Este documento explica los conceptos básicos de vectores en R2 y R3. Define un vector como un segmento de recta orientado entre un punto de origen y otro punto final. En R2, un vector tiene magnitud, dirección y sentido. En R3, un vector se representa usando tres ejes ortogonales y tiene las mismas características que en R2. Incluye ejemplos de cómo graficar vectores en R2 y R3, así como un ejemplo completo del cálculo del módulo de un vector unitario en R3.

1. VECTORESEN EL PLANOR2 Y EN EL ESPACIO
R3
REPÚBLICA BOLIVARIANA DEVENEZUELA
INSTITUTOUNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO”
SEDE BARCELONA
INGENIERÍA DE SISTEMAS (47)
MATEMATICA III
Profesora:
Ing. Ranielina Rondón Mejias
Bachiller :
Diego Suarez C.I: 20360976
Barcelona, Junio 2014

2. INTRODUCCIÓN
 Un vector es una herramienta parte esencial de
la matemática útil para físicos, matemáticos,
ingenieros y técnicos. Empleando mucho más
fácil, problemas que tienen que ver con:
-Velocidades
-Desplazamientos
-Fuerzas y
-Aceleraciones.
 Los vectores se pueden representar
geométricamente como segmentos de recta
dirigidos en el plano R2 o en el espacio R3.

3. ¿Que es un vector?
 Definición: Un vector es un segmento de recta orientado
que va desde un punto “O” hasta un punto “P”
 Notación: Denotamos al vector con punto inicial O y
punto final P, por OP
 Analíticamente se representa por una letra con una
flecha encima.

4. Características de un vector
en R2
 1) Módulo: Es la longitud o tamaño del vector.
Para saber cuál es el módulo del vector,
debemos medir desde su origen hasta su
extremo.

5. Características de un vector
en R2
 2) Dirección: Viene dada
por la orientación en el
espacio de la recta que lo
contiene.
 3) Sentido: Se indica
mediante una punta de
flecha situada en el
extremo del vector,
indicando hacia qué lado
de la línea de acción se
dirige el vector.

6. ¿Como se grafica un vector
en R2?
En el siguiente grafico mostramos todos los elementos del el vector (1,1) en R2
 Véase como para representarlo trazamos el vector que parte del origen y llega hasta
el punto (1,1).
 La dirección correspondiente a (1,1) es la marcada por la recta sobre la que se halla.
Para cada dirección existen dos sentidos posibles y cada vector señala solo uno de
ellos.

7. ¿Como se grafica un vector
en R2?
 Los valores de las variables (3,2) y (2, −1) en
R2 se representan en forma de vectores del
siguiente modo:
En realidad, un vector
no tiene que situarse
necesariamente en el
origen sino que puede,
por el contrario,
situarse en cualquier
otro punto al que se
denominara origen o
punto de aplicación del
vector..

8. Cómo se grafica un punto en
R3
 Cada elemento de R3 tiene 3 componentes
 Para representarlos necesitamos un espacio
tridimensional en el que trazamos tres ejes
perpendiculares que se cruzan en un punto que
llamamos origen.
 Cada una de las tres componentes X,Y,Z se
representara en el eje que le corresponde.
 Los dos ejes horizontales son para las dos primeras
componentes y el eje vertical es para la tercera.
 El signo negativo de las componentes indica a que
lado del origen, en cada eje, se sitúa el punto que
representa.

9. Cómo se grafica un punto en
R3
 De hecho, los tres ejes suelen denominarse ejes x, y, z,
siendo el eje x el que se utiliza para representar la primera
componente, el eje y para la segunda y el eje z para la
tercera.

10. características de un vector
en R3
 Similares conceptos a los planteados en R2
pueden aplicarse a R3.
 Vector de R3 es toda terna ordenada de
N°reales. v = (v1,v2,v3)
 Para su representación se utilizan tres ejes
ortogonales llamados ejes cartesianos X,Y,Z
 Se pueden plantear dos esquemas de
representación, denominados “mano derecha” y
 mano izquierda. Generalmente se usa el de la
mano derecha

11. características de un vector
en R3
 En el primero, el índice de la
mano derecha representa al
eje X, el pulgar al eje Z
 y el anular al ejeY (en posición
de la mano propia enfrentada
al observador). El sentido
 de rotación X →Y → Z es
anti-horario, como el
empleado para medir ángulos
 En el segundo, se considera el
mismo esquema, pero con la
mano izquierda. El
 sentido de rotación X →Y →
Z es horario, o sea contrario al
utilizado para medir
 ángulos

12. Como se grafíca un vector en
R3
 Geométricamente a un vector de R3 se lo representa en el Espacio
como un segmento de recta dirigido.
 Suponga que se tienen los puntos P1(x1,y1,z1) y P2(x2,y2,z2) . Si
trazamos un segmento de recta dirigido desde P1 hacia P2 tenemos
una representación del vector.

13. Como se grafíca un vector en
R3
 Este vector puede tener muchas otras representaciones
equivalentes en el espacio. Una representación equivalente útil es
aquella que se realiza ubicando al vector con el origen como punto
de partida.

14. Ejemplo completo de un
vector en R2
El vector A = (4 , 3) tiene magnitud
El vector A es la representación
posicional, por ejemplo, del vector
con punto inicial P = (-1 , 2) y punto
final Q = (3 , 5)
1) Magnitud de PQ
para ello usamos la fórmula de
distancia entre dos puntos. Esto es

15. Ejemplo completo de un
vector en R3

Obtener el modulo del siguiente vector unitario. Los puntos
son (3, 4, 5)
Primero se hace la grafica, concluimos que 3=i, 4=j y 5=k.

16. Ejemplo completo de un
vector en R3
 Teniendo la grafica y el modulo trazado (El vector
modulo es la ARISTA que parte DEL PUNTO DEL
ORIGEN al ULTIMO PUNTO, es decir de (0,0) a K = 5) se
realiza la ecuación, sustituyendo 3, 4 y 5 en la formula por
X,Y y Z.

17. Ejemplo completo de un
vector en R3
 El resultado es 7.07, y se representa en la
grafica…

18. Bibliografía
 Raphael Alarkon - Vectores en el espacio.
http://ingenieriaensistemasuat.wordpress.com/2011/02/21/vectores-en-el-espacio-
obtencion-del-modulo-de-un-vector-unitario/
 Moises Villena – Vectores en R3
http://www.slideshare.net/KikePrieto1/vectores-en-r3-34130883?qid=5ffb6447-f503-452b-
8c6d-12a6dffd9d8d&v=qf1&b=&from_search=1
 Mariela Sarmiento - VECTORES EN EL PLANO
http://www.ceidis.ula.ve/cursos/nurr/algebra_matricial/unidad_1/sesion_1/pdf/sesion1.
pdf
 Nilsa Toro Jiménez - Vectores en R2 y R3
http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/vectores%20en%20r2%20y%20r3.htm
 Antonio Jesús López Moreno- Puntos y vectores en Rn
http://www4.ujaen.es/~ajlopez/asignat/fm_ambientales/apuntes/vectores.pdf