Tema 05 conteo de figuras

Jr. Carlos Heros Nº 515
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA “PIERRE FERMAT” Cel. 976738468
La mejor en Cajabamba Cajabamba
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

CONTEO DE FIGURAS

CONTEO DE FIGURAS Número de triángulos:
n (n + 1)
Mecanismo que consiste en determinar la máxima cantidad de 1 + 2 + 3 + ...... + n =
2
figuras de cierto tipo, que se encuentran presentes en una figura
dada.
Este método nos sirve para contar también “segmentos”;
“cuadriláteros”; “ángulos agudos”; “sectores circulares”;
MÉTODOS DE CONTEO.-
“hexágonos”; “trapecios”; ... etc.
Conteo Directo: (Método de Schöenk)
Consiste en asignar números y/o letras a todas las figuras
2. ¿Cuántos segmentos hay en la figura?
simples, posteriormente se procede al conteo creciente y ordenado,
de figuras de 1 número; al unir 2 números, al unir 3 números,... etc.
Resolución:
Así, por ejemplo, ¿cuántos cuadriláteros hay en la figura?
1 2 3 4 5 6 7 8 9
como hay 9 espacios:
número de segmentos = 9 · 10 = 45
2
Resolución:
3. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?
2 1 2 3 ... 18 19 20
3 1 6
4 5
Resolución: como hay 20 espacios:
número de cuadriláteros = 20 · 21 = 210
• De 1 número : ninguno 2
• De 2 números : 12; 13; 14; 15; 16 = 5 4. ¿Cuántos ángulos agudos hay en la figura?
• De 4 números : 1245; 1356; 1426;
1
1523; 1634 = 5 2
 Total de cuadriláteros: 3
5 + 5 = 10
2 números 3 números
50
Conteo Mediante Inducción:
Resolución: como hay 50 espacios:
Consiste en analizar casos particulares a la figura dada (figuras
análogas), tratando de encontrar una ley de formación coherente, número de ángulos agudos = 50 · 51 = 1275
2
para luego poder generalizar (encontrar la fórmula).
5. ¿Cuántos sectores circulares hay en la figura?
Así por ejemplo:
1 2
1. ¿Cuántos triángulos hay en la figura? 3

n
1 2 3 . . . . . . . . . 12 Resolución: como hay “n” espacios:
Resolución: n (n + 1)
número de sectores circulares =
Figura será Número de triángulos 2
6. ¿Cuántos hexágonos hay en la figura?
1
  1 1
2
3
1 2
  3 5
4
6

1 2 3 Resolución:
  6
• Contando encontramos 6 espacios.
Ley de Formación:
número de hexágonos = 6 · 7 = 21
1 (para 1 espacio) Luego: 2
1+2 (para 2 espacios) 7. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
1+2+3 (para 3 espacios)
 Para “n” espacios:

Sirviendo al pueblo de todo corazón 1 Prof. HUAMÁN DE LA CRUZ, Rafael.


1 4·5
10  4 3 2 1
2 2
3 2
4 3
5
4
6
5
Resolución:
Analizando casos particulares nos daremos cuenta que cumple × 5·6
 15
con la fórmula: 2
Número de cuadriláteros = 10 · 15 = 150
n (n  1)
2 1 0 . ¿Cuántos 3
paralelepípedos 2
 número de triángulos = 6 · 7 = 21 hay en la 1
2 1 2 3 4
figura?
8. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura? 2
3
4
5

Resolución:
Contando directamente, encontraremos 18, pero el método más
Resolución:
rápido sería:
Por el método práctico:
3 × Número de 5·6 4 ·5 3·4
2 3 2  · ·  900
2 Paralelepípedos 2 2 2
1 2 3
6
3 4
2 TOPOLOGÍA
Número de cuadriláteros : 3 · 6 = 18 Rama de la matemática que estudia ciertas propiedades de las
En general: figuras geométricas. El término fue usado por primera vez en 1930
n por el matemático Solomón Lefschetz. Generalmente ha sido
…

clasificada dentro de la geometría, se le llama a menudo Geometría
3
de la cinta elástica, de la lámina elástica o del espacio elástico, pues
2
1 2 3 ... m se preocupa de aquellas propiedades de las figuras geométricas del
espacio que no varían cuando el espacio se dobla, da la vuelta, estira
Número de n(n  1) m(m  1)
 · o deforma de alguna manera. Las dos únicas excepciones son que el
Cuadriláteros    
2  2 
horizontal vertical
espacio no se puede romper creando una discontinuidad y que dos
puntos distintos no se pueden hacer coincidir. La geometría se
ocupa de propiedades como la posición o distancia absoluta y de las
rectas paralelas, mientras que la topología sólo se ocupa de
n propiedades como la posición relativa y la forma general.
.....

Por ejemplo, una circunferencia divide al plano que la contiene
P
.
..

2 en dos regiones, una interior y otra exterior a la circunferencia. Un
..

1 2 punto exterior no se puede conectar a uno interior con una
1
1 2 . . . . .m trayectoria continua en el plano sin cortar a la circunferencia. Si se
Número de n (n  1) m (m  1) p (p  1)
 · · deforma el plano, este deja de ser una superficie plana o lisa y la
Paralelepípedos 2 2 2
circunferencia se convierte en una curva arrugada, sin embargo,
mantiene la propiedad de dividir a la superficie en una región
9. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura? interior y otra exterior. Es evidente que la rectitud y las medidas
lineales y angulares son algunas de las propiedades que no se
mantienen si el plano se distorsiona.
Hay dos clases de Topología bien diferenciadas:
TOPOLOGÍA PRIMITIVA:
Un ejemplo de Topología primitiva es el problema de los
puentes de Königsberg.
Resolución:
* Los puentes de Königsberg.-
Los habitantes de la ciudad de Königsberg se preguntaban todos
los domingos cuando iban a misa si: ¿Es posible cruzar los siete



puentes sobre el río Pregel, que conectan las dos islas y las terminar en el mismo vértice. Un ejemplo sencillo de esto es el
orillas, sin cruzar dos veces el mismo puente? problema común de trazar una figura geométrica sin levantar el
lápiz del papel.
Una trayectoria en una gráfica G es una trayectoria de Euler si
incluye a cada una de las aristas sólo una vez. Un circuito de Euler
es una trayectoria de Euler que es a la vez un circuito.
Ejemplo 1:
E
El matemático suizo Leonard Euler demostró que este Una trayectoria de Euler
problema es equivalente al siguiente: ¿Es posible dibujar el en la figura que se muestra a
gráfico siguiente sin levantar el lápiz del papel y sin pasar dos D
continuación es:
veces por la misma línea? B C
p = E, D, B, A, C, D
A

Ejemplo 2:
Un circuito de Euler en la gráfica siguiente es:
2 4

Euler demostró de forma general que para cualquier dibujo 3
1 5
lineal, como el de la figura anterior, se puede dibujar una línea  = 5, 3, 2, 1, 3, 4, 5
continua sin repetir ningún trazo si y sólo si el gráfico no tiene
ningún vértice impar o tiene exactamente dos vértices impares. Teorema 1.-
a) Si una gráfica G tiene un vértice de grado impar, entonces no
TOPOLOGÍA ACTUAL: puede existir un circuito de Euler en G.
La Topología es un campo muy activo de las matemáticas b) Si G es una gráfica conexa y todos los vértices tienen grado par,
modernas. Un problema famoso de la topología, que sólo ha sido entonces existe un circuito de Euler en G.
resuelto recientemente, es el determinar el número mínimo de Ejemplo:
colores distintos necesarios para colorear un mapa corriente de P P P P

manera que no existan dos regiones limítrofes con el mismo color. P

En 1976, Kenneth Appel y Wolfgang Haken demostraron, usando
un ordenador, que es suficiente con cuatro colores, sin depender del P P P P

tamaño o del número de regiones. Teorema 2.-
La teoría de nudos es una rama de la topología que tiene todavía a) Si una gráfica tiene más de dos vértices de grado entonces no
muchos problemas por resolver. Un nudo se puede considerar como puede existir una trayectoria de Euler en G. Ejemplo:
I I
una curva cerrada sencilla, hecha de goma y que se puede retorcer, P
alargar o deformar de cualquier forma en un espacio tridimensional,
I I
aunque no se puede romper. Dos nudos son equivalentes si se
b) Si G es conexa y tiene exactamente dos vértices tienen de grado
puede deformar uno de ellos para dar el otro, si esto no es posible,
los nudos son distintos. Todavía no se ha podido encontrar un impar, entonces existe una trayectoria de Euler en G. Cualquier
conjunto completo de características suficiente para distinguir los trayectoria de Euler debe comenzar en un vértice de grado
distintos tipos de nudos. impar y terminar en el otro.
Ejemplo:
Dos figuras geométricas, o conjuntos de puntos, son isomórficas P P I
si existe una correspondencia de punto a punto entre ellas que es P
continua en ambas direcciones. El problema fundamental de la
topología, aún por resolver, excepto en algunos casos particulares, P P I
es encontrar un conjunto de características suficiente para identificar TEOREMA DEL RECORRIDO MÍNIMO.-
figuras isomórficas, es decir, un conjunto de características que Si una gráfica no admite un camino Euleriano (tiene más de 2
permita determinar si dos figuras geométricas dadas, o conjuntos de puntos impares) Entonces al recorrerla el número mínimo de lados
puntos, son isomórficas. que se repiten está dado por la fórmula:

# mínimo de L  2
TRAYECTORIAS (CAMINOS) Y CIRCUITOS DE EULER 
lados repetidos 2
En esta sección, se analizará una clase amplia de problemas en Ejemplo: En la figura:
los cuales se utiliza la teoría de gráficas. En el primer tipo de
problema, la tarea es recorrer una trayectoria utilizando cada arista
de la gráfica sólo una vez. Puede ser necesario o no comenzar y



I I I
I I
5 . ¿Cuántos triángulos se pue-
P den contar en la siguiente
P
I I figura?
I I
I
A) 100 B) 55 C) 110
como tiene 10 vértices de grado impar, para recorrerla de un solo
10  2
D) 120 E) 105
4
trazo deberemos repetir: 2 lados como mínimo.
6 . ¿Cuántos rombos
COLORACIÓN DE MAPAS se cuentan en la
(Número Cromático) siguiente figura?
Es el menor número de colores necesarios para colorear
cualquier mapa con la condición de que 2 países fronterizos estén
A) 30 B) 32 C) 36 D) 52 E) 42
pintados de colores diferentes. Ejemplo:
2 2
7. ¿Cuántos semicírculos hay en total?
3 1 3 3 1 4

2
A) 50 B) 46
C) 48 D) 52
E) 42

1 . Una persona debe recorrer
todas y cada una de las ave-
nidas interiores de una sola 8. Halle el número total de cuadriláteros.
intención sin recorrer dos A) 320
veces una misma avenida. B) 321
¿Por cuál de las 3 puertas (A,
B y C) debe salir al finalizar? C) 323
A ...
D) 328
B C
20 19 18 17 . . . 4 3 2 1 E) 300
A) A B) B C) C
D) A y B E) B y C 9. Calcule el total de triángulos:
20 19 4 3 2 1
2 . En el siguiente gráfico, 1
...
2 ...
¿cuántos cuadrados tie- 3
...
...
4
nen trazada la diagonal?
100 cua dra dos

A) 1000 B) 1505 C) 1200
19
20 D) 1100 E) 1450
A) 200 B) 220 C) 210
D) 310 E) 400 1 0 . La figura muestra 7 segmentos
paralelos. ¿Cuál es el menor
número de segmentos adicio-
3. En la siguiente figura: nales que se deben trazar para
a. ¿Cuántos triángulos contar un total de 132 seg-
poseen en su interior mentos?
un solo asterisco?
b. ¿Cuántos triángulos A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
poseen en su interior
al menos un asteris-
co?
11. ¿Cuántos cuadriláteros convexos hay en la siguiente figura?
A) 10-19 B) 11-19 C) 11-18
n
D) 11-20 E) 10-16
3
...
1 2
2 1
4 . ¿Cuántos triángulos se ... 3
n
cuentan como máximo?
A) 70 B) 80 2
A) n + 1 B) n C) n
C) 95 D) 90 2
D) n + 1 E) n + 3
E) 75

12. ¿Cuántos cuadrados hay en total en la figura?



A) 30
B) 17
4. ¿Cuántos puntos de intersección se pueden contar si se llegan a
C) 21
dibujar 225 circunferencias?
D) 31
E) 14 ...
...
...

13. ¿Cuántos cubitos faltan como mínimo para completar un cubo
A) 860 B) 430 C) 460
sólido en cada caso?
D) 880 E) 868

5. ¿Cuántos cuadriláteros como máximo se pueden contar?
A) 15
A) 16 - 21 B) 17 - 20 B) 32
C) 27 - 21 D) 25 - 22 C) 25
E) 15 - 21 D) 30
E) 60
14. ¿Cuántos cubitos faltan como mínimo para completar un cubo
sólido en cada caso? 6. En la siguiente figura, ¿cuántos triángulos y cuántos
cuadriláteros se pueden contar?
1
2 A) 61 - 260
3 B) 61 - 270
A) 16 - 21 B) 17 - 20
4 C) 60 - 260
C) 27 - 21 D) 25 - 22
D) 60 - 270
E) 15 - 21 20
E) 61 - 265

15. Un ladrillo cuyas dimensiones son 4 cm, 6 cm y 8 cm se divide
7. Calcule el total de hexágonos en la siguiente figura:
en cubitos de 1 cm de arista. ¿Cuántos cubos se contarán en
total? Además, si pintamos dicho ladrillo de blanco, ¿cuántos A) 126
cubitos tendrán una cara pintada, 2 caras pintadas, 3 caras ... B) 156
pintadas y cuántos ninguna cara pintada? C) 196
A) 360; 88; 48; 8; 48 D) 186
E) 176
B) 360; 98; 50; 8; 48 4 6 10 16 . . . 384

C) 330; 88; 50; 8; 47
8. Halle el número de cuadriláteros en la siguiente figura:
D) 350; 88; 50; 8; 46
E) 360; 78; 50; 8; 45
A) 108
B) 178
C) 188
1. Diga Ud. cuántos triángulos existen en la siguiente figura? D) 198
E) 158
...
9. ¿Cuántos cuadrados hay en total?
1 2 3 ... 49 50 1
2
A) 400 B) 449 C) 498 3 A) 140
D) 450 E) 460 .. B) 151
. 18 C) 153
19
2. Calcule el máximo número de sectores circulares. 20 D) 163
A) 60 E) 155
B) 70
C) 62
10. ¿Calcule el máximo número de segmentos y de ángulos rectos
D) 42
E) 50
en la siguiente figura?

3. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar como máximo en los A) 153; 89
cuadriláteros existentes en la siguiente figura? B) 124; 72
A) 170 C) 170; 63
B) 168 D) 156; 67
C) 164 E) 196; 91
D) 160
E) 165
11. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?



...

20 19 18 . . . 4 3 2 1
A) 60 B) 83 C) 65
D) 75 E) 110

12. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?
...
...
1 2 3 4 ... 19 20
A) 380 B) 419 C) 300
D) 456 E) 480

13. ¿Cuántos cuadrados y cuántos triángulos se pueden contar en la
siguiente figura?

A) 10; 52
B) 15; 48
C) 17; 31
D) 13; 32
E) 7; 24

14. ¿Cuántos puntos de corte se podrán obtener como máximo con
n circunferencias?
n n  1
2 2
A) B) n + 2n
C) n (n – 1) D) n n + 1)
n – 1 n
E) 2

15. ¿Cuántos pentágonos se podrán contar como máximo en la
siguiente figura?
A) 16
B) 20
C) 12
D) 8
E) 10


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