2. Arcos planos. Definición
Directriz curva plana. Sección transversal despreciable.
Curvatura pequeña: radio mucho mayor que el canto R>>h
Varias condiciones de apoyo en los extremos.
1
3. Ejemplos
Velódromo olímpico (Atenas) Puente del Milenio (Londres)
Puente romano (Córcega)
Puente Michigan (Detroit) L=80 m
2
4. Teoría básica
Esfuerzos internos: N, M, Q
Hipótesis de Navier: secciones perpendiculares a la directriz
curva se mantienen perpendiculares a la directriz deformada
R >> h Es aplicable la teoría de flexión de vigas, en un dominio
curvo (ds sustituye a dx), pero hay acople entre N y M.
Energía elástica:
N2 M2
∫ ds + ∫ ds + ∫ N αTmds − ∫ M αTgds
*
U =
2EA 2EI
3
5. Ecuaciones de equilibrio
qs
M Q+dQ
ds M+dM
N
N+dN
Q
Equilibrio radial: dQ N
Nuevo término asociado a N = qs +
ds R
dM
Equilibrio de momentos: = −Q
ds
4
6. Arco triarticulado (I)
Isostático
C
fB
fA
B
h
A
LA LB
Se aplica la fórmula de los pórticos planos
b=2 n=3 r=4 c=1
6 b + r = 16 3 n + 3 b + c = 16 h=0
5
7. Arco triarticulado (II)
CY
CX
CY
fB
fA
B
h
A
LA LB
∑ M AAC ) = 0
( extAC
−C x fA + C y LA + M A =0
CX, CY
∑ M BBC ) = 0
( extCB
C x fB + C y LB + M B =0
6
8. Arco triarticulado simétrico. Carga uniforme (1)
q
q
CX
f
AY
L
AX
Forma y(x) sin definir.
Gran reacción horizontal
Por simetría: CY=0 en los apoyos (1/f)
qL2 qL2 qL
Cx = − Cy = 0 Ax = Ay =
8f 8f 2
7
9. Arco triarticulado sin momento flector (2)
M N
qL qL2 qx 2 q Q
M = x− y−
2 8f 2
M =0
qL/2
qL2/8f
4f x
y = 2 (Lx − x 2 ) Parábola simétrica
L
qL2 qL
Q = qx cos α + sin α − cos α = 0
8f 2
Sustituyendo forma parabólica
8
10. Arco triarticulado sin momento flector (3)
1/ 2
qL qL2 ⎛ L4 L2 ⎞
N = qx sin α − sin α − cos α N = −q ⎜
⎜ + x − xL + ⎟
2
⎟
⎟
2 8f ⎜ 64 f 2
⎝ 4⎠
Es siempre de compresión
qL 2
qL
NX = − NY = qx −
8f 2
Proyección horizontal constante
qL2
NClave =−
qL 2 2 1/ 2
8f
N A = − (L + 16 f )
8f
Valor máximo en los apoyos
9
11. Arco triarticulado parabólico. Deformación
Fuerza virtual unitaria
V=1
1/2 1/2
L/2f L/2f
L 1 L 1
N 0V
= − cos α − sin α Q 0V = sin α − cos α
2f 2 2f 2
1 1 1
ΔCY = ∫ N N 0V ds + ∫ (M = 0) M 0V ds = ∫ N N 0V ds
EA EI EA
10
12. Arco triarticulado parabólico. Deformación
L 1
N 0V = − cos α − sin α
V=1 2f 2
1/2 1/2
1/ 2
⎛ L4 L2 ⎞
L/2f L/2f
N = −q ⎜
⎜ + x − xL + ⎟
2
⎟
⎟
⎜ 64 f 2
⎝ 4⎠
1 ⎛ −L 1 ⎞ 1 ⎛ −L 1 ⎞
ΔCY = ∫ N ⎜
⎜ cos α − sin α⎟ ds =
⎟
⎟ ∫ N ⎜
⎜ − tan α⎟ cos α ds
⎟
⎟
⎜ 2f
EA ⎝ 2 ⎠ ⎜ 2f
EA ⎝ 2 ⎠
1 ⎛ −L 4 f ⎞
ΔCY = ∫ N ⎜
⎜ − 2 (L − 2x )⎟ dx
⎟
⎟
⎜ 2f
EA ⎝ L ⎠
11
13. Simplificaciones habituales
• Rigidez axial infinita. Se desprecia la energía debida al esfuerzo axial
1
γ= =0
EA
• Momento de inercia variable según la ley de la secante
Flexibilidad a flexión μ variable según la ley coseno
I0
I = I 0 sec α = I0 : momento de inercia en la clave
cos α
1 1
μ= = cos α = μ0 cos α
EI EI 0
Simplifica las integrales pues :
∫ f (x ) μds = ∫ f (x ) μ 0 cos α ds = μ0 ∫ f (x )dx
12
14. Arco biarticulado parabólico. Carga uniforme (1)
q
f
M0 M1
0 N0 N1
q Q 1
Q
L
qL/2
h=1 X1=Ax
x 1 x
q
M 0 = (Lx − x 2 ) M 1 = −y
2
Parabólico 4f
Sin energía de esfuerzo axial. y= (Lx − x 2 )
L2
Inercia variable según la ley de la secante
13
15. Arco biarticulado parabólico. Carga uniforme (2)
M 1 = −y
f11 = ∫ N 1 γN 1ds + ∫ M 1μM 1ds = ∫ (−y )2 μ ds
f11 = ∫ (−y ) μ
2
0 cos α ds = ∫ y 2 μ0 dx
8μ0 f 2 L
f11 =
15
Sin energía de esfuerzo axial.
Inercia variable según la ley de la secante
14
16. Arco biarticulado parabólico. Carga uniforme (3)
q
M = (Lx − x 2 )
0
M0
N0
2 q 0
Q
D1 = −∫ N 0 γN 1ds − ∫ M 0 μM 1ds =
q
D =1 −∫ (Lx − x 2 ) μ(−y )ds
2 qL/2
q
D1 = −∫ (Lx − x 2 ) μ0 cos α(−y ) ds
2 x
q μ0 f L3
D1 =
15
D1 qL2
AX = =
f11 8f
15
17. Arco biarticulado parabólico. Carga uniforme (4)
M0 M1
0 N0 1 N1
q Q Q
q M 1 = −y
M = (Lx − x 2 )
0
qL/2 2
qL2
AX =
x 1 x
8f
2
q0 2 4f 2 qL
M = M − yAX = (Lx − x ) − 2 (Lx − x ) =0
2 L 8f
Sustituyendo forma parabólica
qL2 qL
Q = qx cos α + sin α − cos α = 0
8f 2
Sin momento flector. Mismo comportamiento que el arco triarticulado
16
18. Arco biarticulado parabólico. Carga uniforme (5)
Esfuerzo axial (igual que el triarticulado)
1/ 2
qL qL2
⎛ L4 L2 ⎞
N = qx sin α − sin α − cos α N = −q ⎜
⎜ + x 2 − xL + ⎟ ⎟
⎟
2 8f ⎜ 64 f 2
⎝ 4⎠
qL2 Es siempre de compresión
NX = −
8f
qL
NY = qx −
2 qL2
N NClave =−
8f
qL 2 2 1/ 2
N A = − (L + 16 f )
8f
Valor máximo en los apoyos
17
19. Arco biarticulado parabólico. Carga puntual
P 5P μ0 f L2 75PL
D1 = −∫ (L − x ) (−y )μ0 cos αds = AX =
2 48 384 f
P ⎛ 75x 2 ⎞
0
M = M − yAX = ⎜
⎜ − 27x ⎟
⎟
⎟
96 ⎜ L
⎝ ⎠
P
M
neg
M max = −0.0253PL x = 9L / 50
M clave = 0.0547PL
18
20. Arco biarticulado. Cálculo de la rigidez (1)
Cálculo de la columna 1: deformación unidad en δIX
K21 K41
IX=1 K31
K11
h=1 X1 = K 11 Caso 1
Sin energía de esfuerzo axial. f11 = ∫ M 1μM 1ds = ∫ (−y )2 μds
Condición de compatibilidad:
1 1
f11X1 = 1 X1 = = ≡ K11
f11
∫ y μds
2
19
21. Arco biarticulado. Cálculo de la rigidez (2)
Cálculo de la columna 1
K21 K41
IX=1 K31
K11
Condición de compatibilidad: f11X1 = D1 + 1 D1 = 0
1 1
X1 = = ≡ K11 ⎡ K 11 ⎤
f11 ⎢ ⎥
∫ y μds
2
⎢ K =0 ⎥
⎢ 21 ⎥
⎢ ⎥
⎢ K 31 = −K11 ⎥
⎢ ⎥
K 31 = −K 11 K 21 = K 41 = 0 ⎢ K 41 = 0 ⎥
⎣ ⎦
20
22. Arco biarticulado. Matriz de rigidez
Columnas 2 y 4 nulas IY JY
Columna 3 igual a la 1 y
Agrupando las 4 columnas IX JX
⎡ 1 0 −1 0⎤
⎢ ⎥
⎢ 0 0 0 0⎥
1 ⎢ ⎥
KL = ⎢−1 0 1 0⎥⎥
∫ y μds ⎢
2
⎢ ⎥
⎢ 0 0 0 0⎥
⎣ ⎦
Sólo aporta rigidez en la dirección X
Sin energía de esfuerzo axial.
21
23. Arco biarticulado parabólico. Rigidez
Directriz parabólica.
Inercia según la secante: I=I0 sec α
I0 inercia en la clave
8f 2 L
∫ y 2μds = ∫ y 2μ0 cos α ds = ∫ y 2μ0dx =
15EI 0
⎡ 1 0 −1 0 ⎤
⎢ ⎥
⎢ 0 0⎥
15EI 0 ⎢ 0 0
⎥
KL = ⎢
8Lf 2 ⎢−1 0 1 0⎥⎥
⎢ ⎥
⎢ 0 0 0 0⎥
⎣ ⎦
Si f se anula, no se obtiene la rigidez de la barra recta
pues no se ha considerado la energía de axial
22
24. Arco biarticulado circular. Carga uniforme (1)
M0
N0 M1
q Q0 1 N1
Q
y
qL/2
x
R e x
1 x
L
q M 1 = −y
h=1 X1=Ax M = (Lx − x 2 )
0
2
Longitud del arco S=2Rα
Inercia constante. Sin energía de axial
f11 = ∫ M 1μM 1ds = ∫ (−y )2 μRd θ
y = R cos θ − e
R 2S + 2e 2S − 3eLR x = R sin θ + L / 2
f11 =
2EI
23
25. Arco biarticulado circular. Carga uniforme (2)
+α
q
D1 = −∫ M μM ds = −∫
0 1
(Lx − x 2 ) μ(−y )Rd θ
−α
2
q
D1 = (2RL3 − 3L2eS − 6e 2RL + 6R2eS )
24EI
3 2 2 2
q 2RL − 3L eS − 6e RL + 6R eS
X = AX =
12 R 2S + 2e 2S − 3eLR
M 1=-yA x
Momento flector f Ax
q
M = M − yAX = (Lx − x 2 ) − (R cos θ − e)AX
0
2
M0 qL 2/8
Momento máximo en la clave x=L/2, θ=0
q ⎛ L L2 ⎞ qL2
M max
= ⎜L − ⎟ − (R − e)AX =
⎜ ⎟
⎟ − fAX
2⎝⎜ 2 4⎠ 8
24
26. Arco biarticulado circular. Rigidez
Directriz circular: Radio R, Luz L.
Longitud del arco S=2Rα
Inercia constante
Particularizando la expresión general de la
rigidez del arco biarticulado
y = R cos θ − e
+α
∫ y μds = ∫ (R cos θ − e) μ ds = ∫
2 2
(R cos θ − e)2 μ Rd θ
−α
⎡ 1 0 −1 0⎤
⎢ ⎥
⎢ 0 0 0 0⎥
2EI ⎢ ⎥
KL = 2 ⎢
R S + 2e 2S − 3eL R ⎢−1 0 1 0⎥⎥
⎢ ⎥
⎢ 0 0 0 0⎥
⎣ ⎦
25
27. Arco atirantado
No se transmite reacción horizontal en A.
Tampoco en B para cargas verticales
Flexibilidad del tirante
1 L
ρt = =
Kt Et At
N t = K t Δt + N 0t
Pretensión de montaje en el tirante: N0t
Positiva a tracción
Error en longitud del tirante:
(positivo más largo) λt = −N 0t ρt
N t = K t (Δt − λt )
26
28. Arco atirantado. Cálculo por flexibilidad
h=1 X1=Nt
M0
N0
q Q0
q M 1 = −y
M 0 = (Lx − x 2 )
qL/2 2 N 1 = − cos α
f11 = ∫ M 1μM 1ds + N t1ρt N t1 = ∫ (−y )2 μds + (1)ρt (1)
Directriz parabólica
8μ0 f 2L Inercia según la secante:
∫
2
f11 = y μ0dx + ρt = + ρt I=I0 sec α
15
qf μ0L3
D1 = −∫ M μM ds − N ρ N − λt N =
0 1 0
t t
1
− λt
t
1
t
27
15
29. Arco atirantado. Esfuerzo en el tirante
La pretensión aumenta el
esfuerzo final en el tirante
qf μ0L3
+ N 0t
D 15ρt
X = 1 = Nt =
f11 8μ0 f 2L
+1
15ρt
Constante D > 1
Esfuerzo final en el tirante siempre positivo
para q hacia abajo y pretensión de tracción
Nota:
Si ρt=0 (tensor infinitamente rígido) sale Nt = q L 2 / 8f
como en el arco biarticulado
28
30. Arco atirantado. Momento flector
q
M = M 0 + XM 1 = M 0 + N t (−y ) = (Lx − x 2 ) − y N t
2
Momento sin tirante El tirante hace disminuir el
(Punto A libre) momento flector. Disminuye
más cuanto más arriba (y)
Momento en la clave C:
qL2
MC = M (x = L 2) = − f Nt M1=-yNt
8
Similar al arco biarticulado:
2 M=M0 – y Nt
biart qL
MC = − f AX
8 M0
29
31. Arco atirantado. Esfuerzo axial
⎛ qL ⎞
N = N + XN = ⎜−
0 1
⎟
⎜ 2 + qx ⎠ sin α − N t cos α
⎝ ⎟
Axial siempre de compresión
La tracción del tirante
Axial sin tirante (Punto A libre)
aumenta el valor de la
(negativo)
compresión en el arco.
NC = −N t
N1 = - cos
N0
N=N0 – Nt cos
30
32. Arco atirantado. Deformación del apoyo A
Es igual a la deformación del tirante
N
Δt
Nt = + N 0t N0t
ρt
t
Despejando la deformación:
Δt = (N t − N 0t )ρt
Sustituyendo el valor del esfuerzo en el tirante:
qf μ0L3 1 − D D= denominador de la expresión
Δt = + ρt N 0t del esfuerzo en el tirante. D>1
15D D
Segundo sumando negativo.
La pretensión hace disminuir la deformación del apoyo:
31
33. Arco atirantado pretensado. Resumen
Sin reacción horizontal en A. Tampoco en B para cargas verticales
Esfuerzo final en el tirante: 3
- siempre positivo para q hacia abajo y pretensión de tracción N t = qf μ0L + N 0t
- la pretensión aumenta el esfuerzo final en el tirante 15ρt D D
Aparece momento flector
q
- el esfuerzo en el tirante hace disminuir el flector M = (Lx − x 2 ) − y N t
2
Axial siempre de compresión
- La tracción del tirante aumenta el ⎛ qL ⎞
N = ⎜− + qx ⎟ sin α − N t cos α
⎜ 2 ⎟
⎟
valor de la compresión en el arco ⎝ ⎠
La pretensión hace disminuir qf μ0L3 1 − D
Δt = + ρt N 0t
la deformación del apoyo. 15D D
32
34. Arco biempotrado
q M0 N0 M1 N1
Q1
y Q0 y
B
Caso 1
Caso 0
A
x 1 x
M 1 = −y N 1 = − cos α
M2 N2 M3
2 N3
Q Q3
⎧A ⎫
⎪ X⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪ y y
X = ⎪ AY ⎪
⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎪ ⎪ Caso 3
⎪M A ⎪
⎪ ⎪
Caso 2
⎪ ⎪
⎩ ⎭ 1
x 1 x
M2 = x N 2 = − sin α M 3 = −1 N3 = 0
33
35. Arco biempotrado
Ecuaciones de compatibilidad: fX=D
⎡ I +J ⎤ ⎧ A ⎪ ⎧∫ N 0 γ cos αds + ∫ αTm cos αds − ∫ αTg yds + ∫ M 0μyds ⎫
⎪ ⎫ ⎪
−I 11 + J 11 I 01 ⎥ ⎪ x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎢ 02 02
⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎢ ⎥⎪ ⎪
⎢−I 11 + J 11 I 20 + J 20 −I 10 ⎥ ⎨ Ay ⎬ = ⎨ ∫ N γ sin αds + ∫ αTm sin αds − ∫ αTg xds − ∫ M μxds ⎬
0 0
⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎢ I 01 −I 10 I 00 ⎥⎥ ⎪M A ⎪ ⎪ ⎪
⎢⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎭ ⎪ −∫ αTgds + ∫ M μds
0
⎪
⎪
⎩ ⎪
⎭
I mn = ∫ μ x m y n ds m, n = 0,1, 2
J mn = ∫ γ sinm α cosn αds
Esfuerzos finales:
M = M 0 − yAX + xAY − M A N = N 0 − AX cos α − AY sin α
34
36. Arco biempotrado parabólico. Carga uniforme
Energía axial nula f jk = ∫ M j μ M k ds
M 1 = −y M2 = x M 3 = −1 A
B
Inercia según la ley de la secante
⎡ 8Lf 2 L2 f 2Lf ⎤
⎢ − ⎥
⎢ 15 3 3 ⎥
⎢ 2 ⎥
⎢ Lf L3 L2⎥
f = EI 0 ⎢− − ⎥
⎢ 3 3 2 ⎥
⎢ ⎥
⎢ 2Lf L2
⎢ 3 − L ⎥⎥
⎢⎣ 2 ⎥⎦
35
37. Arco biempotrado parabólico. Carga uniforme
M0
Coeficientes D D j = −∫ M μ M ds
0 j q N0
y Q0
0 qx 2
⎧−qL3 f /10EI ⎫ M =−
⎪
⎪ ⎪
0⎪ 2
⎪
⎪ ⎪
⎪ qL4 / 8EI ⎪
D=⎨ ⎪
0 ⎬
⎪
⎪ ⎪
⎪ −qL / 6EI ⎪
x
⎪
3 ⎪
0 ⎪
⎪
⎩ ⎪
⎭
⎧ A ⎫ ⎧qL2 / 8 f ⎫ Mismas reacciones que en el arco isostático
⎪ X⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ No hay momento en los apoyos
⎪ ⎪ ⎪
X = ⎨ AY ⎬ = ⎨ qL / 2 ⎪
⎬
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪M A ⎪ ⎪ 0 ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎩
⎩ ⎭ ⎪
⎭
36
38. Arco biempotrado parabólico. Carga uniforme
Momento flector: nulo !!
qx 2 qL2 qL
M = M 0 − yAX + xAY − M A = − −y +x +0= 0
2 8f 2
Axial: igual que en el arco isostático
1/ 2
⎛ L4 L2 ⎞
N = −q ⎜
⎜ + x 2 − xL + ⎟ ⎟
⎟
⎜ 64 f 2
⎝ 4⎠ Es siempre de compresión
qL2
N NClave =−
8f
qL 2 2 1/ 2
N A = − (L + 16 f )
8f
Valor máximo en los apoyos
37
39. Arco biempotrado. Cálculo de la rigidez (1)
M0 N0 M1 N1
Q1
Columna 1 de K h=3
y Q0 y
Caso 1
Caso 0
Descargado
x 1 x
M2 N2 M3
2 N3
Q Q3
X1 = AX = K11 y y
X 2 = A = K 21
Y
Caso 2 Caso 3
X 3 = M A = K 31
1
x 1 x
38
40. Arco biempotrado. Cálculo de la rigidez (2)
Sin energía de esfuerzo axial.
Directriz parabólica.
Inercia según la secante: I=I0 sec(α)
fij = ∫ M i μM jds
La matriz f es la empleada para el cálculo del arco por flexibilidad.
El vector D es nulo, pues el caso 0 está descargado.
Hay que considerar el desplazamiento impuesto en la dirección X
⎡ 8Lf 2 L2 f 2Lf ⎤
⎢ − ⎥
⎢ 15 3 3 ⎥ ⎡ K ⎤ ⎡ 1⎤
⎢ 2 ⎥ ⎢ 11 ⎥ ⎢ ⎥
⎢ Lf L3 L2 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
EI 0 ⎢− − ⎥⎢ K 21 ⎥ = ⎢ 0⎥
f X = D + Δ0 ⎢ 3 3 2 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢K 31 ⎥ ⎢ 0⎥
⎢ 2Lf L2
⎢ − L ⎥⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎢⎣ 3 2 ⎥⎦
39
41. Arco biempotrado. Cálculo de la rigidez (3)
Repitiendo para las columnas 1, 2 y 3 de K en el nudo I: sólo cambia la deformación unidad
Columna 1 Columna 2 Columna 3
Deformación impuesta
⎡ 8Lf 2 L2 f 2Lf⎤
⎢ − ⎥
⎢ 15 3 3 ⎥⎡ K13 ⎥⎤ ⎡⎢1 0 0⎤⎥
⎢ 2 ⎥ ⎢K11 K12
⎢ Lf L3 L2⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
EI 0 ⎢− − ⎥ ⎢K 21 K 22 K 23 ⎥ = ⎢ 0 1 0⎥ fII KII = I
⎢ 3 3 2 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢K ⎥ ⎢ 0 0 1⎥
⎢ 2Lf L2 ⎥ ⎢⎣ 31 K 32 K 33 ⎥
⎦ ⎣ ⎦
⎢ − L ⎥
⎢⎣ 3 2 ⎥⎦
−
KII = fII 1
Flexibilidad en el nudo I Rigidez en el nudo I
40
