2. EJEMPLO 1
La siguiente tabla contiene valores de la función f(x)
xi
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
f(x)
0.010
0.252
0.582
1.024
1.578
i
0
1
2
3
4=n
1.4
Estime el valor de la integral
f x dx
1.0
Mediante la aplicación de método del rectángulo, trapecio y
Simpson(1/3)
3. MÉTODO DEL RECTÁNGULO
Observe que los nodos xi están igualmente
espaciados , por lo tanto es válido utilizar las
fórmulas vistas.
El tamaño del intervalo h=xi+1-xi=0.1
n=4
Al aplicar el método de los rectángulos a los
datos del problema planteado se obtiene:
4. MÉTODO DEL RECTÁNGULO
1.4
n 1
3
f xdx h f x h f x 0.1 f x f x f x f x
1.0
1.4
i 0
i
i 0
n 1
i
0
1
2
3
f x dx h f x 0.1 0.010 0.252 0.586 1.024 0.187
1.0
i 0
i
5. MÉTODO DEL TRAPECIO
Al aplicar el método del trapecio al problema en cuestión, se
obtiene:
n 1
h
0 f x dx h f xi 2 f x0 f xn 2 f xi
i 0
i 1
1.
n 1
1.4
3
h
0 f x dx 2 f x0 f x4 2 f xi
i 1
1.
1.4
6. MÉTODO DEL TRAPECIO
1.4
h
0 f x dx 2 f x0 f x4 2 f x1 f x2 f x3
1.
1.4
0.1
0 f x dx 2 0.010 1.578 20.252 0.586 1.025
1.
1.4
f x dx 0.266
1.0
7. MÉTODO DE SIMPSON(1/3)
El método de Simpson (1/3) exige que el número de intervalos n,
sea par. En este caso n=4, por lo tanto, cumple con este
requerimiento y se puede aplicar este método, obteniendo lo
siguiente:
1
1
h
0 f x dx 3 f x0 f x4 4 f x2i1 2 f x2i
i 0
i 1
1.
1.4
h
0 f x dx 3 f x0 f xn 4 f x2i1 2 f x2i
i 0
i 1
1.
1.4
n2
2
n2
2
8. MÉTODO DE SIMPSON(1/3)
1.4
0.1
0 f x dx 3 f x0 f x4 4 f x1 f x3 2 f x2
1.
1.4
0.1
0 f x dx 3 0.010 1.578 40.252 1.024 20.586
1.
1.4
f x dx 0.262
1.0
9. EJEMPLO 2
Considere la función f(x)=x2, de la cual se ha construido
una tabla para valores de x con incrementos iguales a 0.25
i
xi
f(xi)
0
0
0
1
0.25
0.0625
2
0.50
0.25
3
0.75
0.5625
4
1.00
1.00
5
1.25
1.5625
6
1.50
2.25
7
1.75
3.0625
8
2.00
4
9
2.25
5.0625
10
2.50
6.25
11
2.75
7.5625
12
3.00
9
3
Estime el valor de la integral
x 2 dx
0
Utilizando el método de los rectángulos, de los
trapecios, de Simpson(1/3) y Simpson(3/8)
Integrando directamente, se obtiene:
3
x
x dx 3 9
0
0
3
3
2
10. MÉTODO DE LOS RECTÁNGULOS
El tamaño del intervalo es h=xi+1-xi=0.25
Aplicando el método de los rectángulos, se
obtiene:
3
n 1
11
0
i 0
i 0
x 2 dx h f xi 0.25 f xi
f x0 f x1 f x2 f x3 f x4 f x5
x dx 0.25 f x6 f x7 f x8 f x9 f x10 f x11
0
3
2
12. MÉTODO DE LOS TRAPECIOS
Aplicando el método de los trapecios a los datos del
problema planteado, se obtiene
n 1
h
2
x dx 2 f x0 f xn 2 f xi
i 1
0
3
3
0.25
x dx 2 f x0 f x12 2 f x1 f x2 ... f x11
0
2
13. MÉTODO DE LOS TRAPECIOS
f 0.25 f 0.50 f 0.75 f 1.00 f 1.25
0.25
x dx 2 f 0 f 3 2 f 1.5 f 1.75 f 2.00 f 2.25 f 2.50 f 2.75
0
3
2
0.0625 0.25 0.5625 1.00 1.5625
0.25
x dx 2 0 9 22.25 3.0625 4 5.0625 6.25 7.5625
0
3
2
3
0.25
x dx 2 0 9 2 31625 9.03125
0
2
14. MÉTODO DE SIMPSON(1/3)
El método de Simpson(1/3) requiere el número
de intervalos, n, sea par. Para este caso n=12,
por lo tanto se cumple este requisito.
h
x dx 3 f x0 f xn 4 f x2i1 2 f x2i
i 0
i 1
0
3
2
n2
2
n 2
2
5
5
0.25
2
x dx 3 f x0 f x12 4 f x2i1 2 f x2i
i 0
i 1
0
3
15. MÉTODO DE SIMPSON(1/3)
3
x 2 dx
0
0.25 f x0 f x12 4 f x1 f x3 f x5 f x7 f x9 f x11
3 2 f x2 f x4 f x6 f x8 f x10
0.25 0 9 40.0625 0.5625 1.5625 3.0625 5.0625 7.5625
x dx 3 20.25 1.00 2.25 4.00 6.25
0
3
2
3
0.25
x dx 3 9 417.875 213.75
0
2
3
x 2 dx 9.0
0
16. MÉTODO DE SIMPSON(3/8)
El método de Simpson (3/8), exige que el número de intervalos
debe ser múltiplo de 3. En este caso n=12, el cual es múltiplo de 3,
por lo tanto se puede aplicar el método
3h
x dx 8 f x0 f xn 3 f x3i1 3 f x3i2 2 f x3i
i 0
i 0
i 1
0
3
2
n3
3
n3
3
n3
3
3
3
3
3h
x dx 8 f x0 f x12 3 f x3i1 3 f x3i2 2 f x3i
i 0
i 0
i 1
0
3
2
17. MÉTODO DE SIMPSON(3/8)
3h f 0 f 3 3 f x1 f x4 f x7 f x10
x dx
8 3 f x2 f x5 f x8 f x11 2 f x3 f x6 f x9
0
3
2
3
x 2 dx
0
3 0.25 0 9 30.0625 1.00 3.0625 6.25
30.25 1.5625 4.00 7.5625 20.5625 2.25 5.0625
8
3
x 2 dx
0
3 0.25
9 3 10.375 3 13.375 2 7.875
8
3
x 2 dx 9.0
0