑥 = 9, 𝑦 = 0 → 0 = 6𝑂 (
9 ∗ 92
2
−
93
6
) + 𝐶39+ 𝐶4
∗ 𝑥 = 6, 𝑦1 = 𝑦2 → 5 ∗ 63 + 6𝐶1 = 6𝑂(
9 ∗ 62
2
−
63
6
) + 𝐶36 + 𝐶4
∗ 𝑥 = 6, 𝑦1
´ = 𝑦2
´ → 15 ∗ 62 + 𝐶1 = 6𝑂(9 ∗ 6 −
62
2
) + 𝐶3
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠:
𝐶1 = −360 𝐶2 = 0
𝐶3 = −1980 𝐶4 = 3240
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜:
𝑎)𝑑𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑥 = 2, 𝐸𝐼𝑦 = 5𝑥3 + 360𝑥
𝑦 =
(5 ∗ 23 − 360 ∗ 2)𝐾𝑁. 𝑚3
200 ∗ 109 𝑁/𝑚2 ∗ 192,6 ∗ 106 𝑚𝑚4 =
(5 ∗ 23 − 360 ∗ 2)103 𝑁. 𝑚3
200 ∗ 109 𝑁/𝑚2 ∗ 192,6 ∗ 106 ∗ 10−12 𝑚4
𝑦 = −0.01765𝑚
𝑏)𝑑𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑥 = 7, 𝐸𝐼𝑦 = 6𝑂 (
9𝑥2
2
−
𝑥3
6
) − 1980𝑥 + 3240
𝑦 =
(6𝑂 (
9∗72
2
−
73
6
) − 1980 ∗ 7 + 3240) 𝐾𝑁. 𝑚3
200 ∗ 109 𝑁/𝑚2 ∗ 192,6 ∗ 106 ∗ 10−12 𝑚4 = −0.021287𝑚
𝑐)𝑑𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎: 𝐿𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠 𝑦´ = 0.
∗ 𝐸𝐼𝑦´ = 15𝑥2 + −360
0 = 15𝑥2 + −360
𝑥 = 4.899𝑚 𝐸𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑒𝑠 0.
𝐸𝐼𝑦 = 5𝑥3 − 𝑥360
𝑦 =
(5 ∗ 4.8993 − 360 ∗ 4.899)𝐾𝑁. 𝑚3
200 ∗ 109 𝑁/𝑚2 ∗ 192,6 ∗ 106 𝑚𝑚4 = 0.03053𝑚

7. 2. la vigavoladizade lafigurase somete auna carga vertical de 10KN. E =200GPa e
I=65.106
mm4
.
a) Calcularlapendiente enel extremode A.
RESOLUCION:
∑ 𝑴 𝑪 = 𝟎
−𝑴 𝟏 + 𝟗 ∗ 𝟏. 𝟓 + 𝟏𝟎 ∗ 𝟑 = 𝟎
𝑴 𝟏 = 𝟒𝟑. 𝟓𝑲𝑵. 𝒎
∑ 𝑭 𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆𝒔 = 𝟎
10 + 9 − 𝑅 𝐴 = 0
𝑅 𝐴 = 19𝐾𝑁
𝑅 𝐵 = 0
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 3
∑ 𝑴 𝑪 = 𝟎
−𝑀 −
3𝑥 ∗ 𝑥
2
− 10𝑥 = 0
𝑀 =
−3𝑥2
2
− 10𝑥
𝐸𝐼𝑦´ =
−𝑥3
2
−5𝑥2 + 𝐶1
𝐸𝐼𝑦´ =
−𝑥4
8
−
5𝑥3
3
+ 𝑥𝐶1 + 𝐶2
F=10KN P=9KN
𝑅 𝐴
C
M1
1.5m1.5m 𝑅 𝐵
10KN 3X
C
M
V
Nx/2 x/2
x

8. 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑜𝑡𝑟𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 3 , 𝑦´ = 0 → 0 =
−33
2
−5 ∗ 32 + 𝐶1
𝐶1 = 58.5
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 3 , 𝑦 = 0 → 0 =
−34
8
−
5 ∗ 33
3
+ 3 ∗ 58.5 + 𝐶2
𝐶2 = −79,875
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜 𝐴: 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0
𝐸𝐼𝑦´ =
−𝑥3
2
−5𝑥2 + 𝐶1
𝑦´ =
58.5𝑘𝑁. 𝑚2
200 ∗ 109 𝑁/𝑚2 ∗ 65 ∗ 106 ∗ 10−12 𝑚4
𝑦´ = 4.5 ∗ 10−3 𝑟𝑎𝑑

9. BIBLIOGRAFIA
 Hibbeler, R. C. (2006). Mecánica de materiales. Pearson educación.- deflexión de vigas
y ejes-pag 570-570.
 Hibbeler, R. C. (2006). Mecánica de materiales. Pearson educación. Problema numero
1- pag 582
 Hibbeler, R. C. (2006). Mecánica de materiales. Pearson educación. Problema numero
2 – pag- 586
 http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/deflexiones/teoria%20deflexion/deflexiones.ht
m
 http://ctorrestrj.blogspot.pe/2011/11/deflexion-en-vigas.html
 https://youtu.be/f3RICHVLrk4