1. Curso
Matemáticas Financieras
Unidad de aprendizaje 3
Carlos Mario Morales C © 2012

2. Contenido
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Gradientes
 Definición de gradiente
 Gradiente aritmético
 Amortización con cuota creciente
 Gradiente aritmético infinito
 Gradiente geométrico
 Gradiente geométrico infinito
 Gradientes escalonados
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3. Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Definición de gradiente
Serie de pagos que cumplen con las siguientes
condiciones:
 Los pagos cumplen con una ley de formación
 Los pagos se efectúan a iguales intervalos de
tiempo
 Todos los pagos se calculan a la mista tasa de
interés
 El número de pagos es igual al número de
periodos
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4. Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Ley de Formación
 Gradiente Lineal o Aritmético
 Gradiente Geométrico
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5. Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Gradiente Lineal o Aritmético
Se produce un incremento lineal en pago de
cada periodo.
Cuotas Periódicas
A +2K
Periodo 1 ---- A
A +K Periodo 2 ---- A+K
A Periodo 3 ---- A+2K
….
Periodo n ---- A+(n-1)K
0 1 2 3 … n
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6. Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Valor Presente Gradiente Aritmético
A +2K
A +K
A
0 1 2 3 … n
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7. Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Ejemplo 1
Hallar el valor presente de la siguiente serie, considerando
una tasa del 5%.
1800
1600
1400
1200
1000
800
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 1 2 3 4 5 6
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8. Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Ejemplo 1
1. Se calcula el valor presente en 2
Vp2 = (800/0,05)(1-(1+0,05)-6)+(200/0,05)((1-(1+0,05)-6)/0,05)-(6(1+0,05)-6)
Vp2 = 6456,55
Vp2 = 6456,55 + 800
Vp2 = 7256,55
2. Se calcula valor presente en 0
Vp0 = 800(1+0,05)-1 + 7256,55(1+0,05)-2
Vp0 = 7.343,80
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9. Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Valor Futuro Gradiente Aritmético
A +2K
A +K
A
0 1 2 3 … n
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10. Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Ejemplo 2
Se pacta pagar un crédito 1. Se calcula la cuota base (A)
de USD$100.000 en 4 pagos,
suponiendo una tasa del 8% 100.000 = (A/0,08)(1-(1+0,08)-4)
y un crecimiento lineal de +(12000/0,08)((1-(1+0,08)-4)/0,08)-(4(1+0,08)-4)
$USD12.000. Calcular la
cuota para cada periodo A = 13.339,66
2. Se calculan las cuotas por periodo.
Periodo 1 ---- $13.345
Periodo 2 ---- $25.345
Periodo 3 ---- $37.345
0 1 2 3 4 Periodo 4 ---- $49.345
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11. Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Tabla de Amortización (Ejemplo 2)
Saldo de Capital
0 0 100.000
13.345 8.000 5.345 94.655
1
25.345 7.572 17.773 76.882
2
3 37.345 6.151 31.194 45.688
4 49.345 3.655 45.690 (2)
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12. Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Ejemplo 3
Se pacta pagar un crédito 1. Se calcula la cuota base (A)
de USD$100.000 en 4 pagos,
suponiendo una tasa del 8% 100.000 = (A/0,08)(1-(1+0,08)-4) +(-
y un decremento lineal de 12000/0,08)((1-(1+0,08)-4)/0,08)-(4(1+0,08)-4)
$USD12.000. Calcular la
cuota para cada periodo A = 47.040,00
2. Se calculan las cuotas por periodo.
Periodo 1 ---- $47.040
Periodo 2 ---- $35.040
Periodo 3 ---- $23.040
0 1 2 3 4 Periodo 4 ---- $11.040
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13. Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Tabla de Amortización (Ejemplo 3)
Saldo de Capital
0 100.000
1 47.040 8.000 39.040 60.960
2 35.040 4.877 30.163 30.797
3 23.040 2.464 20.576 10.221
4 11.040 818 10.222 (2)
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14. Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Gradiente Aritmético Infinito
Se produce un incremento lineal en pago de
cada periodo.
Cuotas Periódicas
A +2K
Periodo 1 ---- A
A +K Periodo 2 ---- A+K
A Periodo 3 ---- A+2K
….
Periodo n ---- A+(n-1)K
0 1 2 3 … n
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15. Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Valor Presente Gradiente Aritmético Infinito
(Valor Presente)
A +2K
A +K
A
0 1 2 3 … n
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16. Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Gradiente Geométrico
Las cuotas crecen exponencialmente, con base en una
tasa de crecimiento.
Cuotas Periódicas
A(1+G)2
Periodo 1 ---- A
A(1+G)1 Periodo 2 ---- A(1+G)1
Periodo 3 ---- A(1+G)2
A Periodo 4 ---- A(1+G)3
….
Periodo n ---- A(1+G)n
0 1 2 3 … n
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17. Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Valor Presente Gradiente Geométrico
Se puede demostrar que el valor presente de una serie
geométrica, se puede expresar como:
A(1+G)2
A(1+G)1
A
0 1 2 3 … n
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18. Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Valor Futuro Gradiente Geométrico
Se puede demostrar que el valor futuro de una serie geométrica,
se puede expresar como:
A(1+G)2
A(1+G)1
A
0 1 2 3 … n
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19. Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Ejemplo 4
Elaborar la tabla de
amortización de un crédito de 1. Se calcula la cuota base (A)
USD$100.000 en 4 pagos,
suponiendo una tasa efectiva 100.000=(A(1+0,1)4(1+0,08)-4-1)/ (0,1-0,08)
del 8% y un crecimiento
geométrico de la cuota del 10% A = 26.261
2. Se calculan las cuotas por periodo.
Periodo 1 ---- 26.261
Periodo 2 ---- 26.261(1+0,1) = $28.888
Periodo 3 ---- 26.261(1+0,1)2= $31.776
0 1 2 3 4 Periodo 4 ---- 26.261(1+1,1)3= $34.954
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20. Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Tabla de Amortización (Ejemplo 4)
Saldo de Capital
0 0 100.000
1 26.261 8.000 18.261 81.739
2 28.888 6.539 22.349 59.390
3 31.776 4.751 27.025 32.365
4 34.954 2.589 32.365 1
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21. Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Ejemplo 5
Elaborar la tabla de 1. Se calcula la cuota base (A),
amortización de un crédito de considerando que G = i
USD$100.000 en 4 pagos,
suponiendo una tasa efectiva 100.000=(Ax4)/ (1+0,08)
del 8% y un crecimiento
geométrico de la cuota del 8% A = 27.000
2. Se calculan las cuotas por periodo.
Periodo 1 ---- $27.000
Periodo 2 ---- 27.000(1+0,08) = $29.160
Periodo 3 ---- 27.000(1+0,08)2= $31.493
0 1 2 3 4 Periodo 4 ---- 27.000(1+0,08)3= $34.012
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22. Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Tabla de Amortización (Ejemplo 5)
Saldo de Capital
0 0 100.000
1 27.000 8.000 19.000 81.000
2 29.160 6.480 22.680 58.320
3 31.493 4.666 26.827 31.493
4 34.012 2.519 31.493 -
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23. Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Ejemplo 6
1. Se calcula la cuota base (A),
Elaborar la tabla de
amortización de un crédito de considerando que G ≠ i
USD$100.000 en 4 pagos,
suponiendo una tasa efectiva 100.000=(A(1-0,1)4(1+0,08)-4-1)/ (-0,1-0,08)
del 8% y un decrecimiento
geométrico de la cuota del A = 34.766
10%
2. Se calculan las cuotas por periodo.
Periodo 1 ---- $34.766
Periodo 2 ---- 34.766(1-0,1) = $31.289
Periodo 3 ---- 34.766 (1-0,1)2= $28.160
0 1 2 3 4 Periodo 4 ---- 34.766 (1-0,1)3= $25.344
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24. Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Tabla de Amortización (Ejemplo 6)
Saldo de Capital
0 0 100.000
1 34.766 8.000 26.766 73.234
2 31.289 5.859 25.431 47.803
3 28.160 3.824 24.336 23.467
4 25.344 1.877 23.467 -
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25. Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Gradiente Geométrico Infinito (Valor Presente)
A(1+G)2
A(1+G)1
A
0 1 2 3 … n
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26. Gradientes
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Ejemplo 7
Hallar el valor presente de Se calcula el valor Presente
una serie infinita de pagos
que crecen un 10%, si la tasa Vp= 300/ (0,2- 0,1)
de interés es del 20% y el
primer pago es de $300 Vp = 3.000
Esto significa que si se colocan $3.000 al
20% podemos hacer infinitos retiros
crecientes en un 10%, partiendo de uno
de $300
0 1 2 … n
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