1. Informates.edu Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM.
2. Funciones reales de una variable real
2.3. Continuidad 2.3.1. DEFINICIONES Y PROPIEDADES
Continuidad de una funci´on en un punto
Sea y = f(x) una funci´on definida en un entorno del punto a ∈ R. Se dice que f es continua en a si
lim
x→a
f(x) = f(a).
Tipos de discontinuidad
Si una funci´on no es continua en un punto se dice que presenta una discontinuidad, que puede ser:
• evitable si existe y es finito el l´ımite de la funci´on en el punto.
• esencial si no existe o es infinito alguno de los l´ımites laterales de la funci´on en el punto.
• de salto si existen y son finitos los dos l´ımites laterales de la funci´on en el punto.
Observaci´on: Cuando una funci´on presenta una discontinuidad evitable en un punto se puede redefinir en
dicho punto para convertirla en una funci´on continua.
Continuidad lateral
• Se dice que f es continua por la izquierda en a si lim
x→a−
f(x) = f(a)
• Se dice que f es continua por la derecha en a si lim
x→a+
f(x) = f(a)
Obviamente, una funci´on es continua en un punto si y s´olo si es continua por la derecha y por la izquierda.
Continuidad en intervalos
Una funci´on es continua en un intervalo cuando lo es en cada uno de los puntos del intervalo, entendi´endose
continuidad lateral en los extremos del mismo (por la derecha en el extremo de la izquierda y por la izquierda
en el extremo de la derecha).
Propiedades de la continuidad
1. Si f y g son dos funciones continua en a, entonces las funciones f ± g y f · g son continuas en a. Adem´as,
si g(a) = 0 la funci´on f/g es tambi´en continua en a.
2. Si f es continua en a y g es continua en f(a), entonces g ◦ f es continua en a.
Continuidad de las funciones elementales
De las propiedades de los l´ımites y de la continuidad, se puede deducir que todas las funciones elementales son
continuas en su dominio de definici´on.
Ejercicios
1. Estudia en qu´e puntos son continuas y en cu´ales discontinuas cada una de las siguientes funciones:
(a) f(x) = x2
− 1 (b) f(x) =
1
x
(c) f(x) = x sin
1
x
(d) E(x) = x
2. Se consideran las funciones f(x) = 1
x−1 , g(x) = x−1
|x−1| y h(x) = (x−1)2
|x−1| que no est´an definidas en x = 1.
¿Se pueden definir en ese punto para que sean continuas?
3. Determina los valores de b y c para que sea continua en toda la recta real la funci´on:
f(x) =
x + 1 , si |x − 2| < 1
x2 + bx + c , si |x − 2| ≥ 1
4. Estudia la continuidad (clasificando sus discontinuidades) de las siguientes funciones:
(a) f(x) =
√
x + 3(x − 1)
1 + 31/x (2x2 − 3x + 1)
(b) f(x) =
1
x − 2
−
1
|x − 2|
sin x
x2 + x
e
−1
|x−1|