_Clase de continuidad y asíntotas

1. CÁLCULO 1
Continuidad y Asíntotas de una
Función
Departamento de Ciencias
SEMANA 02

2. REFLEXIÓN DEL DÍA
Da lo mejor de ti cada día!!!

3. Sabias que la noción intuitiva de continuidad
y discontinuidad lo observamos en…
REPRESENTACIONES GRÁFICAS

4. Sabias que la noción intuitiva de continuidad
y discontinuidad lo observamos en…
LA NATURALEZA

5. Sabias que la noción intuitiva de continuidad
y discontinuidad lo observamos en…
EL SERVICIO DE TELEFONÍA MÓVIL

6. Sabias que la noción intuitiva de continuidad
y discontinuidad lo observamos en…
ALGUNOS PASATIEMPOS

7. Saberes previos









5
,
2
5
,
8
)
(
x
si
x
x
si
x
x
f
 Consideremos una función definida por:
f
6
36
)
(
2



x
x
x
f
 Dada la función definida por , ¿Para qué
valor de la función no está definida?
x
Si no es así, ¿por qué no existe?
¿Existe ? Si es así, ¿cuál es el valor de este límite?
)
(
5
x
f
Lím
x 
 ¿Cuál es la definición del límite de una función )
(x
f
cuando tiende a ?
x a

8. Idea Intuitiva de Continuidad
En el lenguaje ordinario usamos la
palabra continuo para describir un
proceso que se sigue sin interrupción o
sin cambios abruptos.
Considerando esta noción, trataremos
de definir intuitivamente la
continuidad aplicada a las funciones de
variable real.
Augustin Louis Cauchy
(1789-1857)
El concepto de función
continua fue presentado
por vez primera por
Cauchy en 1821, en su
texto Cours d’Analyse

9. Idea Intuitiva de Continuidad
𝑥0
x
y 𝑦 = 𝑓 𝑥
𝑥0
x
y 𝑦 = g 𝑥
𝑥0
x
y
𝑦 = ℎ 𝑥
Considerando las siguientes gráficas de las
funciones f, g y h; indique ¿Cuál de éstas
funciones presenta continuidad en el punto
x =x0?

10. Idea Intuitiva de Continuidad
¿Qué observamos en cada uno de los gráficos?
¿Qué entendemos por continuidad?
¿Qué gráficas presentan asíntotas?

11. Ingresos por la distribución de petróleo
Volumen de entrega
(en galones)
Precio por galón Cargo por Servicio
Menos de 100 $ 8,0 $ 60
Desde 100 hasta 200 $ 7,8 $ 80
Más de 200 $ 7,6 $ 50
Una compañía dedicada
a la distribución de
combustibles anuncia,
para todos sus clientes,
los siguientes precios
del petróleo:
a) Halle la función ingreso, cuando la compañía distribuye a sus clientes
x galones de combustible.
b) Determine si hay puntos de discontinuidad en dicha función e
Interprete

12. LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión el estudiante resuelve
ejercicios en los que clasifica las funciones que
modelan fenómenos naturales, económicos y
tecnológicos como continuas y discontinuas,
haciendo uso correcto de la definición de
continuidad y de la teoría del cálculo de
asíntotas de una función.

13. CONTENIDOS
1. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
1.1) Continuidad en un punto
1.2) Continuidad en un intervalo.
1.3) Tipos de discontinuidad
1.4) Propiedades
2. ASÍNTOTAS
2.1) Definición
2.2) Tipos de asíntotas

14. Definición 1.1
1. Continuidad de una función
1.1) Continuidad en un punto
Diremos que una función es continua en el punto
cuando satisface las tres condiciones:
𝑓 𝑥 = 𝑥0
El valor de está definido, es decir:
𝑓 𝑥0 𝑥0 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓

lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥
Existe el

𝑓 𝑥0 = lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥

1.2) Continuidad en un intervalo
Definición 1.2
Diremos que una función es continua en un intervalo
si es continua en todo punto de
𝑓 𝐼
𝑓 𝐼 ⊂ 𝐷𝑜𝑚𝑓

15. 1. Continuidad de una función
EJEMPLO
𝒚 = 𝒙𝟐
+ 𝟏
x
y
𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟒
3
10
Dada la función 𝑓 definida por:
𝑓 𝑥 =
𝑥2 + 1 ; 𝑥 ≤ 3
2𝑥 + 4 ; 𝑥 > 3
Analice la continuidad de 𝑓 en 𝑥 = 3.
i) Existe 𝑓(3), pues 𝑓 3 = 10
ii) Existe el lim
𝑥→3
𝑓(𝑥), pues
lim
𝑥→3−
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→3−
𝑥2 + 1 = 10
lim
𝑥→3+
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→3+
2𝑥 + 4 = 10
iii) lim
𝑥→3
𝑓 𝑥 = 𝑓(3).
∴ 𝑓 es continua en 𝑥 = 3.
Solución:

16. Discontinuidad de Segunda Especie
3
Discontinuidad de Primera Especie
2
Discontinuidad Evitable o Removible
1
1. Continuidad de una función
1.3) Tipos de discontinuidad
Diremos que una función de variable real tiene una
discontinuidad evitable en un punto si:
𝑓
𝑥 = 𝑥0
y existe en el ; o bien
𝑥0 ∉ 𝐷𝑜𝑚𝑓
 ℝ lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥
y existe en el
𝑥0 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓
 ℝ lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 ≠ 𝑓 𝑥0
tiene discontinuidad de primera especie en un punto
si sus límites laterales existen y son diferentes
𝑓
𝑥 = 𝑥0
tiene discontinuidad de segunda especie en un punto
si sus límites laterales no existen
𝑓
𝑥 = 𝑥0

17. 1. Continuidad de una función
1.3) Tipos de discontinuidad

18. Discontinuidad Evitable o removible
Diremos que una función de variable real tiene una
discontinuidad evitable en un punto si:
𝑓
𝑥 = 𝑎
y existe en el ; o bien
𝑎 ∉ 𝐷𝑜𝑚𝑓
I) ℝ lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
y existe en el
𝑎 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓
II) ℝ lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ≠ 𝑓 𝑎
L L
( I ) ( II )

19. Discontinuidad de primera especie
tiene discontinuidad de primera especie en un punto
si sus límites laterales existen y son diferentes
𝑓
𝑥 = 𝑥0

20. Discontinuidad de Segunda Especie
tiene discontinuidad de segunda especie en un punto
si sus límites laterales no existen
𝑓
𝑥 = 𝑥0

21. 1. Continuidad de una función
EJEMPLO.- Determine si la función f , con regla de correspondencia
𝑓(𝑥) =
𝑥2−3𝑥
𝑥−3
, es continua en 𝑥 = 3.
Solución:
No existe f(3), entonces f es discontinua en x=3.
a pesar de que el límite si existe.
lim
𝑥→3
𝑥2
− 3𝑥
𝑥 − 3
= lim
𝑥→3
𝑥(𝑥 − 3)
𝑥 − 3
= lim
𝑥→3
𝑥 = 3
3
3
x
y

22. 1.4) Propiedades de las funciones continuas
c
en
continua
es
g
f 
c
en
continua
es
kf
c
en
continua
es
x
g
x
f )
(
).
(
0
)
(
,
)
(
)
(

c
g
que
siempre
c
en
continua
es
x
g
x
f
1.
2.
3.
4.
1. Continuidad de una función
La función polinomial
es continua en .
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛
+ 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0
ℝ
La función racional es continua en su dominio
𝑓 𝑥 =
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
Sean f y g dos funciones continuas en el punto c, entonces:

24. 2. Asíntotas
2.1) Definición
Si la gráfica de una función se acerca a una recta, cuando
o tienden al infinito, a dicha recta se le denomina:
ASÍNTOTA de la función.
𝑥 y
Observación.
No todas las funciones tienen asíntotas
Las asíntotas de una función pueden ser:
Vertical
Horizontal

25. 2. Asíntotas
2.2) Tipos de Asíntotas
2.2.1 ASÍNTOTAS VERTICALES
2.2.2 ASÍNTOTAS HORIZONTALES
La recta x = a es una asíntota vertical de y = f(x)
si se cumple una de las relaciones siguientes:
i)
ii)
iii)
x a
x a
x a
limf(x)
lim f(x)
lim f(x)





 
 
 
La recta y = b es una asíntota horizontal de y = f(x)
si se cumple una de las relaciones siguientes:
i)
ii)
iii)
x
x
x
lim f(x) b
lim f(x) b
limf(x) b







26. 2. Asíntotas
2.2.1 ASÍNTOTAS OBLÍCUAS
La recta y = mx + n es una asíntota oblicua de y = f(x)
si se cumple las dos condiciones:
 
x x
f(x)
(i) lim m (ii) lim f(x) mx n
x
 
   
Halle las asíntotas de:
EJEMPLO
A) Asíntota Vertical
Analizando los límites laterales
en x = 1.
i)
ii)
Por lo tanto, la función tiene
una asíntota vertical en x = 1.
x
x
lim
x
lim
x






  

  

1
1
1 1
1 0
1 1
1 0
B) Asíntota Horizontal
C) Asíntota Oblicua
Conclusión ,la función no tiene asíntota oblicua
x
lim
x



1
0
1
Por lo tanto, y = 0 es
asíntota horizontal.
x x
x
m lim lim
x x x
 

  

2
1
1
1 0
1
1
)
(


x
x
f

27. 2. Asíntotas
Asíntotas
Vertical Horizontal
( )
: ( )
( )
f x
Si h x
g x

Resolver: g(x)=0
Asíntota Vertical
x=Constante
lim ( )
x
f x k


Asíntota Horizontal
y=Constante
Asíntota Oblicua
y=f(x)=mx+b
Calcular:
x
f(x
li
x
m m
)



 
x
(x)
li b
m
m x
f


 
Resolver:
Oblicuas

29. En equipos de 4 estudiantes desarrollar los ejercicios indicados
por el docente de los niveles 1, 2 y 3.
TRABAJO EN EQUIPO

30. Reflexionemos:
1. ¿Por qué es importante conocer la definición
de continuidad y asíntotas de una función?
2. ¿Qué dificultades se presentaron en la
solución de los ejercicios?
3. ¿Qué aprendiste en esta sesión?

31. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
# CÓDIGO AUTOR TÍTULO EDITORIAL
1
515.33
PURC
PURCELL,
EDWIN J.
Cálculo Diferencial E
Integral
Pearson
Educación
2
515
STEW/P
2007
STEWART,
JAMES
Cálculo De Una
Variable:
Transcendentes
Tempranas
Thomson
Learning
3
515.15/
LARS
LARSON,
RON
Cálculo Mcgraw-Hill