TE1-TE-2014-2S

Ing. Alberto Tama Franco
Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I
FIEC-ESPOL – 2014 – 1S
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA I
ING. OTTO ALVARADO MORENO ( )
ING. JORGE FLORES MACÍAS ( )
ING. ALBERTO TAMA FRANCO ( )
TERCERA EVALUACIÓN Fecha: martes 10 de marzo del 2015
Alumno: ________________________________________________________________________________
Resumen de Calificaciones
Estudiante Examen Deberes Lecciones
Total Tercera
Evaluación
------------ --------------

Primer Tema (33%):
Un cable coaxial de radio interior “a” y radio exterior “2a”, tiene el espacio entre
conductores lleno con un dieléctrico cuya permitividad ( )rε es una función de la distancia
“r” medida desde el eje central del cable. Si el valor de la permitividad del dieléctrico en
contacto con el conductor interior es 1ε , determinar:
1) La función de la permitividad ( )rε para que el campo eléctrico sea constante en todos
los puntos. 2) La capacitancia por unidad de longitud del sistema.
1( )r aε ε= =( )rε
a
b
r
2b a=
Vamos a asumir que al cable coaxial lo
someteremos a una diferencia de potencial
oV , donde la placa de radio a será más
positiva que la placa de radio b , con lo cual
se tendrá lo siguiente:
( ) ( )NETAa r b d Q a r b
→
< ≤ ⋅ = Σ < ≤∫⊙
D S
( ) ( )2a r b rl Q r aπ< ≤ = =D
( )
( )
2
Q r a
a r b
rlπ
=
< ≤ =D
( )
( )
( )
( )
2 2 ( )
r r
Q r a Q r a
a r b a r b
rl rl rπ π ε
= =
< ≤ = ⇒ < ≤ =D Eµ µµ µµ µµ µ
Para que la intensidad de campo eléctrico
sea la misma en todos los puntos, la
permitividad del dieléctrico debe tener la
siguiente forma ( ) /r k rε = ; y, como
además se conoce que 1( )r aε ε= = , se
tendría entonces que 1k aε= . A partir de lo
cual, la permitividad del dieléctrico no
homogéneo, estaría dada por la siguiente
expresión:
1
( )
a
r
r
ε
ε =
( )rε
r
a 2b a=0
1ε
1
2
ε
( )
1
( )
2
r
Q r a
a r b
alπ ε
=
< ≤ =E µµµµ

( )
( )
( )
1
180 180
2
a a
o o
o
b b
Q r a
V a r b d cos dr cos
alπ ε
=
= − < ≤ = − −∫ ∫E l
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 1 1
2
2 2 2 2
a
o
b
Q r a Q r a Q r a Q r a
V dr a b b a a a
a a a aπ ε π ε π ε π ε
= = = =
= − = − − = − = −∫
o
a
V =
( )
2
Q r a
l aπ
= ( )
11 2
o
Q r a
V
lπ εε
=
⇒ =
( )
12sist sist
o
Q r a
C C l
V
πε
=
= ⇒ =
12sistC
l
πε=

Segundo Tema (33%):
Una espira rectangular, descansa en el plano x y− y está centrada con respecto al eje z .
Los lados paralelos al eje x tienen una longitud 4a , y los lados paralelos al eje y tienen
una longitud 2a . La espira transporta una corriente 0I circulando en el sentido horario
cuando es observada desde arriba.
Determine la densidad de flujo magnético en el centro de la espira. (Las expresiones a
utilizar deben ser previamente deducidas)
y
x
4a
VISTA SUPERIOR
2a
x
y
z
0I
yµµµµ
xµµµµ
zµµµµ
0
P
•
0I
4a
2a
Con la finalidad de cumplir con lo requerido en el enunciado del presente problema, se
considerará la existencia de un segmento de alambre de longitud L, tal como se muestra a
continuación, por el cual circula una corriente de intensidad I . Se procederá a determinar
la densidad de flujo magnético en el punto de estudio P , expresando la respuesta, en
función de la información indicada.
Triángulo pequeño:
Triángulo grande:
Se puede apreciar, que el menor ángulo formado por las cabezas que se alejan de los
vectores dl y r es el ángulo θ , cuyo valor varía entre α y β conforme se aumenta la
longitud del segmento de 0 hasta L.
Por el producto vectorial d ×l r o utilizando la regla de la mano derecha, se determina que
la densidad de flujo magnético es perpendicular a la página y saliendo de la misma, por lo
tanto:
dB
dl
r
h
I
L
dl
dS
r
h

( ) 2
4
o
d senI
P
θµ
π
= ∫
l
B
r
Se pueden apreciar claramente la existencia de dos triángulos; y, para su identificación, los
llamaremos triángulo pequeño y triángulo grande. Para formar el triángulo pequeño, se
procederá a trazar una circunferencia, con centro en el punto de estudio P , que pase por
la cabeza o flecha del vector dl , tomándose en cuenta el arco dS que subtiende el ángulo
θ . Como las dimensiones son infinitesimales, ese radio de la circunferencia será muy
aproximadamente igual a r , de ahí que:
ddS
sen d sen d
d d
θ
θ θ θ= = ⇒ =
r
l r
l l
( ) ( )2
4 4
o o
dI I d
P P
θµ µ θ
π π
= ⇒ =∫ ∫
r
B B
rr
Con la utilización del triángulo pequeño y por su relación, se ha logrado disminuir las
variables, de tres a dos. Ahora, se utilizará el triángulo grande para disminuir las variables
de dos a una y proceder a la integración.
( )
4
o Ih h
sen P sen d
sen h
θ β
θ α
µ
θ θ θ
θ π
=
=
= ⇒ = ⇒ = ∫r B
r
( ) ( ) ( ) ( )
4 4
o oI I
P cos cos P cos cos
h h
µ µ
α β α β
π π
= − ⇒ = −B B Í
Recordando de que tramo de un conductor, es una sección que no cambia de dirección, en
el presente problema, se puede apreciar la existencia de cuatro tramos; donde las
densidades de flujo magnético producidas por el tramo 1 es idéntica a la producida por el
tramo 3; similar cosa ocurre entre los tramos 2 y 4; con lo cual, se obtendría lo siguiente:
kTRAMO ( )k PB SENTIDO
- 0 0 0 0 52 5
2
4 5 5
I I
a a
µ µ
π π
 
= 
 
z−µµµµ
-
( )
0 0 0 0 55
2
4 2 5 20
I I
a a
µ µ
π π
 
= 
 
z−µµµµ
TOTAL ( ) ( ) 0 0
1 2
5
2
2
I
P P
a
µ
π
 + = B B z−µµµµ

Tercer Tema (34%):
Un cilindro de radio R , longitud infinita y con su eje coincidente con el eje z , está
magnetizado según la expresión 0M φ=M µµµµ , donde 0M es un valor constante. Una espira
cuadrada está ubicada de lado L se encuentra en el plano y z− y su lado más cercano al
eje z se encuentra a una distancia D R> . Calcular las corrientes de magnetización
(magnitud y sentido) y los flujos magnéticos a través de la espira, producidos por cada una
de estas corrientes.
2R
z
y
D L
L
D L
x
y
2R
yµµµµ
xµµµµ
zµµµµ
φµµµµ
Para la determinación de las densidades de corrientes de magnetización, y por la simetría
que se presenta en el referido problema, se requerirá trabajar en coordenadas cilíndricas,
es decir:
( ") "m s s
= ×J M∇∇∇∇
( )1 1z r z r
r z
MM M M M
rM
r z z r r r
φ
φ φ
φ φ
∂   ∂ ∂ ∂ ∂∂ 
× = − + − + −     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    
M µ µ µµ µ µµ µ µµ µ µ∇∇∇∇
En virtud de que 0r zM M y M constanteφ= = = , se tendría lo siguiente:
( ) ( ) ( ) ( )0
1 1
m z m zr R rM r R rM
r r r r
φ
∂ ∂   
≤ = × = ⇒ ≤ = × =   ∂ ∂   
J M J Mµ µµ µµ µµ µ∇ ∇∇ ∇∇ ∇∇ ∇
( ) 0
m z
M
r R
r
≤ =J µµµµ
0
0
2
r R
m m m
r
M
I d I r dr
r
π
=
Σ =
= ⋅ ⇒ =∫ ∫J S
02mI M Rπ=

A continuación, procederemos a determinar las distribuciones superficiales de corrientes de
magnetización:
( ) ( )m r a r a r a= ≤ =
= ×j M n
( ) 0 ( ) 0m r a r m r a zr a
M Mφ= ==
= × ⇒ = −j jµ µ µµ µ µµ µ µµ µ µ
( )( ) 0m r a zM= =j −µ−µ−µ−µ
Ahora, para la densidad superficial de corriente de magnetización, se tendría que su
corriente micoscópica asociada, sería la siguiente:
( ) ( )( ) 02 2m m r R mi r R = a i r R = RMπ π== ⇒ =j
Vamos a determinar solamente el flujo magnético producido por la corriente microscópica
debida a la densidad superficial de corrientes de magnetización, por cuanto ambas –la
superficial y la volumétrica- son iguales en valor, pero tienen sentidos contrarios:
D L
x
y
2R
yµµµµ
xµµµµ
zµµµµ
φµµµµ
r
( )PB
dS
Trayectoria Amperiana
El presente gráfico, representa la densidad de flujo magnético producido, en región en la
que se encuentra la espira cuadrada, producido por la corriente ( ) 02mi r R = RMπ= :
( )sup P d
Σ
Φ = ⋅∫ B S
( ) 0
0
2
D L
o m
sup sup
r D
i
P d cos Ldr
r
µ
π
+
Σ
=
Φ = ⇒ Φ =∫ ∫B S
0 0 0
ln ln
2 2 2
D LD L
m m m
sup
r Dr D
i L i L i Ldr D L
r
r D
µ µ µ
π π π
++
==
+ 
Φ = = =  
 
∫

0 02
ln
2
sup
M RL D L
D
µ π
π
+ 
Φ =  
 
0 0 lnsup
D L
M RL
D
µ
+ 
Φ =  
 
Por lo indicado anteriormente, el flujo magnético producido sobre la espira cuadrada, por la
corriente ( ) 02mI r R = RMπ≤ , será el mismo que la expresión anterior; es decir:
0 0 lnvol
D L
M RL
D
µ
+ 
Φ =  
 
De esta forma, el flujo magnético total sobre la espira cuadrada será:
0Total sup vol TotalΦ = Φ − Φ ⇒ Φ =

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