Conjuntos laor

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Conjuntos laor

  1. 1. AREA: MATEMÁTICATEMA : TEORÍA DE CONJUNTOSGRADO : PRIMERO DE SECUNDARIA I TRIMESTRE PROF. LUIS ALBERTO OLIDEN ROQUE
  2. 2. ÍNDICEINTRODUCCIÓNRELACIÓN DE PERTENENCIADETERMINACIÓN DE CONJUNTOSDIAGRAMAS DE VENNCONJUNTOS ESPECIALESRELACIONES ENTRE CONJUNTOSCONJUNTOS NUMÉRICOSUNIÓN DE CONJUNTOSINTERSECCIÓN DE CONJUNTOSDIFERENCIA DE CONJUNTOSDIFERENCIA SIMÉTRICACOMPLEMENTO DE UN CONJUNTOPROBLEMAS
  3. 3. En matemáticas el conceptode conjunto es consideradoprimitivo y no se da unadefinición de este, por lo tantola palabra CONJUNTO debeaceptarse lógicamente comoun término no definido.
  4. 4. Un conjunto se puede entender comouna colección o agrupación biendefinida de objetos de cualquier clase.Los objetos que forman un conjuntoson llamados miembros o elementosdel conjunto.Ejemplo:En la figura adjuntatienes un Conjunto dePersonas.
  5. 5. NOTACIÓNTodo conjunto se escribe entre llaves { }y se le denota mediante letrasmayúsculas A, B, C, ...,sus elementos seseparan mediante punto y coma.Ejemplo:El conjunto de las letras del alfabeto; a,b, c, ..., x, y, z. se puede escribir así: L={ a; b; c; ...; x; y; z}
  6. 6. En teoría de conjuntos no se acostumbrarepetir los elementos por ejemplo:El conjunto {x; x; x; y; y; z } simplementeserá { x; y; z }.Al número de elementos que tiene un conjuntoQ se le llama CARDINAL DEL CONJUNTO y sele representa por n(Q).Ejemplo: A= {a;b;c;d;e} su cardinal n(A)= 5 B= {x;x;x;y;y;z} su cardinal n(B)= 3 INDICE
  7. 7. Para indicar que un elemento pertenecea un conjunto se usa el símbolo: ∈Si un elemento no pertenece a unconjunto se usa el símbolo: ∉Ejemplo: Sea M = {2;4;6;8;10}2 ∈ M ...se lee 2 pertenece al conjunto M5 ∉ M ...se lee 5 no pertenece al conjunto M INDICE
  8. 8. Hay dos formas de determinar un conjunto,por Extensión y por ComprensiónI) POR EXTENSIÓNEs aquella forma mediante la cual se indicacada uno de los elementos del conjunto.Ejemplos:A) El conjunto de los números pares mayoresque 5 y menores que 20. A = { 6;8;10;12;14;16;18 } INDICE
  9. 9. B) El conjunto de números naturales imparesmenores que 10. B = {1; 3; 5; 7; 9}II) POR COMPRENSIÓNEs aquella forma mediante la cual se da unapropiedad que caracteriza a todos loselementos del conjunto.Ejemplo: P = { los números dígitos }se puede entender que el conjunto P esta formadopor los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
  10. 10. Otra forma de escribir es: P = { x / x = dígito }se lee “ P es el conjunto formado por loselementos x tal que x es un dígito “Ejemplo:Expresar por extensión y por comprensión elconjunto de días de la semana.Por Extensión : D = { lunes; martes; miércoles;jueves; viernes; sábado; domingo }Por Comprensión : D = { x / x = día de la semana } INDICE
  11. 11. Los diagramas de Venn que se deben alfilósofo inglés John Venn (1834-1883)sirven para representar conjuntos demanera gráfica mediante dibujos ódiagramas que pueden ser círculos,rectángulos, triángulos o cualquier curvacerrada. T MA 7 6 (2;4) (5;8) o 4 8 e a 1 5 i (1;3) (7;6) 3 u 9 2 INDICE
  12. 12. CONJUNTO VACÍOEs un conjunto que no tiene elementos,también se le llama conjunto nulo.Generalmente se le representa por lossímbolos: φ o { }A = φ o A = { } se lee: “A es el conjuntovacío” o “A es el conjunto nulo ”Ejemplos:M = { números mayores que 9 y menoresque 5 } 1P={x/X =0 }
  13. 13. CONJUNTO UNITARIOEs el conjunto que tiene un solo elemento.Ejemplos:F = { x / 2x + 6 = 0 } ; G = { x / x = 4 ∧ x < 0} 2CONJUNTO FINITOEs el conjunto con limitado número deelementos.Ejemplos:E = { x / x es un número impar positivomenor que 10 }N = { x / x2 = 4 }
  14. 14. CONJUNTO INFINITOEs el conjunto con ilimitado número deelementos.Ejemplos:R = { x / x > 6 } ; S = { x / x es un número par }CONJUNTO UNIVERSALEs un conjunto referencial que contiene atodos los elementos de una situaciónparticular, generalmente se le representapor la letra UEjemplo: El universo o conjunto universalde todos los seres vivos. INDICE
  15. 15. INCLUSIÓNUn conjunto A esta incluido en otro conjunto B ,síy sólo sí, todo elemento de A es también elementode BNOTACIÓN : A ⊂ BSe lee : A esta incluido en B, A es subconjunto deB, A esta contenido en B , A es parte de B.REPRESENTACIÓN GRÁFICA : B A
  16. 16. PROPIEDADES:I ) Todo conjunto está incluido en si mismo. A ⊂ AII ) El conjunto vacío se considera incluido encualquier conjunto. φ ⊂ AIII ) A está incluido en B ( A ⊂ B ) equivale a decirque B incluye a A ( B ⊃ A )IV ) Si A no está incluido en B o A no essubconjunto de B significa que por lo menos unelemento de A no pertenece a B. ( A ⊄ B )V ) Simbólicamente: A ⊂ B ⇔ ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B
  17. 17. CONJUNTOS COMPARABLESUn conjunto A es COMPARABLE con otroconjunto B si entre dichos conjuntos existe unarelación de inclusión. A es comparable con B  A B ∨B AEjemplo: A={1;2;3;4;5} y B={2;4} A 1 5 Observa que B está incluido en A ,por lo 4 tanto Ay B son 3 2 COMPARABLES B
  18. 18. IGUALDAD DE CONJUNTOSDos conjuntos son iguales si tienen los mismoselementos.Ejemplo:A = { 3; 5; 8 } y B = { 8; 8; 8; 5; 5; 3; 3; 3 }Como podemos observar tanto el conjunto Acomo el conjunto B tienen los mismoselementos; por lo tanto A=BSimbólicamente : A = B ⇔ (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)
  19. 19. CONJUNTOS DISJUNTOSDos conjuntos son disjuntos cuando no tienenelementos comunes.REPRESENTACIÓN GRÁFICA : Como puedesA 7 9 B 4  observar los conjuntos A y B no 5 1 3 2 6  tienen elementos comunes, por lo  8 tanto son CONJUNTOS DISJUNTOS
  20. 20. CONJUNTO DE CONJUNTOSEs un conjunto cuyos elementos son conjuntos.Ejemplo:F = { {a};{b};{a; b};{a;b;c} }Observa que los elementos del conjunto F tambiénson conjuntos.{a} es un elemento del conjunto F entonces {a} ∈ F ¿ Es correcto decir que {b} ⊂ F ? NOPorque {b} es un elemento del conjunto F ,locorrecto es {b}∈ F
  21. 21. CONJUNTO POTENCIAEl conjunto potencia de un conjunto A denotadopor P(A) o Pot(A) es el conjunto formado portodos los subconjuntos de A.Ejemplo: Sea A = { m;n;p }Los subconjuntos de A son{m},{n},{p}, {m;n}, {m;p}, {n;p}, {m;n;p}, ΦEntonces el conjunto potencia de A es:P(A) = { {m};{n};{p};{m;n};{m;p};{n;p};{m:n;p};Φ }¿ CUÁNTOS ELEMENTOS TIENE EL CONJUNTOPOTENCIA DE A ?
  22. 22. Observa que el conjunto A tiene 3 elementos ysu conjunto potencia osea P(A) tiene 8 Si 5<x<15 y es unelementos. número par entonces B= {6;8;10;12;14}PROPIEDAD: el conjunto Observa que B tiene 5 elementosDado un conjunto A cuyo número de elementos es entonces:n , entonces el número de elementos de su Card P(B)=n P(B)=2 =32conjunto potencia es52n.Ejemplo:Dado el conjunto B ={x / x es un número par y5< x <15 }. Determinar el cardinal de P(B). RESPUESTA INDICE
  23. 23. Números Naturales ( N ) N={1;2;3;4;5;....}Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....}Números Racionales (Q) 1 1 1 4 Q={...;-2;-1; ;0; ; ; 1; − 2 ;2;....} 5 2 3Números Irracionales ( I ) I={...; 2; 3; π ;....}Números Reales ( R )R={...;-2;-1;0;1; 2; 3 ;2;3;....}Números Complejos ( C ) 1 − ;0;1; 2; 3 ;2+3i;3;....}C={...;-2; 2
  24. 24. C R Q Z I N
  25. 25. P={3} EJEMPLOS: Expresar por extensión los siguientes Q={-3;3} conjuntos:A ) P = { x ∈ N / x 2 − 9 = 0} F={}B ) Q = { x ∈ Z / x − 9 = 0} 2C ) F = { x ∈ R / x 2 + 9 = 0} 4 T ={ } 3 {D ) T = x ∈ Q /(3x − 4)(x − 2) = 0}E ) B = { x ∈ I /(3x − 4)(x − 2) = 0} B={ 2 } RESPUESTAS INDICE
  26. 26. El conjunto “A unión B” que se representa así A ∪ Bes el conjunto formado por todos los elementos quepertenecen a A, a B o a ambos conjuntos.Ejemplo: A = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} yB = { 5; 6; 7; 8; 9}A B 1 2 8 7 7 6 6 3 5 5 4 9 A ∪ B = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} A ∪ B = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B}
  27. 27. REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA UNIÓN DE CONJUNTOSSi A y B son no comparables Si A y B son comparables U B U A B A AUB AUB U A BSi A y B sonconjuntos disjuntos
  28. 28. PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS1. A U A = A2. A U B = B U A3. A U Φ = A4. A U U = U5. (A U B) U C =A U(B U C)6. Si A U B=Φ ⇒ A=Φ ∧ B=Φ INDICE
  29. 29. El conjunto “A intersección B” que se representa A ∩ Bes el conjunto formado por todos los elementos quepertenecen a A y pertenecen a B.Ejemplo: A = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} yB = { 5; 6; 7; 8; 9}A 2 B 1 7 7 8 6 6 3 5 5 4 9 A ∩ B = { 5; 6; 7} A ∩ B = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B}
  30. 30. REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOSSi A y B son no comparables Si A y B son comparables U B U A B A A∩B A ∩ B=B U A BSi A y B sonconjuntos disjuntos A ∩ B=Φ
  31. 31. PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS1. A ∩ A = A2. A ∩ B = B ∩ A3. A ∩ Φ = Φ4. A ∩ U = A5. (A ∩ B) ∩ C =A ∩(B ∩ C)6. A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) INDICE
  32. 32. El conjunto “A menos B” que se representa A − Bes el conjunto formado por todos los elementos quepertenecen a A y no pertenecen a B.Ejemplo: A = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} yB = { 5; 6; 7; 8; 9}A 2 B 1 7 7 8 6 6 3 5 5 4 9 A − B = { 1; 2; 3; 4} A − B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B}
  33. 33. El conjunto “B menos A” que se representa B − Aes el conjunto formado por todos los elementos quepertenecen a B y no pertenecen a A.Ejemplo: A = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} yB = { 5; 6; 7; 8; 9}A 2 B 1 7 7 8 6 6 3 5 5 4 9 B − A = { 8; 9} B − A = { x / x ∈ B ∧ x ∉ A}
  34. 34. REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA DIFERENCIA DE CONJUNTOSSi A y B son no comparables Si A y B son comparables U B U A B A A–B A–B U A BSi A y B sonconjuntos disjuntos A–B=A INDICE
  35. 35. El conjunto “A diferencia simétrica B ” que serepresenta A∆B es el conjunto formado por todos loselementos que pertenecen a (A-B) o(B-A).Ejemplo: A = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} yB = { 5; 6; 7; 8; 9}A 2 B 1 7 7 8 6 6 3 5 5 4 9 A∆B = { 1; 2; 3; 4} ∪ { 8; 9} A∆B = { x / x ∈ (A − B) ∨ x ∈ (B − A)}
  36. 36. También es correcto afirmar que: A∆B = (A − B) ∪ (B − A)A B A-B B-A A∆B = (A ∪ B) − (A ∩ B)A B (A U B) (A ∩ B)
  37. 37. Dado un conjunto universal U y un conjuntoA,se llama complemento de A al conjuntoformado por todos los elementos deluniverso que no pertenecen al conjunto A.Notación: A’ o ACSimbólicamente: A = { x / x ∈ U ∧ x ∉ A} A’ = U – AEjemplo:U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9} y A ={1;3; 5; 7; 9}
  38. 38. U A 2 3 8 1 7 A’={2;4;6,8} 5 9 6 4PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO1. (A’)’=A 4. U’=Φ2. A U A’=U 5. Φ’=U3. A ∩ A’=Φ INDICE
  39. 39. PROBLEMA 1PROBLEMA 2PROBLEMA 3FIN
  40. 40. Dados los conjuntos: A = { 1; 4 ;7 ;10 ; ... ;34} B = { 2 ;4;6;...;26} C = { 3; 7;11;15;...;31}a) Expresar B y C por comprensiónb) Calcular: n(B) + n(A)c) Hallar: A ∩ B , C – A SOLUCIÓN
  41. 41. Primero analicemos cada conjuntoLos elementos de A son: tt1tt tt4tt tt7tt tt10tt ... tt34tt { { { { { 1+ 3x0 1+ 3x1 1+ 3x2 1+ 3x3 1+ 3x11 A = { 1+3n / nЄN ∧ 0 n 11} n(A)=12Los elementos de B son: tt2tt tt4tt tt6tt tt8tt ... tt 26tt { { { { { 2x1 2x2 2x3 2x 4 2x13 B = { 2n / nЄN ∧ 1 n 13} n(B)=13
  42. 42. Los elementos de C son: tt3tt tt7tt tt11tt tt15tt ... tt31tt { { { { { 3 + 4x0 3 + 4x1 3 + 4x2 3 + 4x3 3 + 4x7 C = { 3+4n / nЄN ∧ 0 n 7} n(C)=8a) Expresar B y C por comprensión B = { 2n / nЄN ∧ 1 n 18} C = { 3+4n / nЄN ∧ 0 n 7 }b) Calcular: n(B) + n(A) n(B) + n(A) = 13 +12 = 25
  43. 43. c) Hallar: A ∩ B , C – AA = {1;4;7;10;13;16;19;22;25;28;31;34}B = {2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;22;24;26}C = {3;7;11;15;19;23;27;31}Sabemos que A ∩ B esta formado por loselementos comunes de A y B,entonces: A ∩ B = { 4;10;16;22 }Sabemos que C - A esta formado por loselementos de C que no pertenecen a A,entonces: C – A = { 3;11;15;23;27 }
  44. 44. Expresar la región sombreada entérminos de operaciones entre losconjuntos A,B y C. A B C SOLUCIÓN
  45. 45. B A BA [(A ∩ B) – C] A C C B B [(B ∩ C) – A]A C [(A ∩ C) – B] C [(A ∩ B) – C] U [(B ∩ C) – A] U [(A ∩ C) – B]
  46. 46. Según las preferencias de 420personas que ven los canales A, Bo C se observa que 180 ven elcanal A, 240 ven el canal B y 150 noven el canal C, los que ven por lomenos 2 canales son 230¿cuántosven los tres canales? SOLUCIÓN
  47. 47. El universo es: 420Ven el canal A: 180 Ven el canal B: 240No ven el canal C: 150Entonces si ven el canal C: 420 – 150 = 270A B (I) a + e + d + x =180 e (II) b + e + f + x = 240 a b (III) d + c + f + x = 270 x Dato: Ven por lo menos d f dos canales 230 ,entonces: c (IV) d + e + f + x = 230 C
  48. 48. Sabemos que : a+b+c+d+e+f+x =420  230entonces : a+b+c =190Sumamos las ecuaciones (I),(II) y (III) (I) a + e + d + x =180 (II) b + e + f + x = 240 (III) d + c + f + x = 270 a + b + c + 2(d + e + f + x) + x = 690     190 230 190 + 560 + x =690 ⇒ x = 40Esto significa que 40 personas ven los tres canales
  49. 49. Profesor: Luis Alberto Oliden Roque luis_oli21@hotmail.com

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