El documento presenta 19 problemas resueltos sobre sistemas de ecuaciones lineales, abarcando diferentes métodos de resolución como el método de Gauss, la regla de Cramer, y analizando la solución de acuerdo a diferentes valores de parámetros. Los problemas van desde la resolución directa hasta discusiones más complejas sobre la existencia y naturaleza de soluciones.

1. MATEMÁTICAS 2ºBACH
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1. Resuelve por el método de Gauss el sistema:
Solución:
2. Resuelve por el método de Gauss el sistema:
Solución: Sistema incompatible. No tiene solución.
3. Resuelve por el método de Gauss el sistema:
Solución:
4. Resuelve por el método de Gauss el sistema:
Solución:
5. Resuelve utilizando la regla de Cramer, en caso de ser posible, el sistema:
Solución:
6. Discutir y resolver según los distintos valores del parámetro a el siguiente sistema de
ecuaciones:

2. Solución:
-
-
7. Discutir y resolver según los distintos valores del parámetro m el siguiente sistema de
ecuaciones:
Solución:
8. Discutir y resolver en los casos que sea posible el sistema de ecuaciones:
Solución:
-
-
9. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones según los valores del parámetro k:
Solución:
-

3. 10. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones:
Solución:
11. Resuelve aplicando el método de Gauss:
Solución:
12. Discutir según los valores del parámetro m el siguiente sistema de ecuaciones lineales.
Resuélvelo, si es posible, en el caso
Solución:
Para
se obtiene el sistema:
El sistema tiene infinitas soluciones dependientes de un parámetro t (
:
13. a) Si en un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas el rango de la matriz
de coeficientes es 3, ¿podemos afirmar que el sistema es compatible? Razona la
respuesta.
b) Discute según los valores del parámetro m el sistema de ecuaciones lineales:

4. c) Resuelve el sistema anterior para el caso
Solución:
a) Sí, pues tanto la matriz de coeficientes como la ampliada tienen el mismo rango
(en este caso 3), cumpliéndose así la condición necesaria y suficiente para que un
sistema sea compatible del Th. de Rouché-Fröbenius.
b)
c)
14. Discutir según los valores del parámetro a el siguiente sistema de ecuaciones:
Solución:
15. Halla tres números sabiendo que el primero menos el segundo es igual a un quinto del
tercero, si al doble del primero le restamos seis nos queda la suma del segundo y el
tercero y, además, el triple del segundo menos el doble del tercero es igual al primero
menos ocho.
Solución:
16. Dado el sistema:
a) Añádele una ecuación lineal al sistema dado de modo que el sistema resultante
sea incompatible.

5. b) Añádele una ecuación lineal al sistema dado de modo que el sistema resultante
sea compatible indeterminado.
c) Resuelve el sistema obtenido en el apartado anterior.
Solución:
a) Para obtener un sistema incompatible, los rangos de la matriz de coeficientes y
de la matriz ampliada tienen que ser distintos, luego, bastará con añadirle al
sistema una ecuación que sea suma de las otras dos, excepto el término
independiente. Por ejemplo, se podría añadir la ecuación:
b) Para obtener un sistema compatible indeterminado, los rangos de la matriz de
coeficientes y de la matriz ampliada tienen que ser iguales y, a su vez, menores
que el número de incógnitas. En este caso, habrá que añadir al sistema una
ecuación que sea suma de las otras dos. Por ejemplo, se podría añadir la
ecuación:
c) Aplicando la regla de Cramer se obtiene como solución:
17. Determinar el valor de a para que el siguiente sistema homogéneo tenga solución
distinta de la trivial:
Solución:
Un sistema homogéneo siempre tiene solución (la solución:
denominada solución trivial).
La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga solución
distinta de la trivial es que el rango de la matriz de coeficientes del sistema sea menor
que el número de incógnitas. Es decir:
, siendo A la matriz
de coeficientes del sistema.
Solución:
18. Dado el sistema de ecuaciones se pide:
a) Calcular a y b de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma
el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el sistema
original.

6. b) Calcular las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las
incógnitas sea igual a 4.
Solución:
a)
b) La solución general del sistema es:
Como ha de cumplirse:
se obtiene como solución:
19. Calcula α para que el sistema homogéneo siguiente tenga más soluciones que la trivial.
Resuélvelo para dicho valor.
Solución:
El sistema que tenemos que resolver es:
(Se ha eliminado la 2ª ecuación por ser combinación lineal de las otras dos). Las
soluciones de este sistema serán: