Este documento presenta los conceptos de continuidad y infinitésimos en cálculo diferencial e integral. Explica que una función de varias variables es continua si su límite existe en todos los puntos de su dominio, y que las funciones elementales y las composiciones de funciones continuas también son continuas. Además, introduce el concepto de infinitésimo como una extensión del caso de una variable real.

1. CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL II
Dr. Juan E. Nápoles Valdes

2. CONTINUIDAD: Continuidad de funciones de dos
variables independientes. Continuidad de funciones de n
variables independientes. Continuidad uniforme.
INFINITESIMOS: Comparación de funciones.
Infinitésimos. Comparación de infinitésimos. Infinitésimos
de comparación.
Objetivos Instructivos. Con esta clase pretendemos que los alumnos sean capaces de conocer:
• El concepto de función continua en un punto.
• El concepto de infinitésimo, como una extensión del caso de una variable real.
Unidad 2 CONTINUIDAD

3. Sea una función f real, definida sobre un
dominio B de Rn, que contiene el punto
P0(x10, x20, …, x10).
1.f es continua en P0, si lim
𝑥→𝑃0
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑃0).
2.f es continua sobre B (puede ser Rn) si
f es continua en todos los puntos de B.
Si f es continua en todos los puntos de Rn,
diremos que es continua en todo punto
(donde quiera).

4. ( , ) ( , )
lim ( , ) ( , )
x y a b
f x y f a b


Esto significa que una superficie que es la
gráfica de una función continua no tiene agujero
ni rotura.

5. Usando las propiedades de los límites, se puede ver que las
sumas, diferencias, productos, cocientes (siempre que el
denominador sea diferente de cero) de funciones continuas,
son continuas en sus dominios.
Las funciones elementales de varias variables, son funciones
continuas.

6. 2 2
2 1
( , )
xy
g x y
x y



4 3 2 4
( , ) 5 6 7 6
f x y x x y xy y
    
2 2
2 2
( , )
x y
f x y
x y



¿Es continua en R2?
D = {(x, y) | (x, y) ≠ (0, 0)}

7. 2
2 2
3
if ( , ) (0,0)
( , )
0 if ( , ) (0,0)
x y
x y
f x y x y
x y



 

 


8. FUNCIONES COMPUESTAS. La composición de funciones
continuas, h(x)=(g◦f)(x) es también una función continua.
h(x, y) = arctan(y/x)
La función f(x,y)=y/x es una función
racional y por tanto, continua
excepto en la recta x = 0.
La función g(t)=arctan t es continua
donde quiera.
Así, la función compuesta es
continua en todo el plano, excepto
en x=0.

12. 𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑐𝑜𝑠𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
, 𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
𝑐𝑜𝑠𝑦, 𝑠𝑖 𝑥 = 0

13. lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑔(𝑥, 𝑦)
= 𝑘
Si f y g son dos infinitésimos en (0,0) y