1. Ing. Alberto Tama Franco
Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I
FIEC-ESPOL – 2014 – 1S
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA I
ING. OTTO ALVARADO MORENO ( )
ING. JORGE FLORES MACÍAS ( )
ING. ALBERTO TAMA FRANCO ( )
SEGUNDA EVALUACIÓN Fecha: martes 24 de febrero del 2015
Alumno: ________________________________________________________________________________
Resumen de Calificaciones
Estudiante Examen Deberes Lecciones
Total Segunda
Evaluación

2. Ing. Alberto Tama Franco
Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I
FIEC-ESPOL – 2014 – 1S
Primer Tema (30%):
Un núcleo toroidal cuya sección transversal tiene un área Am = 5 [cm2
] y cuya longitud
media de es lm = 100 [cm], está hecho de un material ferromagnético que tiene una curva
inicial idealizada de magnetización, tal como se muestra en la figura. Sobre este núcleo,
se enrolla una bobina de N = 1000 espiras y resistencia R = 50 [Ω], la misma que se
encuentra conectada a una batería cuya EEEE = 200 [V]. Considerando la existencia de un
entrehierro de longitud lo= 4 [mm], ignorando el flujo de dispersión, y, asumiendo que el
núcleo no estuvo magnetizado previamente, determinar con exactitud la densidad de flujo
magnético existente en el entrehierro y el flujo magnético correspondiente.
En virtud de que el material ferromagnético con que está construido el núcleo del circuito
magnético en referencia es lineal y no homogéneo, se procederá a aplicar la Ley de
Ampère Generalizada Aproximada y sus relaciones; es decir, lo siguiente:
( ) ( )k kc
k
H dl NI LAGI H l NI LAGA⋅ = → =∑∫
( ) ( )=0
B vs H
k k k k k k o o o
k
B A B H interpolación B H entrehierrosµΦ = ↔ Φ =∑
[ ]
200
4
50
I I A
R
= = ⇒ =
EEEE
0 0k k m m
k
H l NI H l H l NI= ⇒ + =∑
En virtud de que los materiales se encuentran en serie, en relación al flujo magnético, se
debe cumplir lo siguiente:
0m m mB AΦ = Φ ⇒ 0 0B A= 0
0 0
0 0
m
m
B B
B B H
µ µ
⇒ = ⇒ = =
0 0 0
0
m
m m m m
B
H l H l NI H l l NI
µ
+ = ⇒ + =
I
I
[ ]= 200 VEEEE
=1,000N [ ]50R = Ω
,m ml A
0 0,l A
[ ]/H kA m
[ ]B T
1 2 3 4 5
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0

3. Ing. Alberto Tama Franco
Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I
FIEC-ESPOL – 2014 – 1S
0 0
0 0
m
m m
l
B H NI
l l
µ µ
= − +
( )( ) ( )( )7 7
3 3
4 10 1 4 10 4,000
4 10 4 10
m mB H
π π− −
− −
× ×
= − +
× ×
4
10 0.4m mB Hπ π−
= − × +
En base a la información técnica del problema, la ecuación anteriormente indicada
representa la curva de operación característica del presente circuito magnético; la misma
que al igualarla o graficarla en conjunción con la curva de magnetización del núcleo
ferromagnético, nos generará el punto de operación de dicho circuito magnético. Como
en el presente problema se pide determinar con exactitud determinadas cantidades, la
metodología a emplearse será la analítica y no la metodología gráfica.
Así mismo, las relaciones que describen la curva de magnetización del material que
conforman el precitado núcleo magnético, son las siguientes:
4
4
4 10 ; 0< 1,000
0.25 10 0.375; 1,000< 5,000
m m
m m
B H H
Material
B H H
−
−
 = × ≤

= × + ≤
Primer intento.- Se procederá a igualar la curva de operación característica del presente
circuito magnético con la primera porción de la curva de magnetización, con la finalidad de
probar la existencia o no del punto de operación de dicho circuito magnético, por lo cual:
4 4
10 0.4 4 10m mH Hπ π− −
− × + = ×
( )4 4
4 4
0.4
4 10 10 0.4
4 10 10
m mH H
π
π π
π
− −
− −
× + × = ⇒ =
× + ×
[ ] [ ]
4
4 10
1,759.60 / 0.704
m mB H
m mH A m B T inadmisible
−
= ×
= ⇒ = ⇒
Segundo intento.- Se procederá a igualar la curva de operación característica del
presente circuito magnético con la segunda porción de la curva de magnetización, con la
finalidad de probar la existencia o no del punto de operación de dicho circuito magnético,
por lo cual:
4 4
10 0.4 0.25 10 0.375m mH Hπ π− −
− × + = × +
( )4 4
4 4
0.4 0.375
0.25 10 10 0.4 0.375
0.25 10 10
m mH H
π
π π
π
− −
− −
−
× + × = − ⇒ =
× + ×
[ ] [ ]
4
0.25 10 0.375
02,599.48 / 0.44
m mB H
m mH A m B B T
−
= × +
= ⇒ = =
( ) [ ]4
0 00.44 5 10 0.22m m m mB A mWb−
Φ = Φ = = × ⇒ Φ = Φ =

4. Ing. Alberto Tama Franco
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Segundo Tema (35%):
El esquema de un generador elemental de corriente alterna es similar al que se muestra en
la siguiente figura, donde la bobina de 1N espiras que se encuentra devanada sobre el
núcleo ferromagnético es alimentada con una corriente sinusoidal de frecuencia angular
[ ]1 /rad sω . El material ferromagnético con que está construido el respectivo núcleo, es
lineal; y, su permeabilidad magnética relativa tiene un valor de rµ . El lazo, ubicado en el
entrehierro, está conformado por 2N espiras, cuenta con un área A y rota a una
frecuencia angular [ ]2 /rad sω . Asumiendo que la densidad de flujo magnético en el
entrehierro se encuentra uniformemente distribuida y es normal a las respectivas caras del
precitado material ferromagnético, determinar:
a) La expresión algebraica del flujo magnético a través del lazo.
b) La expresión algebraica de la fem inducida en el lazo.
c) La expresión algebraica del número de espiras 2N , necesarias para obtener un voltaje
0V en los terminales del lazo. Tomando en consideración que: [ ]1 60f Hz= ,
[ ]2 3,600f rpm= , [ ]1.19ml m= , [ ]0 0.01l m= , 2
0 100mA A cm = =   y 2
1A cm =   ,
encontrar el valor numérico de 2N que permitirá obtener un voltaje [ ]0 10V V= si
[ ]0 10I A= , 1,000rµ = y 1 500N = espiras.
En virtud de que el material ferromagnético con que está construido el núcleo del circuito
magnético en referencia es lineal y homogéneo, se procederá a aplicar las Leyes de
Kirchhoff para Circuitos Magnéticos y sus relaciones; es decir, lo siguiente:
0 k
k k k k k k k k k k
k k k k
l
NI B A B H
A
µ
µ
Φ = Φ = = Φ = =∑ ∑ ∑R RR RR RR R
0
0 0 0 0m
m m m mA A
B A B A B B=
Φ = Φ = Φ ⇒ = ⇒ =
( ) 1
0 1
0
m
m
N I
N IΦ + = ⇒ Φ =
+
R RR RR RR R
R RR RR RR R
0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
;m m
m m m
r m r
l l l l
A A
A A A Aµ µ µ µ µ µ
= = = ⇒ = =R R R RR R R RR R R RR R R R

5. Ing. Alberto Tama Franco
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1 0 1 0 1 0 0 1
0
0
0 0 0 0
m m
r r
N I sen t N I A sen t
l l l
l
A A
ω µ ω
µ µ µ µ
Φ = ⇒ Φ =
+ +
0 1 0
0 0 1
0
0
m
r
N I
B B sen t
lA l
µ
ω
µ
Φ
= ⇒ =
+
0 1 0
0 2 1 2
0
Lazo Lazo
m
r
N I A
B A cos t sen t cos t
l
l
µ
ω ω ω
µ
Φ = ⇒ Φ =
+
0 1 0
2 2 1 2
0
Lazo
m
r
N I Ad d
N N sen t cos t
ldt dt l
µ
ω ω
µ
 
 Φ
 = − = −
 +
  
EEEE
[ ]0 1 2 0
1 2
0
Lazo
m
r
N N I A d
sen t cos t
l dtl
µ
ω ω
µ
= −
+
EEEE
[ ]0 1 2 0
1 1 2 2 1 2
0
Lazo
m
r
N N I A
cos t cos t sen t sen t
l
l
µ
ω ω ω ω ω ω
µ
= − −
+
EEEE
2 20 1 2 0
1 2
0
Lazo
m
r
N N I A
Si cos t sen t
l
l
µ ω
ω ω ω ω ω
µ
 = = ⇒ = − − 
+
EEEE
0 1 2 0
0
2Lazo
m
r
N N I A
cos t
l
l
µ ω
ω
µ
= −
+
EEEE
0 1 2 0
2 0 0
0 1 0
0
;máx m
máx máx
m r
r
N N I A l
N l V
l N I Al
µ ω
µ ω µ
µ
 
= ⇒ = + = 
 +
EEEE
E EE EE EE E
( ) ( )( )( )
2 7 4
1
10 1.19
0.01
1,0004 10 10 1 10 2 60
N
Nπ π− −
 
= + 
× × ×  
1
2 2
1 500
236,205
472
N
N N espiras
N =
= ⇒ =

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Tercer Tema (35%):
Dos láminas conductoras, planas e infinitas, transportan cada una de ellas, una corriente
eléctrica que se encuentra uniformemente distribuida. Una de las láminas, descansa en
el plano 0z = , fluyendo a través de ella, una densidad de corriente [ ]0 /yJ A m=J µµµµ . La
otra, paralela a la anterior, descansa en el plano z d= ; fluyendo a través de ella, una
densidad de corriente [ ]0 /yJ A m= −J µµµµ .
El espacio entre ellas es ocupado por dos materiales magnéticos; el primero de ellos,
con permeabilidad relativa 1rµ , ocupando la región definida por 0 z a< < ; y el segundo,
con permeabilidad relativa 2rµ , ocupando la región definida por a z d< < . Considerando
que 2 13r rµ µ= , determinar cuál deberá ser la relación /a d , de tal manera que el 10% del
flujo magnético total esté en la región definida por 0 z a< < .
x
z
z a=
2rµ
1rµ
z d=
0z =
0 yJ= −J µµµµ
0 yJ=J µµµµ
zµµµµ
xµµµµ
yµµµµ
Para resolver el presente problema, se debe en primer lugar determinar la densidad de
campo magnético producida por una lámina conductora, plana e infinita, que transporta
una corriente eléctrica uniformemente distribuida por unidad de longitud. Para lo cual se
procederá a utilizar la figura X.XX.
( ) 0
2 2 2
dx Jdi
d P dx
r r r
µ µµ
π π π
= = =
J
B
dx
dS
x
z
µ
0z =
0 yJ=J µµµµ
zµµµµ
xµµµµ
yµµµµ
P
h
θ
dθ
θ
x dx
dB

7. Ing. Alberto Tama Franco
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Por la simetría del problema, las componentes verticales de la densidad de campo
magnético se cancelan entre sí; por lo tanto, para la determinación de la densidad de
campo magnético, bastará con determinar el valor de las componentes horizontales, es
decir:
0 0
2
x
J
d d sen sen dx
r
µ
θ θ
π
= =B B
dx
rd
dx
dS
sen
θ
θ == ⇒ dx sen rdθ θ=
0 0
2 2
x
J J
d rd d
r
µ µ
θ θ
π π
= =B
2TOTAL xd= ∫B B
/2
0
0
2
2
TOTAL
J
d
θ π
θ
µ
θ
π
=
=
= ∫B ⇒ ( )0
1
2
TOTAL xJµ= −B µµµµ
La expresión anterior, nos permite concluir, que la densidad de campo magnético
producida por una lámina de corriente, es constante para cualquier punto de observación
que se encuentra por encima o debajo de la corriente laminar, cualquiera sea su
posición. De existir una configuración como la del ejemplo 4.46, se tendría entonces lo
siguiente:
( ) ( )1 1 0 1 0 0x r xJ Jµ µ µ= − = −B µ µµ µµ µµ µ
( ) ( ) ( )2 1
2 2 0 2 0 0 2 1 0 03
3
r r
x r x r xJ J Jµ µ
µ µ µ µ µ=
= − = − ⇒ = −B Bµ µ µµ µ µµ µ µµ µ µ
1
1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0r rd A J A J alµ µ µ µ
Σ
Φ = ⋅ = = ⇒ Φ =∫ B S B
( )
2
2 2 2 2 2 1 0 0 2 2 1 0 03 3r rd A J A J d a lµ µ µ µ
Σ
Φ = ⋅ = = ⇒ Φ = −∫ B S B
( )1 2 1 0 0 1 0 03TOTAL r rJ al J d a lµ µ µ µΦ = Φ + Φ = + −
El enunciado del presente problema, solicita lo siguiente: “cuál deberá ser la relación
/a d , de tal manera que el 10% del flujo magnético total esté en la región definida por
0 z a< < ”, por lo tanto:
10.10 TOTALΦ = Φ

8. Ing. Alberto Tama Franco
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( )1 0 0 1 0 0 1 0 00.10 3r r rJ al J d a l J alµ µ µ µ µ µ+ − =  
( ) ( )0.10 3 3 10a d a a a d a a+ − = ⇒ + − =  
( )3 9 3d a a d a a− = ⇒ − =
1
4
a
d
=