El documento presenta los cálculos para determinar el máximo voltaje de ruptura que puede soportar un capacitor coaxial formado por conductores cilíndricos. Se determina que el máximo campo eléctrico ocurre cuando el radio interno es 2.57 mm. Usando esta información y las características del material dieléctrico, se calcula que el máximo voltaje de ruptura es 51.5 kV.

1. Ing. Alberto Tama Franco
Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I
FIEC-ESPOL – 2014 – 1S
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA I
ING. JORGE FLORES MACÍAS ( )
ING. ALBERTO TAMA FRANCO ( )
PRIMERA EVALUACIÓN Fecha: martes 1º. de julio del 2014
Alumno: ________________________________________________________________________________
Resumen de Calificaciones
Estudiante Examen Deberes Lecciones
Total Primera
Evaluación

2. Ing. Alberto Tama Franco
Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I
FIEC-ESPOL – 2014 – 1S
Primer Tema:
Tal como se muestra en la siguiente figura, el espacio entre los conductores de un
capacitor cilíndrico coxial, de radio interior a y exterior b , donde b a> , se encuentra
ocupado por poliestireno (material dieléctrico), cuya permitividad absoluta y fortaleza
dieléctrica se especifican en la tabla que se muestra a continuación.
a) Determinar el valor de a que permita obtener el máximo voltaje 0V a ser aplicado.
b) Obtener el máximo voltaje 0V (voltaje de ruptura) que puede soportar el mencionado
capacitor antes de que se produzca el daño al dieléctrico del mismo.
c) Esquematizar el comportamiento del voltaje 0V versus el radio a .
b
oV
ε
( )a r b< ≤D
a
Dieléctrico
Permitividad ε [ ]02.56 /F mε
Fortaleza dieléctrica [ ]20 /K MV m=
[ ]? 7a b mm= =
( ) ( )a r b d Q r a
→
< ≤ ⋅ = =∫⊙
D S
( ) ( )2a r b rl Q r aπ< ≤ = =D
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2
a r bQ r a Q r a
a r b a r b
rl rlπ ε πε
< ≤= =
< ≤ = ⇒ < ≤ = =
D
D E
( )
( )
( )180 180
2
a a
o o
o
b b
Q r a
V a r b d cos dr cos
rlπε
=
= − < ≤ = − −∫ ∫E l
( )
( )
( )
( )180 /
2 2
a
o
o
b
Q r a Q r a
V dr cos ln b a
rl lπε πε
= =
= − − =∫
( )
( ) ( )
( )
2
/
2 /
o
o
Q r a lV
V ln b a Q r a
l ln b a
πε
πε
=
= ⇒ = =
( )
( )
2
2
l
Q r a
a r b
rl
πε
πε
=
< ≤ = =E
( )/
2
oV
ln b a
lπε r
( )
( )/
oV
a r b
r ln b a
< ≤ =E

3. El valor máximo de campo
menor, es decir en
a mm
El valor máximo de campo
menor, es decir en
[a mm
0.063
0.125
0.250
0.500
1.000
1.500
2.000
2.500
2.571
3.000
3.500
4.000
4.500
5.000
5.500
6.000
6.500
7.000
El valor máximo de campo
menor, es decir en
a mm
0.063
0.125
0.250
0.500
1.000
1.500
2.000
2.500
2.571
3.000
3.500
4.000
4.500
5.000
5.500
6.000
6.500
7.000
El valor máximo de campo
menor, es decir en
]a mm
0.063
0.125
0.250
0.500
1.000
1.500
2.000
2.500
2.571
3.000
3.500
4.000
4.500
5.000
5.500
6.000
6.500
7.000
El valor máximo de campo
menor, es decir en
V aK ln b a V aK V kV
El valor máximo de campo
menor, es decir en
E
a)
0 0 0máx máx máxV aK ln b a V aK V kV
0V kV
5.898
10.063
16.661
26.391
38.918
46.213
50.111
51.481
51.503
50.838
48.520
44.769
39.765
33.647
26.528
18.498
9.634
0.000
El valor máximo de campo
menor, es decir en
(a r b K k V aK ln b aE
dV
da da
a) a b e b a b a mm
b)
0 0 0máx máx máxV aK ln b a V aK V kV=
[0V kV
5.898
10.063
16.661
26.391
38.918
46.213
50.111
51.481
51.503
50.838
48.520
44.769
39.765
33.647
26.528
18.498
9.634
0.000
El valor máximo de campo
menor, es decir en r a
a r b K k V aK ln b a< ≤ = = =
0dV
da da
a b e b a b a mm= =
b)
0 0 0máx máx máxV aK ln b a V aK V kV=
]V kV
5.898
10.063
16.661
26.391
38.918
46.213
50.111
51.481
51.503
50.838
48.520
44.769
39.765
33.647
26.528
18.498
9.634
0.000
El valor máximo de campo
r a=
a r b K k V aK ln b a< ≤ = = =
0dV
da da
= =
/ 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm= =
El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por:
0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV=
]V kV
10.063
16.661
26.391
38.918
46.213
50.111
51.481
51.503
50.838
48.520
44.769
39.765
33.647
26.528
18.498
Profesor
El valor máximo de campo
r a= , por lo tanto:
)a r b K k V aK ln b a< ≤ = = =
d
da da
= =
K ln b a ln b a
/ 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm= =
El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por:
0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV
Profesor
El valor máximo de campo eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el
r a , por lo tanto:
)máx
a r b K k V aK ln b a< ≤ = = =
d
aK ln b a K ln b a
da da
= =      
K ln b a ln b a  
/ 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm= =
El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por:
(0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV
Profesor
eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el
, por lo tanto:
máx
a r b K k V aK ln b a< ≤ = = =
/ 0 / 1 0aK ln b a K ln b a= =      
(K ln b a ln b a  
/ 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm
El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por:
)0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV
Ing.
Profesor de la Materia
FIEC
eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el
, por lo tanto:
a r b K k V aK ln b a< ≤ = = =
V V a aK ln b a
/ 0 / 1 0aK ln b a K ln b a= =      
( / 1 0 / 1K ln b a ln b a  
/ 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm
El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por:
)0 0 0/ 51.5máx máx máxa b e
V aK ln b a V aK V kV=
Ing.
de la Materia
FIEC
eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el
, por lo tanto:
a r b K k V aK ln b a< ≤ = = =
0V V a aK ln b a= =
( / 0 / 1 0aK ln b a K ln b a= =      
)/ 1 0 / 1K ln b a ln b a− =  
/ 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm
El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por:
0 0 0/
/ 51.5máx máx máxa b e
V aK ln b a V aK V kV=
Ing. Alberto Tama Franco
de la Materia
FIEC-ESPOL
eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el
, por lo tanto:
/
a r b K k V aK ln b a
a ln b a
< ≤ = = =
ruptV V a aK ln b a= =
)/ 0 / 1 0aK ln b a K ln b a= =      
/ 1 0 / 1K ln b a ln b a− =  
/ 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm⇒
El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por:
0 0 0/ 51.5máx máx máxa b e
V aK ln b a V aK V kV
Alberto Tama Franco
de la Materia
ESPOL
eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el
( /
OV
a r b K k V aK ln b a
a ln b a
< ≤ = = =
ruptV V a aK ln b a= =
)/ 0 / 1 0aK ln b a K ln b a= =      
/ 1 0 / 1K ln b a ln b a− =  
/ 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm⇒
El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por:
0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV⇒
Alberto Tama Franco
de la Materia Teoría Electromagnética I
ESPOL
eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el
/
OV
a r b K k V aK ln b a
a ln b a
< ≤ = = =
( )ruptV V a aK ln b a= =
/ 0 / 1 0aK ln b a K ln b a= =      
/ 1 0 / 1K ln b a ln b a− =
/ 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm
El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por:
0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV⇒
Alberto Tama Franco
Teoría Electromagnética I
ESPOL – 20
eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el
)/
a r b K k V aK ln b a
a ln b a
< ≤ = = =
)V V a aK ln b a= =
/ 0 / 1 0aK ln b a K ln b a      
/ 1 0 / 1K ln b a ln b a⇒
/ 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm=
El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por:
0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV
Alberto Tama Franco
Teoría Electromagnética I
2014
eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el
a r b K k V aK ln b a< ≤ = = =
V V a aK ln b a= =
/ 0 / 1 0aK ln b a K ln b a⇒      
/ 1 0 / 1K ln b a ln b a⇒
/ 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm=
El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por:
0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV
Alberto Tama Franco
Teoría Electromagnética I
14 –
eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el
/a r b K k V aK ln b a< ≤ = = =
/V V a aK ln b a
/ 0 / 1 0aK ln b a K ln b a⇒      
/ 1 0 / 1K ln b a ln b a⇒
/ 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm
El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por:
0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV=
Alberto Tama Franco
Teoría Electromagnética I
1S
eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el
/a r b K k V aK ln b a⇒
( /V V a aK ln b a
/ 0 / 1 0aK ln b a K ln b a      
(/ 1 0 / 1K ln b a ln b a
/ 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm
El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por:
0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV=
Alberto Tama Franco
Teoría Electromagnética I
eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el
/a r b K k V aK ln b a⇒
/V V a aK ln b a
/ 0 / 1 0aK ln b a K ln b a      
(/ 1 0 / 1K ln b a ln b a
/ 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm
El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por:
0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV
Teoría Electromagnética I
eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el
/a r b K k V aK ln b a
)/V V a aK ln b a
(/ 0 / 1 0aK ln b a K ln b a      
)/ 1 0 / 1K ln b a ln b a
/ 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm⇒
El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por:
0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV⇒
Teoría Electromagnética I
eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el
/oa r b K k V aK ln b a=
/ 0 / 1 0aK ln b a K ln b a      
/ 1 0 / 1K ln b a ln b a =
/ 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm⇒
El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por:
0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV⇒
Teoría Electromagnética I
eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el
/a r b K k V aK ln b a=
)/ 0 / 1 0aK ln b a K ln b a − =      
/ 1 0 / 1=
/ 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm=
El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por:
0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV
eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el
/a r b K k V aK ln b a
/ 0 / 1 0− =      
/ 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm=
El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por:
0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV
eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el
( /a r b K k V aK ln b a
/ 0 / 1 0− =      
/ 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm=
El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por:
/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV=
eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el
( /a r b K k V aK ln b a
/ 0 / 1 0− =
[/ 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm
El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por:
/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV=
eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el
)/a r b K k V aK ln b a
[/ 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm
El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por:
/ 51.5V aK ln b a V aK V kV
eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el
a r b K k V aK ln b a
]a b e b a b a mm
[/ 51.5V aK ln b a V aK V kV
eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el
[/ 51.5V aK ln b a V aK V kV
eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el
]V aK ln b a V aK V kV
eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es eleléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el

4. Ing. Alberto Tama Franco
Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I
FIEC-ESPOL – 2014 – 1S
Segundo Tema:
En el espacio vacío, considere la existencia de tres conductores esféricos concéntricos, tal
como se muestra en la siguiente figura. Asuma que las cargas eléctricas, contenidas en la
esfera de radio a y en la concha esférica externa, de radio interior d y exterior e , tienen
un valor de 1Q y 3Q , respectivamente; y que sus respectivos potenciales son iguales; es
decir que 1 3V V= . Bajo estas circunstancias:
a) Determinar la carga eléctrica 2Q de la concha esférica interior; es decir, de la
concha esférica de radio interior b y exterior c .
b) Hallar el potencial eléctrico 1V de la esfera de radio a .
c) Encontrar el potencial eléctrico 2V de la concha esférica interior; es decir, de la
concha esférica de radio interior b y exterior c .
[ ]30a mm= [ ]50b mm=
[ ]60c mm= [ ]90d mm=
[ ]100e mm=
[ ]1 2Q nC= [ ]3 2Q nC= −
1 3V V=
2 1 2? ? ?Q V V= = =
( ) 0r a≤ =E ( ) 1
2
04
Q
a r b
rπε
< ≤ =E ( ) 0b r c< ≤ =E
( ) 1 2
2
04
Q Q
c r d
rπε
+
< ≤ =E ( ) 0d r e< ≤ =E ( ) 1 2 3
2
04
Q Q Q
r e
rπε
+ +
> =E
dϕ ϕ
+
+ −
−
− = − ⋅∫E l
( ) ( ) ( )1 3 0
c b a
d c b
V V c r d d b r c d a r b d− = = − < ≤ ⋅ − < ≤ ⋅ − < ≤ ⋅∫ ∫ ∫E l E l E l
( ) ( )0 180 180
c b
o o
d c
c r d d cos b r c d cos= − < ≤ − < ≤∫ ∫E l E l
b
c
d
a
e

5. Ing. Alberto Tama Franco
Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I
FIEC-ESPOL – 2014 – 1S
( ) ( ) ( ) ( )0 180 180
c b
o o
d c
c r d dr cos b r c dr cos= − < ≤ − − < ≤ −∫ ∫E E
1 2 1 1 2 1
2 2
0 0 0 0
1 1
0
4 4 4 4
c ac b
d bd c
Q Q Q Q Q Q
dr dr
r r r rπε πε πε πε
+ +
= − − = +∫ ∫
1 2 1
0 0
0
4 4
Q Q Qd c b a
cd abπε πε
+ − −   
= +   
   
( )
( )
( )
( )
[ ]2 1 2
60 90 50 30
1 2 1
30 50 90 60
cd b a
Q Q Q nC
ab d c
   − × −
= − + ⇒ = − +   
− × −   
( ) [ ] [ ]2 22 1 2.4 6.8Q nC Q nC= − + ⇒ = −
( ) ( ) ( ) ( )1 3 180 180
e
o o
e e
V V r e d r e d cos r e dr cos
∞ ∞
∞
= = − > ⋅ = − > = − >∫ ∫ ∫E l E l E
1 2 3 1 2 3
1 3 2
0 0
1
4 4e e
Q Q Q Q Q Q
V V dr
r rπε πε
∞∞
+ + + +  
= = = − 
 
∫
( ) 9
91 2 3
1 3 1 3 3
0
2 6.8 2 10
9 10
4 100 10
Q Q Q
V V V V
eπε
−
−
− − ×+ +
= = ⇒ = = ×
×
[ ]1 3 612V V V= = −
( ) ( ) ( )2
e d c
e d
V r e d d r e d c r d d
∞
= − > ⋅ − < ≤ ⋅ − < ≤ ⋅∫ ∫ ∫E l E l E l
Como ( )3
e
V r e d
∞
= − > ⋅∫E l , entonces se tendría lo siguiente:
( ) ( )2 3 3 180
c c
o
d d
V V c r d d V c r d d cos= − < ≤ ⋅ = − < ≤∫ ∫E l E l
( ) ( ) 1 2
2 3 3 2
0
180
4
c c
o
d d
Q Q
V V c r d dr cos V dr
rπε
+
= − < ≤ − = −∫ ∫E
1 2 1 2
2 3 3
0 0
1 1
4 4
c c
d d
Q Q Q Q
V V V
r rπε πε
+ +   
= − − = +   
   

6. Ing. Alberto Tama Franco
Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I
FIEC-ESPOL – 2014 – 1S
1 2
2 3
04
Q Q d c
V V
cdπε
+ − 
= +  
 
( )
( ) 3
9 9
2 6
90 60 10
612 9 10 2 6.8 10
60 90 10
V
−
−
−
 − ×
= − + × × − ×  
× × 
[ ]2 852V V= −

7. Ing. Alberto Tama Franco
Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I
FIEC-ESPOL – 2014 – 1S
Tercer Tema:
Un capacitor esférico con electrodos de radios “a” y “b”, donde b>a, es llenado con un
dieléctrico no homogéneo cuya permitividad ( )rε es una función de la distancia “r” medida
desde el centro del capacitor. Dado que la permitividad sobre el electrodo interno tiene un
valor de aε determine entonces:
a) ( )rε de tal manera que la intensidad del campo eléctrico sea la misma en todos los
puntos.
b) Represente el comportamiento de dicha permitividad, graficando ( )r vs rε .
c) Obtenga la expresión de la capacitancia de dicho capacitor y las distribuciones de
cargas de polarización.
b
ε
( )a r b< ≤D
a
( )a r b< ≤E
Para la solución del presente problema, se asumirá
que la placa de radio a se encuentra a un potencial
eléctrico por encima del potencial eléctrico al que se
encuentra la placa de radio b.
( ) ( ) ( )a r b d Q a r b Q r a
→
< ≤ ⋅ = < ≤ = =∫⊙
D S
( ) ( )2
4a r b r Q r aπ< ≤ = =D
( )
( )
2
4
Q r a
a r b
rπ
=
< ≤ =D
( )
( ) ( )
2
4
a r b Q r a
a r b
rε πε
< ≤ =
< ≤ = =
D
E
Para que la intensidad de campo eléctrico sea la misma en todos los puntos, la
permitividad del dieléctrico debe tener la siguiente forma 2
( ) /r k rε = ; y, como además se
conoce que ( ) ar aε ε= = , se tendría entonces que 2
ak aε= . A partir de lo cual, la
permitividad del dieléctrico no homogéneo, estaría dada por la siguiente expresión:
2
2
( ) aa
r
r
ε
ε = ⇒
( )
2
( )
4
r
a
Q r a
a r b
aπε
=
< ≤ =E µµµµ
( )rε
r
a b0
aε
2
2
aa
b
ε

8. Ing. Alberto Tama Franco
Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I
FIEC-ESPOL – 2014 – 1S
( )
( )
( )2
180 180
4
b a a
o o
aa b b
Q r a
d a r b d cos dr cos
a
ϕ ϕ ϕ
πε+ −
=
− = ∆ = − ⋅ = − < ≤ = − −∫ ∫ ∫E l E l
( ) ( )
( )2 2
4 4
a
a ab
Q r a Q r a
dr b a
a a
ϕ
πε πε
= =
∆ = − = −∫
( ) 2
4 a
SISTEMA SISTEMA
Q r a a
C C
b a
πε
ϕ
=
= ⇒ =
∆ −
( )
( ) ( )
2
4
a r b Q r a
a r b
rε πε
< ≤ =
< ≤ = =
D
E
Asumiendo que se conoce el hecho de que dicho sistema se encuentra a una diferencia de
potencial de 0V entre placas, se tendría lo siguiente:
( )
2
04 aa V
Q r a
b a
πε
= =
−
( )
2
0
0
2 2
4
( ) ( ) ( )
4 4
a
r r r
a a
a V
Q r a Vb aa r b a r b a r b
a a b a
πε
πε πε
= −< ≤ = ⇒ < ≤ = ⇒ < ≤ =
−
E E Eµ µ µµ µ µµ µ µµ µ µ
( )
2
0
0 02
( ) ( ) ( ) a
r
a V
a r b r a r b a r b
r b a
ε
ε ε ε
 
< ≤ = − < ≤ ⇒ < ≤ = −     − 
P E P µµµµ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
0P ar a r a
V
r a r a a r b a r b
b a
σ ε ε= =
= = = ⋅ < ≤ = − < ≤ = − −
−
n P P
( ) ( ) ( ) ( )
2
0
02
a
P r b r b
a V
r b r b a r b a r b
b b a
ε
σ ε= =
 
= = = ⋅ < ≤ = + < ≤ = − 
− 
n P P
( ) ( )P a r b a r bρ < ≤ = −∇ ⋅ < ≤P
( ) ( )2
2
1 1 1
r
P
r P P sen
r r r sen r sen
φ
θ θ
θ θ θ φ
∂∂ ∂
∇⋅ = + +
∂ ∂ ∂
P
( ) ( )
2
2 2 0
02 2 2
1 1 a
P r
a V
a r b r P r
r r r r r b a
ε
ρ ε
  ∂ ∂
< ≤ = − = − −  
∂ ∂ −  
( )
( )
0 02
P
V
a r b
r b a
ε
ρ < ≤ =
−

9. Ing. Alberto Tama Franco
Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I
FIEC-ESPOL – 2014 – 1S
Verificación: Procederemos a determinar el valor de la carga total de polarización en el
dieléctrico. Toda vez que las cargas de polarización son cargas ficticias, el valor de la
carga total de polarización del dieléctrico debe ser idéntico a cero.
Total de polarización Total superficial de polarización Total volumétrica de polarizaciónQ Q Q= +
( ) ( )' "Total de polarización P s P s
Sup Vol
Q dA dVσ ρ= +∫ ∫
En virtud de que las densidades de carga superficiales de polarización son constantes; es
decir, uniformemente distribuidas, se tendría lo siguiente:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )Total de polarización P Pr a r a r b r b P a r b
V
Q A A dVσ σ ρ= = = = < ≤
= + + ∫
( )
2
2 2 20 0 0 0
0 02
2
4 4 4
b
a
Total de polarización a
a
V a V V
Q a b r dr
b a b b a b a
ε ε
ε ε π ε π π
 
= − − + − + 
− − − 
∫
( ) ( )2 2 2 20 0 0 04 4
0Total de polarización
V V
Q b a b a
b a b a
πε πε
= − − + − =
− −
( )0 . . .Total de polarizaciónQ l q q d=