Este documento describe los conceptos de gradientes aritméticos y geométricos para series de pagos. Explica que los gradientes aritméticos implican pagos que aumentan o disminuyen en cantidades constantes, mientras que los gradientes geométricos implican pagos que aumentan o disminuyen a tasas constantes. Además, presenta fórmulas para calcular el valor presente y futuro de series de pagos con gradientes aritméticos y geométricos, y provee ejemplos numéricos para ilustrar los cálculos.

1. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
GradientesCarlos Mario Morales C ©2020

2. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Definición
Serie de pagos que cumplen con las siguientes
condiciones:
 Los pagos cumplen con una ley de formación
 Los pagos se efectúan a iguales intervalos de
tiempo
 Todos los pagos se calculan a la misma tasa de
interés
 El número de pagos es igual al número de
periodos
0 1 2 3 n…
A
𝑉𝑃
𝑖
Gradientes

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La ley de formación, la cual determina la serie de pagos, puede tener un
sinnúmero de variantes; no obstante, en la vida cotidiana las más utilizadas
son el gradiente aritmético y el geométrico; las cuales a su vez pueden
generar cuotas crecientes o decrecientes
Creciente
Decreciente
Aritmético
Creciente
Decreciente
Geométrico
Creciente
Decreciente
Otros
Ley de formación
Gradientes

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0 1 2 3 n-2 n-1 n
𝑨
𝑽𝑷
𝒊
𝑨 + 𝒌
𝑨 + 𝟐𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟑)𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟐)𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟏)𝒌
Para el gradiente aritmético, la ley de formación indica que cada pago es igual al
anterior, más una constante k; la cual puede ser positiva en cuyo caso las cuotas
son crecientes, negativa lo cual genera cuotas decrecientes
Ley de Formación
𝑨 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜
𝐴2 = 𝑨 + 𝒌 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜
𝐴3 = 𝐴2 + 𝑘 = 𝑨 + 𝟐𝒌 𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜
𝐴4 = 𝐴3 + 𝑘 = 𝑨 + 𝟑𝒌 𝐶𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜
… … … … … … … … …
𝐴 𝑛 = 𝑨 + 𝒏 − 𝟏 𝒌 𝑁𝑒𝑎𝑣𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜
Ley de formación
Gradientes Aritméticos

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𝑉𝑃 = 𝐴
1 − 1 + 𝑖 −𝑛
𝑖
+
𝐾
𝑖
)1 − (1 + 𝑖 −𝑛
𝑖
−
𝑛
1 + 𝑖 𝑛
0 1 2 3 n-2 n-1 n
𝑨
𝑽𝑷
𝒊
𝑨 + 𝒌
𝑨 + 𝟐𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟑)𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟐)𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟏)𝒌
Modelo: Valor Presente de una serie de pagos crecientes
aritméticamente
Gradientes Aritméticos

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Ejemplo: Calculo del VP
Gradientes Aritméticos

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Ejemplo: Calculo del VP – Comprobación
Gradientes Aritméticos
Nótese que el saldo al
cabo de los doce
meses es igual a cero

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𝑉𝐹 = 𝐴
1 + 𝑖 𝑛
− 1
𝑖
+
𝐾
𝑖
1 + 𝑖 𝑛
− 1
𝑖
− 𝑛
0 1 2 3 n-2 n-1 n
𝑨
𝑽𝑭
𝒊
𝑨 + 𝒌
𝑨 + 𝟐𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟑)𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟐)𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟏)𝒌
Modelo: Valor Futuro de una serie de pagos crecientes
aritméticamente
Gradientes Aritméticos

9. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Ejemplo: Calculo del VF
Gradientes Aritméticos

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Ejemplo: Calculo del VF Comprobación
Gradientes Aritméticos
Nótese que el saldo
corresponde al
ahorro calculado

11. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
𝑉𝑃 =
𝐴
𝑖
+
𝐾
𝑖2
Cuando se habla de pagos de gradientes matemáticos perpetuos, solo tiene
sentido hablar del valor presente, como equivalente de dichos pagos.
∞0 1 2 3 n-2 n-1 …
𝑨
𝑽𝑷
𝒊
𝑨 + 𝒌
𝑨 + 𝟐𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟑)𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟐)𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟏)𝒌
Modelo: Valor Presente de una serie de pagos crecientes aritméticamente
perpetuos
Gradientes Aritméticos

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Ejemplo: Perpetuo
Gradientes Aritméticos

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Ley de formación
𝑨 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜
𝐴2 = 𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜
𝐴3 = 𝐴2(1 + 𝐺) = 𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝟐 𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜
𝐴4 = 𝐴3(1 + 𝐺) = 𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝟑
𝐶𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜
… … … … … … … … …
𝐴 𝑛 = 𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝒏−𝟏 𝑁𝑒𝑎𝑣𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜
0
1 2 3 n-2 n-1 n
𝑨
𝑽𝑷
𝒊
𝑨(𝟏 + 𝑮)
𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝒏−𝟑
𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝒏−𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝒏−𝟏
De acuerdo a la ley de formación, en este caso, cada pago será igual al anterior
multiplicado por una constante, así como se indica
Ley de formación
Gradientes Geométricos

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𝐕𝐏
=
𝑨
𝐺 − 𝑖
1 + 𝐺 𝑛
1 + 𝑖 𝑛
− 1 𝑠𝑖 𝐺 ≠ 𝑖
=
𝑛𝐴
1 + 𝑖
𝑠𝑖 𝐺 = 𝑖
Modelo: Valor Presente de una serie de pagos crecientes
geométricamente
Gradientes Geométricos
0
1 2 3 n-2 n-1 n
𝑨
𝑽𝑷
𝒊
𝑨(𝟏 + 𝑮)
𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝒏−𝟑
𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝒏−𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝒏−𝟏

15. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Ejemplo VP
Gradientes Geométricos

16. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Ejemplo VP – Comprobación
Gradientes Geométricos
Nótese que el saldo al
cabo de los veinte
semestres es igual a
cero

17. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
𝑽𝑭
=
𝐀
𝐺 − 𝑖
1 + 𝐺 𝑛
− 1 + 𝑖 𝑛
; 𝑠𝑖 𝐺 ≠ 𝑖
=
𝑛A
1 + 𝑖 −𝑛+1
; 𝑠𝑖 𝐺 = 𝑖
0
1 2 3 n-2 n-1 n
𝑨
𝑽𝑷
𝒊
𝑨(𝟏 + 𝑮)
𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝒏−𝟑
𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝒏−𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝒏−𝟏
Modelo: Valor Futuro de una serie de pagos crecientes
geométricamente
Gradientes Geométricos

18. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Ejemplo VF
Gradientes Geométricos

19. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Ejemplo VF – Comprobación
Gradientes Geométricos
Nótese que al valor
final del ahorro se
logra entre los
periodos 24 y 25

20. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
𝐕𝐏
=
𝐴1
𝑖 − 𝐺
; 𝑠𝑖 𝐺 < 𝑖
= ∞; 𝑠𝑖 𝐺 ≥ 𝑖
Modelo: Valor presente de una serie de pagos perpetuos crecientes
geométricamente
Gradientes Geométricos
0
1 2 3 n-2 n-1 n
𝑨
𝑽𝑷
𝒊
𝑨(𝟏 + 𝑮)
𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝒏−𝟑
𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝒏−𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮) 𝒏−𝟏

21. Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
Ejemplo VP - Perpetuo
Gradientes Geométricos