TE2-SE-2014-1S

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA II
Profesor: ING. WASHINGTON MEDINA M. ( )
ING. ALBERTO TAMA FRANCO ( )
SEGUNDA EVALUACIÓN Fecha: miércoles 03 de septiembre del 2014
Alumno: ________________________________________________________________________________
L
Región 2
g g
3
E+
2
H+ 2

H−
Ing. Alberto Tama Franco
Región 1

Profesor de la Materia Teoría Electromagnética II
FIEC-ESPOL – 2014 –1S
PRIMER TEMA (40 puntos):
Considere un sistema conformado por 3 regiones, tal como se muestra en la siguiente
figura. Asumiendo que una onda plana incide normalmente a la región 2, encuentre una
expresión para la relación Et / Ei =t eff (Coeficiente de transmisión efectivo del sistema) en
función de los coeficientes de reflexión 1 G y 2 G definidos en el sistema.
Para resolver el presente problema, se procederá a efectuar un análisis general, para
luego pasar a lo particular; es decir, se considerará el hecho de que los tres medios o
regiones involucradas son parcialmente conductores o dieléctricos disipativos, tal como se
detalla en la siguiente figura:
2
i E
12 G 23 G
z
z = 0 z = L

i H r E
r H

2
E−
2
t E

t H
x
x μ
z μ
y μ
1
Región 3
g
Para resolver el presente problema, utilizaremos la notación empleada en el mundo clásico
del Electromagnetismo y nuestra clase de Teoría Electromagnética II. El fundamento para
nuestro análisis será la Teoría del Campo, por lo cual se tendrán las siguientes
expresiones para las componentes eléctricas y magnéticas de las ondas en cada medio o
región:

0 z
E = E e−g 1
μ 1
i i x z i z
z r z
− − H = μμμμ = μμμμ 1 0 1
i i y y
H = − μμμμ = − μμμμ
r r y y
2 20 z
x + E+ e−g E = μ 2
+
z z
−
z z
+ + − − H = μμμμ = μμμμ 2 20 2
y y
− − H = − μμμμ = − μμμμ
E = E e −g − μ ( z L ) t 0 ( z L
) 3 3
t t x − − − − H = μμμμ = μμμμ
t t y y
 + = +

E E E E
z E E E E
H H H H
 g + g
=

20 20 0
g g g g
20 20 0
 + = +
E E E + E
−
0 0 20 20
E E E E
+ −
0 0 20 20
h h h h
1 1 2 2
+ − −
g g
20 20 0
+ −
−
g g
20 20 0
   + 
t t E e g E E e g E h h h
2 1 2 L L
=  +  ⇒ =  
+ − + −
h h
   
 
=   ⇒ = + G
 + 
t t E e g E E e g E h
y y
2
0 z
r r x E eg E = μ
1 0 1
0
1
E
H e g e g
h
0
1
E
H eg eg
h
2
2 20 z
x − E− eg E = μ
2 20 2
2 20
2
E
H e g e g
h
2 20
2
E
H eg eg
h
( ) 3
0
z L
0
3
E
H e e g g
h
Adicionalmente, se puede advertir que existen las siguientes condiciones de fronteras:
0 0 20 20
0 0 20 20
0 0 20 20
1 1 2 2
0
i r
i r
i r
h h h h
+ −
+ −
+ −
= ⇒
− = − ⇒ − = − 
2 2
2 2 2 2
20 20 0
2 2 3
L L
t
L L L L t
t
E e E e E
z L E E E
H e H e H e e
h h h
+ − −
+ −
+ − − −
= ⇒
− = ⇒ − = 
Resumiendo y numerándolas, se tendría lo siguiente:
2 2
2 2
2 2 3
1.
2.
3.
4.
i r
i r
L L
t
L L t
Condiciones de Frontera
E e E e E
E E E
e e
h h h

− = − 
+ = 
− =

A continuación se procederá a combinar las ecuaciones 3. y 4., efectuando la
correspondiente suma algebraica:
2 2 2 2 3
20 0 20 0
3 3
3 2 ( ) 2
0 20 0 23 20
2 3
1 L L
h h
− + − +

A continuación se multiplicará la ecuación 3. Por 2 1/h y será restada de la ecuación 4.,
obteniéndose así, lo siguiente:
−  1 1
  − 
2 L
20 2 3 2
=  −  =  
t t
0 0
2 2 3 2 3
2 h
E eg L
E t h h
   
  =  
 +   − 
2 L 2 L e g E eg E h h
h h h h
− + −
 − 
=   ⇒ = G
 + 
L L E e g E E e g E h h
− − + − − +
h h
 h   h

=  +  +  − 
 h   h

+ −
2 1 1 i E E E
   
=  +  −  − G
   
i E E e g E h h
2 1 1 L
+ − +
h h
     
1 1
+ −
=   1 +  −  − 1
G 
2 2
E 1
e E
E
1 1
1 1
2 2
−
E
eg E E h h
h h h h h
   
3 2
0 20
3 2
−
 
=  
 − 
Reemplazando la expresión inmediata anterior en la última, se tendría que:
3 2 3 2
20 20
2 3 3 2
2 2 3 2 2 2
20 20 20 23 20
2 3
A continuación, se procederá a combinar las ecuaciones 1. y 2., obteniéndose lo que sigue:
1 1
0 20 20
2 2
2 1 1 2
0 20 23 20
2 2
2 1 1 2
0 20 23
2 2
L
i E E e g h h
h h
     
Finalmente, con la respectiva relación matemática, se procederá a obtener el coeficiente de
transmisión efectivo.
( ) 2
2
0 23 20
0 1 1 2
23 20
2 2
L
t
eff
i L
e E
g
g
t
h h
h h
− +
− +
+ G
= =
     
  +  −  − G 
     
( ) 2
2
0 23
0 1
1 2 2
23
2 1
2
1
1
1
1 1
2
1
L
t
eff
i
L
E e
E
e
g
g
t
h
h h
h h
h
−
+ G
= =
   
  −    
 +   − G 
        +      

( ) 2
E 1
e
E
1
−
E 2 1
e
E
E 1 + G 1
+ G
e
E 1
e
E 1 + G 1
+ G
e
E 1
e
E 1 1
e
E 1
e
E 1
e
E 1
e
−
2
0 23
0 1 2 1 2 2
23
2 1 2
2
L
t
eff
i L
e
g
g
t
h h h h
h h h
−
+ G
= =
+   −  
 −  G 
  +  
( ) 2
2
0 2 23
0 1 2 2 1 2
23
1 2
1
L
t
eff
i L
e
g
g
h
t
h h h h
h h
−
−
+ G
= =
+   −  
 +  G 
  +  
( )( ) 2
2
0 12 23
2
0 12 23
L
t
eff L
i
g
g t
−
−
= =
+ G G
La respuesta anterior es la más general de las expresiones. Ahora, se procederá a
particularizar para el presente problema; es decir:
( )( ) 2
2
0 1 2
2
0 1 2
L
t
eff L
i
g
g t
−
−
= =
+ G G
Es más, para las condiciones normales –como es el caso del presente problema- en las
que a ambos lados de la región 2 se tiene aire como medio de propagación, se cumple lo
siguiente:
( )( )
( )
2
−
2
0 2 2
1 2 2
0 2 2
L
t
eff L
i
g
t
−
g − G + G
G = −G ⇒ = =
+ −G G
( ) 2
2
2
0 2
2 2
0 2
L
t
eff L
i
g
t
−
g − G
= =
− G
En el mundo académico y científico del Electromagnetismo, las relaciones –general y
particular- anteriores son aplicadas al fenómeno denominado como Shielding Effectiveness
(Efectividad del Blindaje).

v  m   n  c  m   n 
c
=   +   ⇒ =   +   = +
f f m n
c
v l f f f GHz
op op op op
l −
+ £ × ⇒ + £
m n m n
m + n £ ⇒ m + n £
m = ⇒ n £ n £ ⇒ inadmisible
n = ⇒ m £ m £ ⇒ m = y
×
4 10 0.4
SEGUNDO TEMA (30 puntos):
Una guía de ondas de sección rectangular de 40 [mm] × 400 [mm] está llena de aire y se
quiere transmitir una frecuencia con longitud de onda de 150 [mm] .
a) Encuentre los anchos de banda ideales de los modos a los cuales la guía puede
propagar dicha onda.
b) ¿Qué sucedería si la frecuencia de transmisión es ahora 1.6 veces mayor?
En el presente caso: a = 400 [mm] , b = 40 [mm] , la velocidad v ' = c y donde b = a/10 .
Considerando todas las combinaciones para cuando m = 0,1,2 y 3 ; y para cuando
n = 0,1,2 y 3 ; y, recordando la restricción de que para los modos transversales magnéticos
ni m puede ser cero, ni n puede ser cero, ni ambas a la vez pueden ser cero, se tiene lo
siguiente:
2 2 2 2
2 2 ' 10
100
mn 2 mn 2 2 c c
a b a a a
       
[ ]
8
3
3 10
' 2
150 10
op
×
= ⇒ = = ⇒ =
×
Para que se pueda transmitir una OEM con dicha frecuencia de operación, se requiere que
se cumple la siguiente condición:
cmn op f £ f
( ) 9
2 2 9 2 2
8
100 2 10 100
c
a
×
2 3 10
2 2 2 2 16 256
100 100
3 9
256 8
Si 0 100 2 ;
9 15
2 256 16
0 ; 1, 2,3,4 5
9 3
Claramente se puede apreciar que n no puede tomar valores mayores a 0 , porque de así
serlo, no se satisfaría la inecuación anteriormente indicada; con lo cual, se concluye que no
existirían, en la precitada guía de ondas, los modos de propagación transversales
magnéticos mn MT , sino únicamente, los modos de propagación transversales eléctrico mn eT .
. Al darle valores a la inecuación anterior, se tendría lo siguiente:

m n Modo [ ]
+ £ × ⇒ + £
m n m n
m + n £ ⇒ m + n £
m = ⇒ n £ n £ ⇒ inadmisible
n = ⇒ m £ m £ ⇒ m = y
×
6.4 10 0.4
cmn f GHz
1 0
10 eT 0.375
2 0
20 eT 0.750
3 0
30 eT 1.125
4 0
40 eT 1.500
5 0
50 eT 1.875
6 0
60 eT 2.250
De la tabla anterior, se puede apreciar claramente lo siguiente:
[ ] 10 Ancho de Banda eT = 0.750−0.375 ⇒ 0.375 GHz
[ ] 20 Ancho de Banda eT =1.125−0.750 ⇒ 0.375 GHz
Si ahora la frecuencia de transmisión es 1.6 mayor, se tendría que la frecuencia de
operación sería entonces:
1.6 1.6 2 [ ] 3.2 [ ] op original op f = f = × GHz ⇒ f = GHz
( ) 9
2 2 9 2 2
8
100 3.2 10 100
c
a
×
2 3 10
2 2 2 2 128 16,384
100 100
15 225
Si 2 16,384
0 100 ; 0.7282
225
2 16,384 128
0 ; 1, 2, ...,5,6,7 8
225 15
Al darle valores a la inecuación anterior, se tendría lo siguiente:

m n Modo [ ]
cmn f GHz
1 0 10 eT 0.375
2 0
20 eT 0.750
3 0 30 eT 1.125
4 0
40 eT 1.500
5 0
50 eT 1.875
6 0
60 eT 2.250
7 0
70 eT 2.625
8 0
80 eT 3.000
9 0
90 eT 3.375
De la tabla anterior, se puede apreciar claramente lo siguiente:
Se concluye, entonces, que si la frecuencia de transmisión es 1.6 mayor, en lugar de 5
modos de propagación, existirán 8 modos de propagación. Los anchos de banda no se
verán afectados, salvo el ancho de banda del modo 50 eT que pasará de 0.125 [GHz] a
0.375 [GHz] , teniendo una limitación, en su ancho de banda, el modo 80 eT a 0.200 [GHz].

v  m   n 
v
=   +   = ⇒ = +
f b a k f m n k
c c
= ⇒ =
v v
' '
μ e e
r r r
μ
= +
= +
f k
+
= = +
f + W + k W +
k
f k f k
2 2
1 4 1 4
c B B
= ⇒ 1
+ =
2 2
+ +
1 1
c c
 
−  −      −  − 
   
4 1 0.982 4 1
3
= = ⇒ =
   
 −  −  −  −    
 
TERCER TEMA (30 puntos):
Encuentre la relación a / b para una guía de sección rectangular rellena de un dieléctrico,
con parámetros constitutivos 0 0 μ = μ , e = 68.35e , tal que en el modo MT la frecuencia
dominante sea 3 [GHz] y su ancho de banda ideal de 982 [MHz] .
La más baja frecuencia en los modos de propagación transversales magnéticos es la 11 MT .
El siguiente modo de propagación sería el 21 MT , por lo cual:
2 2
2 2 2 ' '
; /
mn 2 mn 2 c c
a b a
   
1
r
=
11
2 1
2
c
r
c
f k
a e
21
2 1 4
2
c
r
c
f k
a e
21
21 11
11
2
2
1 4
;
1
c
c c B
c
f f W
f k
+
11
11 11
11
11
2
2
2 2
1.714
0.982
1 1 1 1
3
B
c
B
c
W
f
k k
W
f
x
y
z
a
b

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