1. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS Ecuaciones diferenciales homogéneas son aquellas ecuaciones diferenciales que se pueden escribir como una función exclusiva de y/x:

2. Una ecuación de la forma Es homogénea si P y Q son funciones homogéneas del mismo grado. Esto es así, pues podemos poner:

3. Y si se verifica la condición pedida: En particular, haciendo t = 1/x resulta:

4. Para resolver una ecuación homogénea hacemos el cambio (y, x) a (v, x), con v = y/x. En esas condiciones podemos poner: Que es una ecuación de variables separadas:

5. Ejemplo.- Resolver la ecuación diferencial: Haciendo el cambio v = y/x tenemos:

6. Y separando variables para integrar: Donde para encontrar el valor de los coeficientes indeterminados A y B hacemos:

7. Y dando a v los valores 0 y -1, respectivamente, obtenemos A = 1, B = -1 y nos queda: Y tomando antilogaritmos:

8. Vamos a ver ahora cual es la forma general del factor integrante de una ecuación homogénea. Sea la ecuación diferencial Si P(x, y) y Q(x, y) son funciones homogéneas del mismo grado, n, tomando t = 1/x, resulta:

9. Si hacemos el cambio v = y/x tenemos: Y sustituyendo en la expresión anterior:

10. Que también podemos poner: Multiplicando ahora todos los términos por el factor:

11. Resulta, finalmente: Que es una ecuación de variables separadas cuya resolución ya conocemos. Separamos e integramos cada variable.