2. Las condiciones para que una ecuación diferencial fuese lineal son : a) la variable dependiente y ytodas sus derivadas son de primer grado, b) cada coeficiente depende solamente de la variable independiente x (o constante). Definición La forma general de una ecuación lineal de 1er orden es: y' + f(x)y = r(x). Si l'(x) es idénticamente igual a cero, entonces la ecuación se llama lineal homogénea (no en el sentido de polinomio homogéneo, sino como el nombre que da el álgebra lineal a las ecuaciones igualadas acero); si r(x) =1=- O, entonces es lineal no homogénea.
3. Métodos de solución: Si l'(x) = O ~ Es de variables separables. Si r(x) =1=- a) Método Del factor integrante. b) Método de variación de parámetros. y la forma de la solución es: Vamos a obtener la solución para r(x) =1=- O, usando el método del factor integrante y el de variación de parámetros. Método del factor integrante. Buscaremos un factor que nos convierta la ecuación diferencial y' + f(x)y = r(x) en exacta y la resolveremos por el método de las exactas.
4. El hecho de que la solución general de la ecuación diferencial homogénea correspondiente es , sugiere la posibilidad de que un factor para la no homogénea sea de la forma Vamos a probarlo. Multiplicando la ecuación por este factor, tenemos: Observando el primer miembro de la ecuación, vemos que está y en un término, su derivada y' en otro y la exponencial que acompaña a la y es la derivada de la exponencial que acompaña a y', realmente Se puede expresar como la derivada de un producto de funciones:
5. Integrando con respecto a x: Despejando y que es la solución general ya indicada y satisface a la ecuación lineal. Como nos llevó a la solución propuesta, es el factor de integración que convierte en exacta a la ecuación diferencial lineal no homogénea. Por ello, no es necesario memorizar la fórmula de la solución, basta buscar el factor, multiplicar la ecuación por él y resolver por exactas.
