Este documento discute las ecuaciones diferenciales, incluyendo las ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales. Explica que las ecuaciones diferenciales juegan un papel fundamental en disciplinas como ingeniería, física, química, economía y biología. También cubre temas como ecuaciones diferenciales lineales y no lineales, y métodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales como el método de coeficientes indeterminados.

1. Republica bolivariana de Venezuela
Instituto universitario politécnico
“Santiago mariño”
Extensión Barcelona
Escuela: ingeniería de sistema
Profesor:
Beltrán pedro.
Alumna:
Rodríguez Oriana 27.838.701

2. Se dice que una ecuación diferencial es una ecuación matemática que vincula una función con sus
derivadas. Por lo tanto, en las matemática aplicadas, las funciones prácticamente representan cantidades
físicas, las derivadas simbolizan sus razones de cambio, y la ecuación define la relación entre ellas. Cómo
estas relaciones son muy frecuentes, las ecuaciones diferenciales juegan un rol fundamental en muchas
disciplinas, incluyendo la ingeniería, la física, la química, la economía, y la biología.
Asimismo, en las matemáticas puras, las ecuaciones diferenciales se estudian y analizan desde
perspectivas diferentes, la mayoría referentes al conjunto de las soluciones de las funciones que satisfacen
la ecuación. Solo las ecuaciones diferenciales más simples se pueden solucionar por medio de fórmulas
explícitas, sin embargo, se pueden establecer algunas propiedades de las soluciones de una cierta
ecuación diferencial sin encontrar su forma exacta.
Ahora bien, las ecuaciones diferenciales pueden fraccionarse en varios tipos. Aparte de detallar las
propiedades de la ecuación en sí, las clases de las ecuaciones diferenciales pueden ayudar a investigar la
elección de la aproximación a una solución. Es muy usual que estas distinciones incluyen si la ecuación es:
Ordinaria/Derivadas Parciales, Lineal/No lineal, y Homogénea.

3. Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es una ecuación
que contiene una función de una variable independiente y sus
derivadas. El término "ordinaria" se usa en contraste con la
ecuación en derivadas parciales la cual puede ser respecto a
más de una variable independiente.
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una
ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de
primer orden respecto a una variable independiente. Es una
relación en la que intervienen la variable dependiente, la función
incógnita y su derivada de primer orden 1.
Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden
encontrar expresadas en forma explícita, llamada también
"ecuación resuelta respecto a su primera derivada" 2 en esta
forma:

4. Si mediante operaciones algebraicas es posible expresar la ecuación diferencial en la
siguiente forma:
Se dirá que es una ecuación diferencial de variables separables. De este modo, en cada
miembro de la ecuación se tendrá una única variable. Para resolver este tipo de ecuaciones basta
con integrar en cada miembro:
- Ecuaciones homogéneas
una ecuación de la forma:
Es homogénea siempre que la función f no dependa de x e y aisladamente, sino únicamente
de sus razones y/x o bien x/y. Así pues las ecuaciones homogéneas adoptan la forma:

5. Se dice que una ecuación es homogénea si la función f(x, y) es fraccionaria y además el
grado de los polinomios de numerador y denominador son los mismos. Por ejemplo:
sería homogénea ya que todos los términos de ambos polinomios son de grado 3. Así se
procede dividiendo tanto numerador como denominador por 𝑥3 o 𝑦3en función de qué cambio
haga más simple su resolución. Llegados a este caso según la elección se puede optar por uno
de los dos cambios análogos, que son:
Así se simplifica enormemente y suele quedar separable. Para finalizar solo resta deshacer
el cambio, sustituyendo las u(x, y) por su valor como función que se ha establecido.
El caso anterior puede generalizarse a una ecuación diferencial de primer orden de la forma:
introduciendo la variable u = y/x; la solución de la anterior ecuación viene dada por:

6. - Ecuaciones lineales de primer orden
La ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma:
Y la solución de la misma viene dada por
En el caso particular la solución es:
:

7. - Ecuaciones de variables separadas

8. - Ecuación de Bernoulli

9. - Cambio de variables
Un cambio de variable es una técnica empleada en matemática para resolver algunas
ecuaciones o sistemas de ecuaciones de grado superior a uno, que de otra forma sería
más complejo resolver.
El cambio de variable es una técnica que nos permite pasar de una ecuación o integral
complicada a otra más sencilla.
Los cambios de variable más frecuentes se suelen dar en:
Ecuaciones bicuadradas.
Ecuaciones y sistemas de ecuaciones exponenciales.
Ecuaciones logarítmicas.
Integrales.

10. Con lo anteriormente tratado hasta aquí, podemos hacer las afirmaciones siguientes:
Con el método de variación de parámetros podemos resolver la ED lineal no homogénea:
siempre y cuando conozcamos la solución general de la ED
lineal homogénea asociada
Con el método de variación de parámetros podemos resolver la ED lineal con coeficientes
constantes
Aplicando primero el método de reducción de orden y luego el método de variación de
parámetros, podemos resolver la ED lineal

11. Con el conocimiento de una solución de la ED lineal homogénea
asociada

12. En matemáticas , el método de coeficientes
indeterminados es un enfoque para encontrar una solución
particular a ciertas ecuaciones diferenciales ordinarias no
homogéneas y relaciones de recurrencia . Está
estrechamente relacionado con el método aniquilador , pero
en lugar de utilizar un tipo particular de operador diferencial (el
aniquilador) para encontrar la mejor forma posible de la
solución particular, se hace una "suposición" en cuanto a la
forma apropiada, que es luego se prueba diferenciando la
ecuación resultante. Para ecuaciones complejas, el método
de aniquilador o la variación de los parámetros requiere
menos tiempo para realizarlos.
Los coeficientes no determinados no son un método tan
general como la variación de parámetros , ya que solo
funciona para ecuaciones diferenciales que siguen ciertas
formas.

15. • Ecuaciones diferenciales ordinarias.
• Ecuación en derivadas parciales.
• Ecuaciones diferenciales lineales.
• Ecuaciones diferenciales no lineales.
• Ecuaciones semilineales y cuasilineales.
• Orden de la ecuación.
• Grado de la ecuación.

16. El interés en su estudio radica en las múltiples aplicaciones que tiene en diversas ramas de la
ciencia. En las matemáticas generales, representa la típica ecuación en derivadas parciales parabólica y
concretamente en la estadística está relacionada con los procesos aleatorios. Por otro lado, en el campo
de la química nos predice, entre otros procesos de transferencia de calor, que si juntamos un material a
0º y otro a 100º, rápidamente la temperatura del punto de conexión entre ambos será de 50º. A
continuación de deduciremos cómo llegar a la expresión final de la citada ecuación en una dimensión:
Imaginemos una vara de longitud L, sección transversal S, fina, homogénea (toda ella está
compuesta por el mismo material) y completamente aislada del exterior. Estas consideraciones
permitirán que las leyes físicas que emplearemos dependan únicamente de la posición x y del tiempo t.

17. En ella encontramos los conceptos de suma, multiplicación, exponenciación e identidad.
Tenemos también, los cinco números fundamentales: El número “e”
que es el número más importante del análisis matemático; El número “PI”
que es el número más importante de la geometría; El número i
que es el número más importante del álgebra; Y los números 0 y 1, que son las bases de la
aritmética por ser los elementos neutros, respectivamente, de la adición y la multiplicación.
Cuando estaba trabajando en el cálculo complejo, Euler dedujo la que tal vez sea la ecuación
más elegante y magnífica de todas.
Un número complejo es aquél que se representa mediante una parte real y una parte
imaginaria, si definimos a z como un complejo, x su parte real e y su parte imaginaria, este
quedaría así,

18. Donde i es el número imaginario, definido como la raíz cuadrada de-1,
Ahora, si tomo al famoso numero e y lo potencio con el número complejo z,
Mediante series numéricas, Euler encontró que,
Por lo tanto
Esta es conocida como la fórmula de Euler, que define la exponenciación compleja.
Es una fórmula de gran sutileza y precisión. Pero si hacemos un análisis más minucioso
podemos llegar a más aún.
Si hacemos que x valga 0 y que y tome el valor de pi, o resulta
lo mismo escribir,
que es la identidad de Euler, considerada como decía por muchas personas como la
ecuación más elegante de las matemáticas.