Integración Numérica. Integrales Impropias

1. Integrales Impropias
Método de cálculo mediante la regla
Compuesta de Simpson
Ing. Eric Sira R.

2. Integrales Impropias
Se le denomina integral impropia a aquella cuyo integrando posee al menos un punto
singular dentro de los límites de integración
1
EJEMPLO: Resuelva la integral 𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝑑𝑥
𝑥 1/4
0
SOLUCIÓN: Se reescribe la integral de la forma:
1 1 1
𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑆𝑒𝑛( 𝑥) − 𝑃4 (𝑥) 𝑃4 (𝑥)
𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑥
𝑥 1/4 𝑥 1/4 𝑥 1/4
0 0 0
Donde 𝑃4 (𝑥) es el polinomio de Taylor de 4to orden de 𝑓 𝑥 = Sen(x)
Alrededor del punto singular 𝑥0 = 0
𝑥3
𝑃4 𝑥 = 𝑥 −
6
Ing. Eric Sira R.

3. Integrales Impropias
𝑆𝑒𝑛 𝑥 − 𝑃4 (𝑥)
Se define la función 𝐺 𝑥 = 𝑠𝑖 0 < 𝑥 ≤ 1
𝑥 1/4
0 𝑠𝑖 𝑥 = 0
Y se determina, usando la Regla Compuesta de Simpson la integral
1
𝐼1 = 𝐺 𝑥 𝑑𝑥
0
Para este caso en particular, con n=4 𝑏− 𝑎 1−0
ℎ= = = 0,25
𝑛 4
xi G(xi) Ci Ci*G(xi)
0,0000 0,0000000 1 0,0000000
0,2500 0,0000115 4 0,0000460
0,5000 0,0003079 2 0,0006157
0,7500 0,0020968 4 0,0083871
1,0000 0,0081377 1 0,0081377
Ing. Eric Sira R.

4. Integrales Impropias
Así
1 𝑛+1
ℎ 0,25
𝐼1 = 𝐺 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐶𝑖 𝐺 𝑥 𝑖 = (0,0171864)
0 3 3
𝑖=1
1
⇒ 𝐼1 = 𝐺 𝑥 𝑑𝑥 = 0,001432
0
Se calcula ahora la integral
𝑥3
1
𝑃4 (𝑥) 1 𝑥− 6 1
𝑥 11/4
𝐼2 = 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 = 𝑥 3/4 − 𝑑𝑥 = 0,526984
0 𝑥 1/4 0 𝑥 1/4 0 6
Finalmente,
𝟏
𝑺𝒆𝒏 𝒙
𝟏/𝟒
𝒅𝒙 = 𝑰 𝟏 + 𝑰 𝟐 = 𝟎, 𝟓𝟐𝟖𝟒𝟏𝟔
𝒙
𝟎
Ing. Eric Sira R.