Trabajo realizado durante el curso de profesionalizacion docente. Centro Regional Ciudad del Este

1. POR:

2. LA IDEA DE CONJUNTO

3. LA IDEA DE CONJUNTO
En el lenguaje matemático, conjunto significa
colección, agrupación , reunión de elementos
Intuitivamente, un conjunto es una colección o clase de objetos
bien definidos. Estos objetos se llaman elementos o miembros
del conjunto.
Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas y los elementos
con letras minúsculas.
Ejemplos:
V={a, e, i, o, u} , P={1, 3, 5, 7, 9}, T=
{m, Lucas, 7, Cali}, Z={0,1,2,...}

4. LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO
Los objetos , las personas, los departamentos o las
ciudades que forman parte de un conjunto se
denomina elementos.
EJEMPLO
Sea el conjunto de las vocales, entonces los elementos
de este conjunto serán: a, b, c, d y e

5. ¿Cómo se pueden definir los conjuntos?
Los conjuntos se pueden definir de dos maneras, a saber
Cuando se expresa una característica común que poseen sus elementos.
Cuando nombra los elementos que compone el conjunto

6. Ejemplos:
Definición de un conjunto por compresión
Puede expresarse de dos maneras:
U = { los departamentos del Paraguay}
U = { x/x es departamentos del Paraguay}
Definición de un conjunto por extensión
U = { Concepción, San Pedro, Cordillera, ……., Boquerón}

7. LA REPRESENTACIÓN DE CONJUNTOS
Un método practico para representar los conjuntos es el llamado Diagrama de
Venn, que consiste en encerrar los elementos del conjunto en una cerrada que
separa la región interior de la exterior. Normalmente, se suele incluir todo en un
rectángulo , que a su vez representa a todos sus elementos
Sea el conjunto C = {x/x es vocal}
En las práctica, muchas veces se expresa el
Diagrama de venn con la curva cerrada sin el
rectángulo exterior

8. LA RELACIÓN DE PERTENENCIA
Entre los elementos y los conjuntos se establece una relación que puede ser de
pertenencia o de no pertenencia. Cuando un elemento forma parte de un
conjunto, es decir pertenece al conjunto, la relación se simboliza con el signo
y cuando no pertenece al conjunto , la relación se simboliza con el signo
p
Alto Paraná Ñeembucú a P
Ñeembucú
Canindeyú
Misiones
Central Concepción a P
Itapúa

9. LA CLASIFICACION DE CONJUNTOS
Los mas frecuentes son:
1- LOS CONJUNTOS NOTABLES

10. Es el conjunto que carece de elementos. El conjunto vacío se denomina con el
símbolo Ø o con llaves sin elemento {}
Ejemplo
N = { x/x es número natural entre 1 y 2}
N=Ø
Utilizando el diagrama de venn, se expresaría
N
Entonces N tiene cero elementos; es
decir; el cardinal de N es cero

11. El aquel que tiene un solo elemento. Si nos fijamos en la edad de María, podemos
formar el siguiente conjunto: B = {27}
Como vemos, la edad de María es el único elemento que pertenece al conjunto B
Una representación en diagrama de venn seria:
S
María
Como vemos María es el único elemento que pertenece al conjunto S

12. Indica el marco de referencia en el que se inserta un determinado conjunto.
De esta manera, podremos expresar si un elemento pertenece a dicho conjunto
Se define el conjunto universal como aquel formado por todos los elementos del
tema de referencia y se simboliza, de manera convencional, con la letra U.
Veamos un ejemplo:
Sea U : el conjunto formado por los meses del año
U = {x/x es mes del año }
EL CONJUNTO U ES EL CONJUNTO REFERENCIAL DEL CONJUNTO P
P = {x/x mes que forma el primer cuatrimestre del año}
P= {enero, febrero, marzo, abril}
Expresando todo esto en diagrama de venn tenemos:
U P Enero Setiembre
Mayo
Febrero Octubre
Junio
Marzo Noviembre
Julio
Abril Diciembre
Agosto

13. 2- LOS CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
Un conjunto es finito si posse un determinado número de elementos, es decir, en el
proceso de contar, tiene un número finito de elementos.
Ejemplo:
P = {x/x es mes del año }
Un conjunto es infinito cuando no se puede determinar el número de elementos
que tiene, es decir, es imposible contar todos los elementos que posee.
Ejemplo:
S = {x/x es un número natural }

14. 3- LOS CONJUNTOS IGUALES
Dos o mas conjuntos que tienen los mismos elementos son iguales
Ejemplo:
P = {a, e, i , o, u }
Q = {e, i, o, a, u }
P y Q son conjuntos iguales, hay que tener en cuenta que el orden de
los elementos no hace que sean desiguales

15. 4- Los conjuntos equivalentes y no
equivalentes
Dos o mas conjuntos son equivalentes cuando tienen la misma cantidad de
elementos y entre ellos se puede establecer una correspondencia biunívoca , o
, sea, uno a uno.
Se simboliza : M J
Se lee : M es equivalente a J
Los conjuntos que no están en correspondencia biunívoca, es decir, cada elementos
de un conjunto no corresponde a un elemento del otro conjunto, no tienen la misma
cantidad de elemento, y por lo tanto se llaman conjuntos no equivalentes
Se simboliza : A C
Se lee: A no es equivalente a C
Veamos lo ejemplos siguientes: mira la relación entre los conjuntos A y C
A = {x/x es edad de María y de Juan } A = {27, 31 }
B = {x/x es vocal } A = {a, e, i , o, u }
Observamos que estos conjuntos no tienen la misma cantidad de
elementos, por tanto no se puede establecer una correspondencia
biunívoca

16. 5- LOS CONJUNTOS DISJUNTOS
Expresamos dos conjuntos por comprensión:
O = {x/x es número par menor que 10}
P = {x/x es número impar menor que 10}
Observamos que ningún elemento de O pertenece al conjunto P y
ningún elemento de P pertenece al conjunto O. Así, concluimos que los
dos conjuntos son disjuntos o disyuntos, puesto que no tienen
elementos comunes.
Representando en diagrama de venn:
U
O P
2 1
4 3
6 5
8 7
9

17. 6- LOS SUBCONJUNTOS
Es un subconjunto de otro cuando todos los elementos de este pertenecen al segundo
Conjunto. Es decir que esta incluido en el segundo conjunto o que el segundo incluye
al primero
Ejemplo:
A = {x/x es número menor que 10}
B = {x/x es número par menor que 10}
Representando en diagrama de venn, tenemos:
A Simbolizamos:
B B A
Se lee B esta incluido o contenido en A
1 3 2 A B
5 7 4 Se lee A incluye o contiene a B
6 9 6 8

18. LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS
Las operaciones entre dos o mas conjuntos permiten determinar nuevos
conjuntos al operar entre ellos.

19. La unión entre dos o más conjuntos es una operación que da como resultado otro
Conjunto formado por todos los elementos de los conjuntos dados.
Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {6, 7, 8, 9}
Ejemplo
U
1 6
2 7
3 8
4 9
5
A B
E l nuevo conjunto expresamos como:
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

20. La intersección de dos conjuntos es una operación que da como resultado un nuevo
Conjunto formado solo por los elementos que pertenecen a ambos conjuntos a la vez
EJEMPLO:
Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {2,4,6,8,}
U A B
1
2
3 8
4 6
5
El nuevo conjunto expresamos como:
A B = { 2, 4}

21. La diferencia entre de dos conjuntos es una operación que da como resultado un nuevo
conjunto formado solo por los elementos que pertenecen al primer conjunto y no
pertenecen al segundo
EJEMPLO:
Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {2,4,6,8,}
U A B
1
2
3 8
4 6
5
El nuevo conjunto expresamos como:
A - B = {1,3,5}

22. Son los elementos que faltan a un conjuntos para ser un conjunto universal, es decir
Aquellos que completan a un cierto conjunto.
EJEMPLO
p
U Sábado
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes Domingo

23. La relación de correspondencia implica establecer un vínculo que sirve de nexo
entre los elementos de distintos conjuntos. Para señalar una correspondencia entre
los elementos de dos conjuntos, es necesario que exista entre ellos una característica o
una propiedad que haga posible la relación.
EJEMPLO
A = { María, Juan} B = {27, 31}
U
María 27
Juan 31
A B

24. Sea los conjuntos:
A = { María, Juan} B = {guaraníes, reales, pesos}
Si ordenamos cada elemento del conjunto A con cada uno de los elementos
del conjunto B, surgen varias agrupaciones de dos elementos:
(María, guaraníes) (María, reales) (María, pesos)
(Juan, guaraníes) (Juan, reales) (Juan , pesos)
Estas agrupaciones son las que denominamos PARES ORDENADOS.

25. Si consideramos dos elementos, en un cierto orden, se dice que forman un par
ordenado. Al primer elementos se denomina PRIMER COMPONENTE y al segundo
elemento SEGUNDO COMPONENTE. Un par ordenado se indica escribiendo el
elemento, encerrados entre paréntesis.
Si se tienen varios pares ordenados, los mismos se separan por punto y coma.
(María, guaraníes)
PRIMER COMPONENTE SEGUNDO COMPONENTE

26. Ahora, si agrupamos dentro de un mismo conjunto los distintos pares
ordenados, obtenemos el conjunto A x B
A x B = {(María, guaraníes);(María, reales);(María, pesos);(Juan, guaraníes)
;(Juan, reales);(Juan , pesos) }
El conjunto formado por todos los pares ordenados
posibles es el producto cartesiano
El producto cartesiano de dos conjuntos (A x B) es el
conjunto de todos los pares ordenados tales que el primer
componente pertenezca al conjunto A y el segundo
componente al conjunto B

27. Existen varias maneras de graficar el producto cartesiano, veamos:
1- EL DIAGRAMA DE VENN
A B
x
Guaraníes
María
Reales
Juan
Pesos
E l signo del producto cartesiano es X
El producto cartesiano A x B, se lee “Producto cartesiano de A por B”

28. 2- EL GRAFICO CARTESIANO
Se pueden representar utilizando un sistema de ejes coordenadas:
Guaraníes …………(M, g)…………… …(J, g)…………
Real ………….(M, r)………………..(J, r)………..
peso …………..(M, p)……………….(J, p)……….
O María Juan

29. 3- EL DIAGRAMA DE ÁRBOL
A modo de esquema, se realiza un grafico en el que se relacionan los elementos
guaraníes
pesos
M
reales
AxB guaraníes
J pesos
reales

30. 4- LA TABLA DE DOBLE ENTRADA
Se representa en las filas los elementos del conjunto A y en las columnas, los elementos
del conjunto B
B
A
Guaraníes Pesos Reales
María (M, g) (M, p) (M, r)
Juan (J, g) (J, p) (J, r)