Presentación para comprender Ecuaciones Diferenciales

1. EJEMPLO
DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE
Ecuaciones diferenciales

2. Definición de una ecuación diferencial
Quizás el ejemplo más conocido que nos permite comprender la definición de ecuación diferencial, es la segunda ley de
Newton
Para determinar el movimiento de una partícula sobre la que actúa una fuerza F es necesario hallar una función u que
satisfaga la ecuación (1).
• En este momento de la clase, es necesario enfatizar que la función u es precisamente la función desconocida y la
ecuación (1) contiene derivadas de u, por lo tanto es una ecuación diferencial. Y concretar además la definición de
ecuación diferencial.
Definición: Una ecuación diferencial es aquella que contiene una función desconocida y una o más de sus derivadas.

3. CLASIFICACIÓN
• Una vez que la definición ha quedado clara, se procede a clasificar las ecuaciones
diferenciales a través de una descripción, acompañada de uno o más ejemplos.
• Ecuación diferencial ordinaria
• Si la función desconocida depende de una sola variable independiente, en la ecuación
diferencial solo aparecerán derivadas ordinarias, por lo que se dice que es una ecuación
diferencial ordinaria.

4. Ecuación diferencial parcial
• Si la función desconocida depende de varias variables independientes, entonces las derivadas
son parciales, por lo que la ecuación se denomina ecuación diferencial parcial.

5. Orden de una ecuación diferencial
• Es el orden de la derivada más alta que aparece en ella. Así, en los ejemplos anteriores
• (1) y (2) Son ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.
• (3) es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.
• (4) y (5) son ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden.

6. Grado de una ecuación diferencial
El grado de una ecuación diferencial es la potencia más alta a la
que está elevada la derivada de mayor orden (siempre que la
ecuación esté escrita en forma polinómica en cuanto a las
derivadas y a la variable dependiente). Por ejemplo, la ecuación
y''- x seny = 0, es de orden 2, pero no se le asigna grado alguno,
ya que el término seny no se puede escribir en forma
polinómica.

7. Linealidad o no linealidad
• La ecuación diferencial F(x, y, y', ……, yn) = 0 se llama lineal si F es una función lineal
de las variables x, y, y', ……, yn. Así, la forma general de una ecuación lineal de
orden n puede escribirse como an(x)y(n) + an-1(x)y(n-1) +……..+ a1(x)y’ + a0(x)y = h(x)
Observe que las ecuaciones diferenciales lineales se caracterizan por lo siguiente:
- La función y sus derivadas están elevadas a la potencia 1, es decir, son de
primer grado.
- Cada coeficiente depende de la variable independiente.
• Si una ecuación diferencial no cumple lo anterior, se dice que la ecuación es no
lineal. Si en la ecuación anterior h(x) = 0, la ecuación diferencial se llama reducida
(homogénea); en caso contario es no reducida (no homogénea).

8. CUESTIONARIO
Clasifique y determine además el orden, el grado y la linealidad o no linealidad de cada una de las
siguientes ecuaciones diferenciales:

9. Soluciones
1. Ordinaria, orden 1, grado 1, lineal
2. Ordinaria, orden 3, grado 2, no lineal
3. Ordinaria, orden 4, lineal
4. Ordinaria, orden 2, grado 3, no lineal
5. Ordinaria, orden 3, grado 1, lineal
6. Ordinaria, orden 1, no lineal
7. Parcial, orden 1, lineal
8. Parcial, orden 2, lineal
• Note que en algunos casos el grado no tiene sentido