1. [Escribir texto]
GRADIENTES O SERIES VARIABLES
COMPETENCIA: Identificar los elementos teóricos y prácticos que permitan al estudiante
comprender el concepto de gradiente gradientes y analizar el alcance de las fórmulas de
los gradientes dentro de un flujo de caja.
INTRODUCCIÓN
El propósito de este capítulo es el análisis de este modelo matemático llamado
gradientes o series variables. Es así como analizaremos una serie de pagos que
aumentan o disminuyen, cada uno con respecto al anterior en una cantidad constante de
dinero, la que llamaremos gradiente lineal o aritmético, y la serie de pagos que aumentan
o disminuyen en un porcentaje constante la que llamaremos gradiente geométrico.
Analizaremos, como caso especial, un tipo de gradiente llamado gradiente
escalonado, que es aquel cuyas cuotas permanecen fijas durante un tiempo
(generalmente un año) y después aumentan en una cantidad fija, en pesos o en
porcentaje.
 DEFINICIÓN: Se llaman gradientes a una serie de pagos periódicos que tienen una
ley de formación. Esta ley hace referencia a que los pagos pueden aumentar o
disminuir, con relación al pago anterior, en una cantidad constante en pesos o en
porcentajei
.
Ejemplo:
Una deuda cancelando con 6 cuotas mensuales, que aumentan cada mes en $5.000.
El valor de la primera cuota es de $100.000. Si la tasa de interés que se cobra en la
operación es el 3% mensual, calcular el valor inicial de la deuda.
El flujo de caja es el siguiente.

2. [Escribir texto]
Se elige el momento cero para plantear la ecuación de valor.
           03.103.103.103.103.103.1
654321
000.125000.120000.115000.110000.105000.100
P
P= 607.100.13
CONDICIONES PARA QUE UNA SERIE PAGOS SEA UN GRADIENTE:
 Los pagos deben tener una ley de formación.
 Los pagos deben ser periódicos.
 La serie de pagos debe tener un valor presente (p) equivalente y un valor futuro
(f) equivalente.
 El número de periodos debe ser igual al número de pagos.
GRADIENTE LINEAL O ARITMÉTICO
Serie de pagos periódicos tales que cada pago es igual al anterior aumentado o
disminuido en una cantidad constante en pesos. Cuando la cantidad constante es
positiva, se genera el gradiente aritmético creciente. Cuando la cantidad constante es
negativa, se genera el gradiente aritmético decreciente. Por ejemplo, si una deuda se
está cancelando con cuotas mensuales que crecen cada mes en $5.000, la serie de
pagos conforman un gradiente lineal creciente. Si los pagos disminuyen en $5.000 cada
mes, su conjunto constituye un gradiente lineal decreciente.
GRADIENTE LINEAL CRECIENTE:
Valor presente de un gradiente lineal creciente
Es un valor ubicado en el presente, que resulta de sumar los valores presentes de una
serie de pagos que aumentan cada periodo una cantidad constante (G).
El flujo de caja que puede corresponder a una operación financiera cualquiera.

3. [Escribir texto]
Cada ingreso es igual anterior más 50. Esta variación en el valor de cada cuota la
llamaremos G.
El flujo de caja lo podemos descomponer en dos flujos equivalentes:
El valor presente del flujo inicial será igual a la suma de los valores p presentes de los
dos flujos equivalentes.
P=P1+P2
El primer flujo corresponde a una anualidad vencida cuyo valor presente equivalente es:
; donde: A=50 n=4 i= tasa efectiva periódica de la
operación. Analizando el segundo flujo, se observa que el incremento de la cuota (G)
comienza en el período 2.
El valor presente del segundo flujo es:
+
El valor presente P del flujo inicial es igual a pp 21

+
Donde P= Valor presente de la serie de gradientes.
A= Valor de la primera cuota de la serie de la serie variable sobre la cual crece o

4. [Escribir texto]
decrece el gradiente en forma lineal o exponencial.
i = Tasa interés de la operación, ésta debe estar en igual unidad al periodo
de pago. En la fórmula del gradiente debe ser siempre efectiva o vencida.
n = Número de pagos o ingresos, tiempo fijado entre dos pagos variables
crecientes o decrecientes de manera sucesiva.
G = Constante en que aumenta cada cuota.
Ejemplo 2: El valor de una máquina procesadora de arroz se está cancelando con 24
cuotas mensuales, que aumentan cada mes en $10.000, y el valor de la primera cuota
es de $150.000. Si la tasa de interés que se está cobrando es del 3% mensual, calcular
el valor de la máquina.
Notación algebraica:
 
 
 
    

















 

i
P
103.1
03.1
03.1
03.1
2424
24
24
24
24
03.0
1
03.0
000.10
03.0
1
000.150
P= $4.250.042.13

5. [Escribir texto]
Notación estándar: P= 150.000(P/A,3%,24)+10.000(P/G,3%,24)
Equivalente cancelar hoy $4.250.042.13 que cancelar 24 pagos mensuales, que
aumenten cada mes en $10.000, siendo el primer pago de $150.000, a una tasa de
interés del 3% mensual.
Ejemplo 3
Dado el siguiente flujo de caja, calcular el valor presente equivalente a una tasa de interés
del 2% mensual.
El flujo de caja está compuesto por dos series de ingresos: una anualidad que comienza
en el mes 4 y termina en el mes 6, y por una serie de gradientes lineal creciente que
comienza en el mes 8 y termina en el mes 11. La solución más sencilla se plantea
analizando las dos series en forma independiente y luego sumando los dos valores
presentes.
Cálculo del valor presente de la primera serie de ingresos.
El valor presente de la anualidad estará ubicado en el mes 3, si la tomamos como una
anualidad vencida ubicado un período anterior a la fecha del primer pago (ingreso).
 
  






 



i
i
n
n
i
Ap
1
1 1
 
 








02.1
02.1
3
3
02.0
500p

6. [Escribir texto]
)3%,2,/(500
94.441.1
APP
P


 02.1
3
94.441.1
p =1.358.77
Cálculo del valor presente de la segunda serie de ingresos. Esta serie corresponde a
un gradiente lineal creciente, en el que A= 600 G=100 i=2% y n=4
 
 
 
   

















 

02.102.1
02.1
02.1
02.1
44
4
4
4
4
02.0
1
02.0
100
02.0
1
600P
P=2.846.37 P: 600 (P/A,2%,4) + 100 (p/G,2%,4)
Este valor obtenido corresponde al presente del gradiente en el mes 7, por tal razón,
tenemos que trasladarlo al momento cero.
 02.1
7
37.846.2
P Donde P= 2.477.94
El valor presente de toda la serie será igual a la suma de los dos valores presentes.
P= 2.477.94+1.358.77
P= 3.836.71
VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE LINEAL CRECIENTE
Consiste en calcular un valor futuro equivalente a una serie de pagos periódicos que
aumentan una cantidad constante en pesos cada período.

7. [Escribir texto]
+
Ejemplo:
En una corporación que reconoce una tasa de interés trimestral del 9% se hacen
depósitos trimestrales, que aumentan cada trimestre en $100.000, durante 9 años. SÍ el
valor del primer depósito es de $500.000, calcular el valor acumulado al final del noveno.
El flujo de caja corresponde a un gradiente lineal creciente, en el que:
A= $500.000 I=9% Trimestral
n= 36 G=$100.000
F=?
   


















 
 36
09.0
1
09.0
000.100
09.0
1
000.500
09.109,1
3636
F
F= $340.423.164.14

8. [Escribir texto]
Ejemplo 2:
El señor Pérez desea comprar un vehículo que cuesta hoy $15.000.000. Para lograr
su propósito piensa hacer depósitos mensuales, durante dos años, que aumenten cada
mes en $50.000, en una entidad financiera que le reconoce el 2.5% mensual. Si la
inflación promedio mensual es del 1.5%, ¿de qué valor debe ser el primer depósito?
Se calcula en primer lugar el valor del vehículo al final de los dos años.
 i
n
PF  1
F = 15.000000  015.01
24

F= $21.442.542.18 Valor después de dos años
   


















 
 24
025.0
1
025.0
000.50
025.0
1
18.542.442.21
025.1025,1
2424
A
A= $146.664.83
GRADIENTE LINEAL CRECIENTE ANTICIPADO
En esta clase de gradientes los pagos cada período crecen en una cantidad constante de
dinero con respecto al pago anterior, pero el primer pago se realiza en el mismo
momento en que se hace la operación financiera.
FÓRMULA DE VALOR PRESENTE:
 
 
 
    

















 






ii
i
ii
i
nn
n
n
n
n
ii
G
AP
11
1
1
1
111
11
Como regla general, el valor presente y futuro anticipado de cualquier sistema de pagos,
es igual al valor presente o futuro vencido multiplicado por (1+i).
Ejemplo 1
¿Cuál será el valor de un electrodoméstico que se está financiando con 24 cuotas
mensuales anticipadas, que crecen cada mes en $20.000, si la primera cuota tiene un
valor de $100.000 y se paga el mismo día de la negociación? Asuma una tasa de interés
del 2.5% mensual.

9. [Escribir texto]
El flujo de caja de este ejercicio corresponde a un gradiente desfasado, ya que el pago
de la primera cuota no se realiza en el primer período.
A= $100.000 G= $20.000 i=2.5% mensual n=24 P=?
 
 
 
    

















 

025.1025.1
025.1
025.1025.0
025.1
2424
24
24
24
24
025.0
1
025.0
000.201
000.100P
P= $5.481.280.45 Valor del gradiente ubicado en el período -1. Como interesa conocer
el valor del electrodoméstico en el momento cero, se traslada este valor a un período
siguiente, lo que equivale cargarle al valor obtenido, los intereses de un período a una
tasa de interés del 2.5% mensual.
P =5.481.280.45 (1.025)
P= 5.618.312.46
F= 5.481.280.45 (F/P ,2.5%, 1 )
 
 
 
    

















 
 
025.1025.1
025.1
025.1025.0
025.1
124124
24
124
24
24
025.0
1
025.0
000.201
000.100P
= $ 5.618.312.46
Ejemplo 2:
Un trabajador se propone invertir en la empresa donde trabaja cuotas mensuales que
aumenten cada mes en $50.000. Si empieza hoy con $500.000, ¿cuál será el valor de su

10. [Escribir texto]
inversión al término de un año, sabiendo que su dinero gana el 2% mensual?
El ejercicio corresponde al cálculo del valor futuro de un gradiente lineal creciente
anticipado.
+
F= $10.440.994.57
GRADIENTE LINEAL DECRECIENTE
Valor presente de un gradiente lineal decreciente
Es un valor ubicado en el presente equivalente a una serie de pagos periódicos que
tienen la característica de disminuir, cada uno con respecto al anterior, en una cantidad
constante de dinero (G).
     02.112
02.0
1
02.0
000.50
02.0
1
000.500
02.102,1
1212


















 
F

11. [Escribir texto]
P = Valor presente de la serie de gradientes
A = Valor de la primera cuota
i = tasa de interés efectiva periódica
n = número de pagos o ingresos
G = constante en que disminuye cada cuota
Ejemplo 1
Una vivienda se está cancelando con 180 cuotas mensuales que decrecen en $10.000
cada mes, siendo la primera cuota de $3.015.896.71. Si la tasa de financiación que está
cobrando es del 3% mensual, calcular el valor de la vivienda.
Notación algebraica fecha focal en el momento cero.
 
 
 
    

















 

03.103.1
03.1
03.103.0
03.1
180180
180
180
180
180
03.0
1
03.0
000.101
71.896.015.3P
p=$ 89.274.924.47
Para este ejemplo las cuotas disminuyen en $10.000 cada mes. Si la primera cuota es a,
la cuota del segundo mes será a-10.000, la tercera cuota será a-20.000, la cuarta cuota
será a-30.000 y la enésima cuota será a-(n-1)g.

12. [Escribir texto]
El valor de la cuota número 180 es: cuota n =A-(n-1)G
Cuota 180=3.015.896.71 - (180-1)*10.000
Cuota 180 =$1.225.896.71
La expresión para calcular el valor de cualquier cuota es:
Cn= valor de la cuota
n= número de la cuota
G= disminución en el valor de cada cuota.
Ejemplo 2
Se desea financiar un vehículo que cuesta $10.000.000 por medio de 12 cuotas mensual
es decreciente en una cantidad fija en pesos, cobrando una tasa de interés del 2.0%
mensual. Calcular el valor de la primera cuota y el valor del gradiente.
33.333.033.1$
02.0*000.000.10
12
000.000.10


A
A
El valor del gradiente se calcula dividiendo el valor de los intereses sobre el número de
cuotas:
67.666.16$
12
000.200
G
Lo que indica que la deuda de $10.000.000 se cancela con 12 cuotas mensuales que lo
decrecen en $16.666.67, siendo la primera cuota $1.033.333.33.
GRADIENTE GEOMÉTRICO O EXPONENCIAL
Se llama gradiente geométrico a una serie de pagos periódicos tales que cada uno es
igual al anterior disminuido o aumentado en un porcentaje fijo. En este tipo de gradientes
también se presenta el gradiente geométrico creciente y decreciente, dependiendo de
que las cuotas aumenten o disminuyan en ese porcentaje.
GRADIENTE GEOMÉTRICO CRECIENTE
Valor presente de un gradiente geométrico creciente
Es un valor ubicado en el presente, equivalente a una serie de pagos periódicos que
aumentan cada uno, con respecto al anterior, en un porcentaje fijo.

13. [Escribir texto]
 
   
  
para
ij
AP
i
iJ
n
nn













1
11 i ≠ j
P= valor presente de la serie de gradiente geométrico
A= valor de la primera cuota
J= variación porcentual de la cuota con respecto a la anterior
I= tasa de interés de la operación financiera
n= número de pagos o ingresos de la operación financiera
Ejemplo 1:
Una obligación se está cancelando mediante el pago de una cuota inicial de $ 5.000.000
y 24 cuotas mensuales que aumentan un 5% cada mes. Si el valor de la primera cuota
es de $1.500.000 y se cobra una tasa de interés del 4% mensual, calcular:
 El valor de la obligación
 El valor de la cuota 22
 
   
   










04.1
04.105.1
24
2424
04.005.0
000.500.1000.000.5P P=$43.727.111.74

14. [Escribir texto]
Para este ejemplo la cuota aumenta en un 5% (j) cada mes. Si la primera cuota es de
$1.500.000 y la llamamos A, la segunda cuota será A (1+j), la tercera cuota será =
 jA 1
2
, la cuarta cuota será igual a=  jA 1
3
y la enésima cuota será igual a
 j
n
A 

1
1
El valor de la cuota # 22 es: cuota 22 =1.500.000 05.01
122


Cuota 22= $4.178.943.88
La expresión para calcular cualquier cuota es: Cn=  j
n
A 

1
1
Cn= valor de la cuota n
A= valor de la primera cuota
j= porcentaje de incremento de cada cuota
Ejemplo 2:
Un abogado desea adquirir una oficina que tiene un valor de $45.000.000. Le plantean su
financiación de la siguiente forma: cuota inicial del 20%, 36 pagos mensuales que
aumenten cada mes en un 2% y una cuota extraordinaria pagadera en el mes 24 por valor
de $2.000.000. Si la tasa de financiación que se cobra es del 3% mensual, calcular el
valor de la primera cuota.
La cuota extraordinaria por valor de $2.000.000 pagadera en el mes 24 es una cuota
adicional a las cuotas normales de pago. Para la solución es necesario plantear una
ecuación de valor que agrupe la cuota inicial, la cuota extraordinaria y las cuotas normales
de pago.

15. [Escribir texto]
Planteamos la ecuación de valor tomando como fecha focal el momento cero. Se observa
que la tasa de interés de la operación financiera es diferente a la tasa incremento de las
cuotas, por lo tanto, para calcular el valor presente del sistema de gradientes utilizamos:
 
   
  
jipara
ij
AP
i
iJ
n
nn














1
11
 
 
   
   










03.1
03.102.1
03.1
36
3636
24
03.002.0
000.000.2
000.000.9000.000.45 A
A= $1.182.287.56
VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO CRECIENTE
El valor futuro de un gradiente geométrico es un valor ubicado en la fecha del último pago
o ingreso equivalente a una serie de pagos periódicos, que crecen cada período en un
porcentaje constante (j).
El flujo de caja general de un gradiente geométrico creciente se muestra en el siguiente
diagrama:
Para el cálculo del valor futuro de un gradiente geométrico creciente nos apoyamos en
la fórmula básica:
 
   
 
iJpara
ij
AF
iJ
nn












 11

16. [Escribir texto]
Ejemplo:
Calcular el valor futuro equivalente a 12 pagos que aumentan cada mes en 2.0% si se
cobra una tasa del 3% mensual, siendo el primer pago de $2.000.000.
El flujo de caja corresponde a un gradiente geométrico creciente, en el que la primera
cuota (A) tiene un valor de $2.000.000, cada cuota crece con respecto a la cuota
anterior en un 2.0% mensual y la tasa de interés de la operación financiera es del 3%
mensual.
 
   
  











03.002.0
000.000.2
03.0102.01
1212
F
F= $31.503.818.46
SALDO DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO CRECIENTE:
Se va a financiar una vivienda que tiene un valor de $50.000.000 a una tasa de interés
del 2.0% mensual, por medio de 120 cuotas que crecen cada mes en un 1.0% calcule el
saldo después de pagada la cuota 40.
Calculamos en primer lugar el valor de la primera cuota, aplicando
 
   
   












i
iJ
n
nn
ij
AP
1
11
 
   
   












02.01
02.0101.01
120
120120
02.001.0
000.000.50 A
A= $721.064.02
Se calcula el saldo después de pagada la cuota 40, para lo cual se utiliza dos
procedimientos:
Primer procedimiento: en función de las cuotas que faltan por pagar.
Calculamos el valor de la cuota 41, que viene a ser la primera cuota del nuevo sistema de
gradientes, luego de cancelada la cuota 40.

17. [Escribir texto]
Cn=  j
n
A 

1
1
C41=721.064.02 01.01
141


C41= $1.073.566.07
El saldo es el valor presente de las 80 cuotas que faltan por pagar.
 
   
   










02.1
02.101.1
80
8080
02.001.0
07.566.073.140 AS
S40=$58.544.793.
GRADIENTE GEOMÉTRICO DECRECIENTE
Lo constituyen una serie de pagos o ingresos que disminuyen periódicamente en un
porcentaje constante.
VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO DECRECIENTE
El valor presente de un gradiente geométrico decreciente es un valor, ubicado un periodo
anterior a la fecha del primer pago, equivalente a una serie de pagos o ingresos que
disminuyen periódicamente en un porcentaje fijo (j).
P= Valor presente.
J= tasa de incremento de las cuotas.
A= valor de la primera cuota.
n= número de cuotas.

18. [Escribir texto]
i= tasa de interés de la operación.
j≠i
 
ij
iI
A
P 


Ejemplo:
Calcular el valor presente de 12 pagos trimestrales que disminuyen cada trimestre en
2%, siendo el primer pago de $500.000. La tasa de interés es del 32% capitalizable
trimestralmente.
Calculamos la tasa efectiva de la operación financiera.
trimestral
m
j
i %808.0
4
32.0

   
    












08.01
02.0108.01
12
1212
08.002.0
AP
P=$3.441.890.96
VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO DECRECIENTE
Es un valor futuro equivalente a una serie periódica de pagos o ingresos que
disminuyen en un porcentaje fijo. El valor futuro de esta serie queda ubicado en la fecha
del último pago o ingreso.
 
   
   












i
ji
n
nn
ij
AP
1
11

19. [Escribir texto]
Ejemplo:
Calcular el valor que se tendrá ahorrado en una entidad financiera si se hacen seis
depósitos que disminuyen cada mes en un 1%, el primer depósito es de $2.000.000 y le
reconocen una tasa de interés del 2% mensual.
El flujo de caja del ejercicio corresponde a un gradiente geométrico decreciente, en el
que:
A=$2.000.000
n= 6
 
   
  











02.001.0
000.000.2
01.0102.01
66
F
j=1.0% F= $12.312.151.32
i=2.0%
CÁLCULO DEL SALDO DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO DECRECIENTE
Es lo que se debe en cualquier momento del plazo de una obligación que se está
cancelando por medio de una serie de pagos periódicos que disminuyen en un porcentaje
fijo. Para su cálculo matemático se aplican los dos procedimientos como anualidades,
gradientes lineales y gradiente geométrico creciente.
Ejemplo:
Para una obligación COMERCIAL DE $12.000.000 que se está cancelando con 10 cuotas
mensuales, disminuye en un 2.0% cada mes, cuál es el saldo después de pagada la
sexta cuota. La tasa de financiación es del 1.5%.
   
    












015.01
02.01015.01
10
1010
015.002.0
000.000.12 A
A= $1.419.134.01
Pasamos a calcular el saldo después de pagada la cuota sexta.
Procedimiento: Al cancelar la sexta cuota queda un nuevo sistema de gradientes, en él la

20. [Escribir texto]
primera cuota es la séptima cuota, que no se conoce.
Para el cálculo tenemos:
 02.01
17
7
01.134.419.1 

C
05.129.257.17
C
El saldo será igual al valor presente de las 4 cuotas que faltan por cancelarse
   
   












015.01
02.01015.1
4
44
015.002.0
05.129.257.1S
S= $4.703.791.33
i
Tomado de http://matematicafinancieraitfip.blogspot.com/
Apartes del documento tomados del libro Fundamentos de Matemáticas Financieras. Páginas 176 a 213.
Autores Carlos Ramírez Molinares, Milton García Barboza, Cristo Pantoja Algarín, Ariel Zambrano Meza. En
línea. Consultado en http://issuu.com/alfredoalzuru/docs/fundamentosmatematicasfinancieras
)1(
1
j
n
ACn 

