Este documento presenta el teorema de Cayley-Hamilton, el cual establece que el polinomio característico de una matriz A anula a A. Se demuestra aplicando propiedades de polinomios con coeficientes matriciales y la relación entre una matriz y su adjunta. También se presentan corolarios para operadores lineales y división de polinomios.

1. Teorema de Cayley-Hamilton
Objetivos. Demostrar el teorema de Cayley-Hamilton. Conocer el concepto de matrices
con entradas polinomiales.
Requisitos. Polinomio de un operador lineal, polinomio de una matriz, matriz adjunta,
definici´n formal del producto de polinomios.
o
El enunciado del teorema de Cayley-Hamilton
1. Ejemplo. Sea
3 −1
A= .
2 1
El polinomio caracter´
ıstico de A es
CA (λ) = λ2 − 4λ + 5.
Calculemos CA (A).
3 −1 3 −1 9 − 2 −3 − 1 7 −4
A2 = = = ,
2 1 2 1 6 + 2 −2 + 1 8 −1
7 −4 −12 4 5 0 0 0
CA (A) = A2 − 4A + 5I = + + = .
8 −1 −8 −4 0 5 0 0
El teorema de Cayley-Hamilton dice que para toda matriz A ∈ Mn (F),
CA (A) = 0n,n .
La demostraci´n del teorema no es trivial. Necesitamos unas herramientas avanzadas.
o
Polinomios con coeficientes matriciales
2. Polinomios con coeficientes matriciales. Sean P0 , . . . , Pm ∈ Mn (F). Entonces la
expresi´n
o
P (λ) := P0 + P1 λ + P2 λ2 + . . . + Pm λm
se llama polinomio con coeficientes matriciales. Si A ∈ Mn (F), entonces se pone
P der (A) = P0 + P1 A + P2 A2 + . . . + Pm Am ,
P izq (A) = P0 + AP1 + A2 P2 + . . . + Am Pm .
En vez de P der (A) escribimos simplemente P (A).
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2. 3. Ejemplo cuando (P Q)(A) = P (A)Q(A). Polinomios con coeficientes matriciales
no cumplen algunas de las propiedades de los polinomios con coeficientes num´ricos.
e
Mostremos un ejemplo de polinomios P , Q con coeficientes matriciales tales que
(P Q)(A) = P (A)Q(A).
Sean
1 0 0 1 0 0
P (λ) = λ, Q(λ) = , A= .
0 1 0 0 1 0
Entonces
0 1 1 0 0 0
(P Q)(λ) = λ, (P Q)(A) = , P (A)Q(A) = .
0 0 0 0 0 1
4. Lema para el teorema de Cayley-Hamilton: condici´n suficiente para la
o
igualdad (P Q)(A) = P (A)Q(A). Sean P y Q polinomios con coeficientes matriciales:
m s
i
P (λ) = Pi λ , Q(λ) = Qj λj ,
i=0 j=0
donde Pi , Qj ∈ Mn (F), y sea A ∈ Mn (F) una matriz que conmuta con todos los coefi-
cientes del polinomio Q:
Qj A = AQj ∀j ∈ {0, . . . , s}.
Entonces
(P Q)(A) = P (A)Q(A).
Demostraci´n. Recordamos la definici´n del producto de polinomios:
o o
 
m+s
 
(P Q)(λ) = 
 Pi Q j  λ k .

k=0 i,j :
i+j=k
De all´
ı  
m+s
 
(P Q)(A) = 
 Pi Q j  A k .

k=0 i,j :
i+j=k
Por otro lado,
m s
i
P (A)Q(A) = Pi A Qj Aj = Pi Ai Qj Aj .
i=0 j=0 0≤i≤m
0≤j≤n
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3. Juntando los sumandos en grupos con i + j = k podemos escribir el resultado de la
siguiente manera:  
m+s
 
P (A)Q(A) = 
 Pi Ai Qj Aj  .

k=0 i,j :
i+j=k
Ahora usamos la condici´n que A conmuta con Qj :
o
Pi Ai Qj Aj = Pi Qj Ai+j .
De all´ obtenemos que
ı
m+s
P (A)Q(A) = Pi Qj Ak = (P Q)(A).
k=0 i,j :
i+j=k
5. Ejemplo que muestra la idea de la demostraci´n del teorema de Cayley-
o
Hamilton. Sea  
3 −1 2
A= 1 4 −2  .
3 2 3
Definimos
P (λ) := adj(λI − A)Q(λ) := λI − A.
Escriba P (λ) y Q(λ) en forma expl´
ıcita como matrices con coeficientes polinomiales, luego
escriba P (λ) y Q(λ) como polinomios con coeficientes matriciales y calcule el producto
P (λ)Q(λ).
6. Teorema (Cayley-Hamilton). Sea A ∈ Mn (F). Entonces
CA (A) = 0,
donde CA (λ) = det(λI − A) es el polinomio caracter´
ıstico de A.
Demostraci´n. Sabemos que para toda matriz cuadrada B se tiene
o
adj(B)B = det(B)I,
donde adj(B) es la matriz adjunta cl´sica de B o sea la matriz de cofactores conjugada.
a
Apliquemos este resultado a la matriz λI − A:
adj(λI − A)(λI − A) = det(λI − A) · I = CA (λ)I.
Pongamos
P (λ) = adj(λI − A), Q(λ) = λI − A.
Estas expresiones son matrices con entradas polinomiales, las vamos a tratar como poli-
nomiales con coeficientes matriciales. Notemos que los coeficientes de Q son I y A, y estas
matrices conmutan con A. Por el lema,
CA (A) = P (A)Q(A) = P (A) · (IA − A) = 0n,n .
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4. 7. Corolario (teorema de Cayley-Hamilton para operadores lineales). Sea V un
EV/F, dim(V ) = n < +∞ y sea T ∈ L(V ). Entonces CT (T ) = 0.
8. Nota. Despu´s de estudiar la forma can´nica de Jordan de una matriz veremos otra
e o
demostraci´n del teorema de Cayley-Hamilton (para el caso F = C).
o
9. Corolario. Sean A ∈ Mn (F), f ∈ P(()F). Entonces existe un polinomio g ∈ P(()F)
tal que deg(g) < n y g(A) = f (A).
Demostraci´n. Dividamos f entre CA con residuo:
o
f (λ) = CA (λ)q(λ) + g(λ).
Aqu´ q, g ∈ P(()F) y deg(g) < n. Sustituyendo λ por A se obtiene que f (A) = g(A).
ı
10. Ejemplo. Calculemos f (A), donde f (x) = x3 − 6x2 + x − 3 y la matriz A es la misma
que en el ejemplo anterior:
3 −1
A= .
2 1
Dividamos f entre CA :
f (x) = (x3 − 4x2 + 5x − 1) = (x2 − 4x + 5)(x − 2) + (−12x + 7).
Pongamos g(x) = −12x + 7. Entonces
−29 12
f (A) = g(A) = −12A + 7I = .
−24 −5
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