Este documento presenta los detalles de una evaluación de la asignatura Teoría Electromagnética I impartida en la Escuela Superior Politécnica del Litoral. Incluye tres problemas relacionados con conceptos electromagnéticos como capacitores, campos eléctricos entre esferas concéntricas y cables coaxiales. El resumen proporciona la solución a cada problema en uno o dos pasos.

1. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
POLITÉCNICA
LITORAL
TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA I
ELECTROMAGNÉTICA
ING. JORGE FLORES MACÍAS
(
ING. ALBERTO TAMA FRANCO
(  )
ING. FERNANDO VÁSQUEZ VERA
(
PRIMERA EVALUACIÓN
PRIMER
Alumno:
)
)
Fecha: mart 03 de diciembre del 2013
martes
d
embre
20
________________________________________________________________________________
Resumen de Calificaciones
Estudiante
Examen
Deberes
Lecciones
Ing. Alberto Tama Franco
Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I
FIEC-ESPOL
FIEC ESPOL – 2013 – 2S
13
Total Primera
Evaluación

2. Primer Tema (30%):
Un capacitor de placas planas paralelas de área=S, tiene una placa aterrizada. La placa
no aterrizada tiene una carga Q , cuyo valor se desconoce. Si de las condiciones iniciales
de potencial y distancia, se aleja la placa no aterrizada una distancia d , se observa un
incremento en la diferencia de potencial de V . Calcular: a) el valor de la carga eléctrica
Q ; y, b) el campo eléctrico E antes y después de alejar la placa no aterrizada.
Vamos a definir, aunque se desconocen dichos
valores, lo siguiente:
y
Q?
S
d  distancia entre placas
V  diferencia de potencial entre placas
C1  capacitancia en condiciones iniciales
C2  capacitancia en condiciones finales
0S Q

d
V

Q
0S
Q

d  d V  d

Q
C1 
0
C2 
x
 0 SV
d
 0 S V  d 
d  d
 0 SV  0 S V  V 

d
d  d
V V  V

d d  d

V  d  d   V  V  d
Vd  V d  Vd  Vd
En virtud de que Q 

 d 
V  V 

 d 
 d 
 S
 0 SV
V
; entonces: Q  0 V 
 , obteniéndose que: Q   0 S
d
d
d
 d 
En condiciones iniciales; es decir antes de alejar la placa no aterrizada, se tendría que:
 d 
V 

V
 d 
E1  
d
d

E1 
V
d
En condiciones finales; es decir después de alejar la placa no aterrizada, se tendría que:
 d 
V 
  V
V  V
 d 
E2 

d  d
d  d

E2 
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V
d

3. Segundo Tema (35%):
El espacio entre dos cascarones conductores esféricos concéntricos, de radios a y b ,
donde b  a , está lleno con una carga distribuida volumétricamente de densidad
  A / r 2 C / m3  para a  r  b , donde A es una constante. El cascarón interior se


encuentra a un potencial V0 y el cascarón exterior está puesto a tierra. Calcular::
a) La función de potencial en la región a  r  b .
b) El campo eléctrico en la región a  r  b .
c) La carga total que se encuentra en el cascarón interior.
b
E  a  r b 
r
dl
V0
a

A
r2
 2 
 2  
1   2  
1
 
 
1
 2
r
 2
 sen
 2
  r sen 2  2
r 2 r  r  r sen  

, donde   f (r ) , constante con respecto a  y  . Por lo cual:

1   2  
A
r
 2
2
r r  r 
 0r
r2

A
 rB
r
0


 a  r  b  
 (r  a )  V0 ;  (r  b)  0
  2  
A
r

r  r 
0

A B


r
 0r r 2
A
B
lnr   C
0
r

A
B

V0   lna   C

0
a


0   A lnb  B  C

0
b

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4. V0  
A
B A
B
lna   lnb+
0
a 0
b

ba A b
B
  ln    V0
 ab   0  a 

V0 
A b
1 1
ln    B   
0  a 
a b
 A b

ab  ln    V0 
 a

B  0
ba
 A b

a  ln    V0 
 a
  A lnb
C  0
ba
0
 A b

 A b

ab  ln    V0  a  ln    V0 
 a
A
  0  a 
  A lnb
  a  r  b    lnr   0
0
ba
0
b  a  r
 A b

a  ln    V0 
 a
A b
  b  1
  a  r  b   ln     0


0  r 
ba
r 
 
  1  
1  
r 
 

r
r 
rsen 
 
1 
1  
E  
r 
 
 
r 
rsen  
 r

y
E   
E a  r  b  

 A b

ab  ln    V0  

 a
 A

E a  r  b  
  0
 r
2
b  a  r
 0r





D  a  r  b  0 E  a  r  b



b
ab  Aln     0V0  

A
a

D a  r  b    
 r
2
b  a  r
r





Dsale  Dhinca   libre

 libre r a  Dsale r a
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  a  r  b 
r
r

5.  libre r  a  D  a  r  b  r  a
 libre r  a


b
ab  Aln     0V0 
A
a

  
2
a
b  a  a
Q  r  a    libre r  a A  r  a 


b
ab  Aln     0V0 
A
a
 4 a 2
Q  r  a   4 a 2  
2
a
b  a  a


b
4 ab  Aln     0V0 
a


Q  r  a   4 aA 
b  a 
Q r  a 
4 ab  b  a

b
 A b  Aln  a    0V0 
ba 
 

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6. Tercer Tema (35%):
Un cable coaxial tiene dos capas de dieléctricos, tal como se muestra en la figura. Los
datos de la permitividad y la rigidez dieléctrica de cada dieléctrico se encuentran
especificados en la tabla que se muestra a continuación. Si el campo eléctrico máximo que
soporta cada dieléctrico no puede ser mayor al 50% de su rigidez dielétrica, ¿Cuál es el
voltaje máximo al que debe conectarse este cable?
Tomando, en primer lugar, una superficie
gaussiana que cumpla con la condición de
que a  r  b , se tiene que:
D2  b
c

r
D1 (a  r  b)  dS = QNETA a  r b   Q  r  a 

c
| D1 ( a  r  b ) | 2 rl  Q ( r  a )
b
2
1
| D1 (a  r  b) |
a
Q(r  a)
2 rl
De la misma manera y tomando una
superficie gaussiana que cumpla con la
condición de que b  r  c , se tendría que:
D1  a  r  b 
| D2 (b  r  c) |
Q(r  a )
2 rl
Dieléctrico
1
2
Permitividad 
4 0
2 0
 F / m
Rigidez dieléctrica
10
12
 MV / m
a  3  cm
b  5  cm
c  7  cm
A partir de los cuales, se obtendrían las respectivas intensidades de campo eléctrico en
cada dieléctrico, es decir:
E1 (a  r  b) 
Q(r  a)
21rl

E1 (a  r  b) 
Q(r  a )
r
21rl
E2 (b  r  c) 
Q(r  a )
2 2 rl

E2 (b  r  c) 
Q(r  a )
r
2 2 rl
A continuación, procederemos a determinar la relación de la diferencia de potencial entre
las placas; por lo cual se tendría lo siguiente:

        E  dl

b
a
V0   a  c    E 2  b  r  c   dl   E1  a  r  b   dl
c
b
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7. b
a
V0    E 2  b  r  c 
 dr  cos 180
o
c
  E1  a  r  b 
 dr  cos 180o
b
b
a
V0    E2  b  r  c  dr   E1  a  r  b  dr
c
b
b
a
Q(r  a)
Q (r  a )
Q (r  a )  c  Q (r  a )  b 
dr  
dr 
ln   
ln  
2 2 rl
21rl
2 2l
21l
b
a
c
b
V0   
b
a
Q(r  a)
Q (r  a )
Q (r  a )  c  Q (r  a )  b 
V0   
dr  
dr 
ln   
ln  
2 2 rl
21rl
2 2l
21l
b
a
c
b
Q(r  a) 
E1 (a  r  b) 
E 2 (b  r  c) 
V0
 c
 b 
 ln  b  ln  a  
21rl       
21l 
 2 2l




V0
 c
 b 
 ln  b  ln  a  
2 2 rl       
21l 
 2 2l




V0
c
b
ln   ln  
b  a
2 2l
21l

E1 ( a  r  b) 

E 2 (b  r  a ) 
V0
 c
 b 
 ln  b  ln  a  
 r1        r
 r1 
 r2




V0
 c
 b 
 ln  b  ln  a  
r2        r
 r1 
 r2




Según el enunciado del problema, se tendrían las siguientes condiciones:
E1 (a  r  b) máx  0.50 K1
E2 (b  r  c) máx  0.50 K 2
Las intensidades de campo eléctrico máximas, en los dieléctricos 1 y 2, ocurren en r  a y
r  b , respectivamente. Por lo cual, para cada material dieléctrico, se debería cumplir lo
siguiente:
V0
 c
 b 
 ln  b  ln  a  
 r1        a
 r1 
 r2




 0.50 K1

 c
 b 
 ln  b  ln  a  
V0  0.50 K1 r1a       
 r1 
 r2




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8. V0
 c
 b 
 ln  b  ln  a  
r2        b
 r1 
 r2




 0.50 K 2

 c
 b 
 ln  b  ln  a  
V0  0.50 K 2 r 2b       
 r1 
 r2




Al reemplazar los valores proporcionados en el enunciado del presente problema, se
tendría entonces que:
 7
 5 
 ln  5  ln  3  
Para el dieléctrico 1: V0  0.50 10  4   3 102        
4 
 2




 7
 5 
 ln  5  ln  3  
Para el dieléctrico 2 : V0  0.50 12  2   5 102        
4 
 2




Al efectuar la evaluación, para ambos materiales dieléctricos se obtiene la siguiente
relación:
V0  0.1776  MV 
De lo cual se concluye, que para cumplir con las restricciones del problema, el voltaje
máximo, a que debe ser conectado dicho conductor, debe ser de 177.6  kV  .
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