1.  Polinomios de Hermite
Los polinomios osculadores son una generalización de los polinomios de Taylor y de
Lagrange. Estos interpolan la función dada, coincidiendo con ella en n+1 puntos y en sus m
derivadas.
Un caso particular son los polinomios de Hermite, que interpola la función dada, y
coincide con ella en n+1, y en n puntos de la derivada primera. El polinomio de Hermite
está dado por
H2n+1(x) = Sumj=0
n f(xj)Hn,j(x) + Sumj=0
n f'(xj)HHn,j(x)
donde
Hn,j(x) = [1 - 2(x-xj)L'n,j(xj)]L2
n,j(x)
y
HHn,j(x) = (x-xj)L2
n,j(x)
y los Ln,j son los polinomios de Lagrange.
Ejercicios:
 Dibujar esquemáticamente los polinomios de Hermite (los H y los HH)
Si bien la descripción anterior es completa, el hecho de tener que evaluar los polinomios de
Lagrange y sus derivadas, lo hace un poco tedioso.
Una forma simple de encontrar los coeficientes es utilizando diferencias finitas, pero
definiendo nuevos puntos zi en la forma:
z1 = z2 = x1
z3 = z4 = x2
y en general:
z2i = z2i-1 = xi
Se hace el cálculo de diferencias finitas explicado anteriormente, pero como f[z2i,z2i-
1]=f[xi,xi] y este no está definido, entonces se usa la expresión del límite
f[z2i,z2i-1]=f'(xi)

2. 12.1 Definición
Definimos los polinomios de Hermite por:
dn
Hn(t) = (-l)V2 — e-t2 . (12.1)
(Hn(t)}neN* son polinomios de grado n. Se tiene que:
Hn(-t) = (-1)nHn(t) , (12.2)
es decir, Hn es par si n es par, e impar si n es impar.
Los primeros polinomios de Hermite son:
Ho(t) = 1 Hi(t) =
2t H2(t) = 4t2 - 2
H3(t) = 8t3 - 12t
Há(t) = 16t4 - 48t2
+ 12
12.2 Funcion generatriz
Consideremos la función
Su desarrollo en serie de Taylor sera:
Como:
Se dice que e2tx-x2 es la función generatriz de los polinomios de Hermite, vale decir, es aquella
función de dos variables tal que su desarrollo de Taylor en una de las variables tiene como coeficientes
precisamente los polinomios de Hermite.
A partir de (12.4) se pueden encontrar relaciones entre los polinomios de Hermite. La estrategia
para hallarlas (para esta o cualquier otra funcion generatriz de otros polinomios) es típica: derivar
parcialmente respecto a alguna de las variables y luego comparar potencias de x en los desarrollos en
Taylor resultantes.

3. Observemos que, si bien solo tiene sentido considerar polinomios de Hermite con índice positivo,
la expresion puede ser extendida a n = 0, aunque ello haga aparecer un factor H-1. En general, las
relaciones de recurrencia que obtendremos pueden considerarse validas para cualquier índice
entero, adoptando la convencion de que los polinomios con subíndices negativos tienen algun
valor adecuado, por ejemplo, cero.
La relación expresa un polinomio de Hermite en terminos de un operador (en este caso la
derivada) aplicado sobre el polinomio de Hermite inmediatamente superior. Un operador que
tiene tal propiedad se denomina operador de bajada. En este caso, el operador de bajada de los
polinomios de Hermite es (2n)-1dt.
2) Derivando respecto a x:

4. Comparando potencias de x:
H1(t) = 2tH0(t) ,
Hn+1 (t) = 2tHn(t) - 2nHn-1(t) , n > 1 .
O bien
Hn+1(t) = 2tHn(t) - 2nHn-1(t) , n > 0 .
2) Podemos utilizar las dos relaciones de recurrencia (12.5) y (12.6) para obtener una tercera:
Hn+1(t) = 2tHn(t) - Hn(t) .
Hemos pues encontrado el operador de subida para los polinomios de Hermite, a saber, 2t-dt.
Derivando (12.7):
H+1 = 2Hn + 2ÍH; - H
Es decir, los polinomios Hn son una solución de la ecuación de Hermite:
y"(t) - 2ty/(t) + 2ny(t) = 0 .
Observacion
Una gran cantidad de problemas físicos estón descritos por ecuaciones diferenciales en las que
interviene un operador Laplaciano (la ecuacion de Laplace, la ecuacion de onda, la ecuacion de
Schrodinger, etc.). Matematicamente, estas ecuaciones corresponden a casos particulares del
problema de Sturm-Liouville, vale decir, ecuaciones de autovalores para un un operador
diferencial autoadjunto. No entraremos en los detalles de esta discusión. Solo diremos que los
polinomios de Hermite son un caso particular de soluciones a un problema de Sturm-Liouville.
Dichas soluciones forman un conjunto completo y ortogonal, con cierta funcion de peso. En el caso
de familias de polinomios ortogonales, existen relaciones de recu¬rrencia que vinculan cada
polinomio con los de grados inmediatamente anterior y posterior, y tópicamente poseen una
función generatriz, asó como operadores de subida y de bajada. En los capótulos siguientes
encontraremos nuevas familias de polinomios ortogonales. Todos ellos provienen de sendos
problemas de Sturm-Liouville, y por tanto no sera extraño encontrar las mismas caracterósticas
que hemos identificado en los polinomios de Hermite.

5. Podemos ver que la función presenta el
mismo comportamiento ya que:
Por tanto el comportamiento asintótico de la función p en viene dado por la función
anterior (la función e» /2 se comporta también igual que la función p en y ^ ±cxi sin embargo conduce
a soluciones que no son normalizables). Por tanto, podemos escribir la solución de la ecuación de
Schrödinger independiente del tiempo de la siguiente forma:
donde el producto tiene que converger a cero en Vamos a ver la ecuación diferencial
que debe verificar la función u(y). Introduciendo la función p(y) anterior en la ecuación de
Schrödinger independiente del tiempo, teniendo en cuenta que:
Se obtiene:
Para resolver esta ecuación diferencial vamos a desarrollar la función v en potencias de y.
Introducimos este desarrollo en serie en la ecuación, teniendo en cuenta que
O bien

6. Para que esta función de y sea nula todos los coeficientes del desarrollo deben ser nulos, por lo
que obtenemos la siguiente relación de recurrencia para los coeficientes an:
Mediante esta relación de recurrencia obtenemos la solución de la ecuación. Como la ecuación
diferencial es de segundo orden en la solución deben aparecer dos constantes de integración, de
modo que podemos tomar como constantes de integración los coeficientes a0 y a1 - A partir de
estos dos coeficientes, mediante la relación de recurrencia, podemos obtener el resto de los
coeficientes del desarrollo de la función u(y). Vamos a analizar ahora el comportamiento de la
función u(y) para valores grandes de y. Dentro del desarrollo de u(y) en serie de potencias de y, los
coeficientes más significativos para valores grandes de y serán los de n grande, de modo que
vamos a analizar cómo se comportan los coeficientes an para valores grandes de n. De acuerdo con
la relación de recurrencia se obtiene que:
Por otro lado vamos a desarrollar la función ey2 en potencias de y:
de modo que los coeficientes del desarrollo de la función ey2 se comportan de la siguiente forma para
valores grandes de n:
En consecuencia, la función u(y) se comporta como la función ey2 para valores grandes de y, por
tanto al multiplicar u(y) por e_y/2 se obtiene una función que diverge para . La única
posibilidad de que el producto u(y)e_y/2 sea convergente para y ^ ±c» consiste en que el desarrollo en
serie de la función «(y) no contenga los infinitos términos, sino que se corte para algún valor de n, de
modo que a partir de ese valor el resto de los coeficientes sean nulos y «(y) sea un polinomio. Para
que esto ocurra se debe verificar que
Para algún valor de n. Esta ecuación nos da los posibles valores de A, de modo que A = 2n + 1 donde
n es un número entero. Los auto valores del hamiltoniano son por tanto de la forma:

7. y forman un espectro discreto no degenerado. Nos queda un pequeño detalle y es que tenemos dos
series de coeficientes números: unos que parten del valor a0 y otros que parten del valor al
(potencias pares e impares del desarrollo). Si una de las dos serie se cortan la otra no tiene por que
cortarse, de modo que tenemos que exigir que el coeficiente a0 l de la serie que no se corta sea nulo.
De este modo sólo nos queda una constante arbitraria que nos permite normalizar las autofunciones
del hamiltoniano. Vamos a ver cómo se generan las autofunciones del Hamiltoniano.
El primer autovalor se obtiene para n = 0 y por tanto A = 1. En la relación de recurrencia vemos
que la serie de potencias pares se corta en el segundo término, es decir que sólo aparece un témino
par, a0. En este caso tenemos que exigir que ai sea nulo. El estado fundamental es por tanto de la
forma:
donde C0 es una constante de normalización. Podemos ver que la energía del estado fundamental se
corresponde con la estimación que hicimos previamente a partir del principio de indeterminación.
El primer estado escitado corresponde a n = 1 y por tanto . En este caso es la serie de
potencias impares la que se corta, por lo que hay que imponer que a0 sea nulo. El primer estado
excitado es por tanto de la forma:
donde de nuevo Ci es una constante de normalización (posteriormente veremos por qué introducimos
las constantes C0, C 1 , - - - en lugar de utilizar las a0, a 1 , … . )
El segundo estado escitado se obtiene para n = 2 y por tanto 5. Ahora es la serie de
coeficientes pares la que se corta de modo que ai = 0. Si partimos de a0 el siguiente coeficiente será
a2 = —2a0, de modo que podemos escribir el segundo estado excitado como:
donde las funciones #n(y) son polinomios de grado n que se denominan los polinomios de Hermite. Se
puede comprobar que las autofunciones del Hamiltoniano forman una base del espacio de funciones
de onda. En el siguiente apartado veremos la forma explícita de los polinomios de Hermite y
algunas de sus propiedades. En la siguiente figura podemos ver las primeras autofunciones del
Hamiltoniano, así como la densidad de probabilidad de encontrar a la partícula.