Este documento describe los conjuntos numéricos reales y algunas de sus propiedades. Introduce los números racionales e irracionales y explica cómo todos los números reales pueden representarse en una recta numérica. También resume las operaciones básicas como suma, resta, multiplicación, división y potenciación para números reales y fraccionarios, incluyendo ejemplos.

1. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
UNIDAD 1
CONJUNTOS NUMÈRICOS
DEFINICIONES
El conjunto formado por los números racionales y los irracionales (no racionales) se llama
conjunto de números reales y se designa por R.
A continuación están los subconjuntos en un diagrama:
REALES (R)
Con los números reales podemos realizar las mismas operaciones que hacíamos con los números
racionales: sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por el cero) y se siguen manteniendo las
mismas propiedades.
También podemos extraer raíces de cualquier índice (salvo raíces de índice par de
números negativos) y el resultado sigue siendo un número real. Eso no ocurría con los números
racionales.
LA RECTA REAL
El conjunto de los números reales también puede representarse sobre una recta. A cada número
real le corresponde un único punto de la recta, y cada punto de la recta representa un único
número real. A esta recta la llamamos recta real. (Ver figura 1)

2. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
Figura 1. “Recta de los números reales o Recta Real”.
REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS SOBRE LA RECTA REAL
Todo número real puede situarse sobre la recta real, dependiendo de cómo sea el número:
a. Representación de naturales, enteros o decimales exactos
Ejemplo: 2 y 3,47
b. Representación de Decimal periódico:
Pueden expresarse en forma de fracción y representar la fracción (Se divide cada unidad
en tantas partes como tenga en denominador y se toman tantas como tenga el numerador.)
Ejemplo: 0,8333333…. = 5/6
5/6

3. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
c. Representación de irracionales
Si un número irracional es radical cuadrático o una combinación de ellos, se puede
representar construyendo triángulos rectángulos (Se utiliza el teorema de Pitágoras donde la
hipotenusa es lo que queremos dibujar.)
OPERACIONES CON REALES
Orden de Operaciones
Veamos el orden jerárquico de las operaciones
Reglas Importantes para Resolver Operaciones Aritméticas:
1. Resolver todo lo que esté dentro de símbolos de agrupación.
2. Evaluar las expresiones exponenciales.
3. Hacer todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha.
4. Hacer todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha.
Por Ejemplo: 4 + 5 · 7
El típico error es comenzar el ejercicio efectuando la suma de 4 y 5, pero como ya sabemos que
existe un orden establecido, lo correcto es hacer primero el producto 5 · 7, o sea

4. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
4 + 5 · 7 = 4 + 35 = 39
Otro ejemplo: 57 – 5(8 - 6)3 .Resolvamos en el orden adecuado:
57 − 5 ∙ 23 = 57 − 5 ∙ 8 = 57 − 40 = 17
SUMA Y RESTA
Aquí proponemos una forma sencilla para aprender a sumar y restar mediante dos reglas muy
fáciles de recordar
 Si se tienen dos números de signos iguales, entonces se suman y se deja el mismo
signo.
Ejemplo: 3+5 = 8 esta es una suma común y corriente entre naturales.
Pero y si fuera... − 3 − 5 = − 8; observa que igual se obtiene 8 como en la anterior pero esta vez
es de signo negativo porque ambos números son negativos y en realidad estamos avanzando
hacia la izquierda sobre la recta real.
 Si se tienen dos números de signos diferentes, entonces se restan (entendido como resta
entre números naturales, el mayor menos el menor) y se deja el signo de la magnitud
mayor.
Ejemplo: 5–3 = 2
−5+3 =−2
En el primer ejemplo es una resta común y corriente entre número naturales. En el segundo caso
tenemos dos enteros –5 y 3. La regla dice que se restan como se haría entre números naturales
5−3 da 2, pero como la magnitud mayor es 5 y es de signo negativo el resultado queda negativo
−2.
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
Para estas operaciones se debe tener en cuenta la siguiente tabla:

5. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
             
             
Es decir que signos iguales dan positivo y signos diferentes dan negativo
Ejemplo:
 5 3  15 15  5  3
 5 3   15  15  5  3
 5 3  15 15   5    3
 5 3   15  15   5   3
OPERACIONES ENTRE FRACCIONARIOS
La definición de fraccionario y toda la parte teórica te la dejamos a ti. Mira cómo se opera entre
ellos
SUMA Y RESTA
Este tema lo podemos clasificar en dos:
 Suma y resta de homogéneos:
Son las fracciones con igual denominador, son las más fáciles de sumar, simplemente se suman
los reales de los numeradores y se deja el mismo denominador:
Ejemplo:
3 7 5 11 3  7  5  11 10  16
    
2 2 2 2 2 2
6
   3
2
 Suma y resta de heterogéneos:

6. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
Lo importante para la suma y resta de fracciones heterogéneas es encontrar el común
denominador, el cual es el mínimo común múltiplo (m.c.m) de todos los denominadores presentes:
Ejemplo:
2 4
  
 2   5  4  3 
10  12
3 5 15 15
2

15
En el ejemplo anterior se obtuvo el común denominador multiplicando los denominadores. Como
común denominador también hubiese servido 30, 45, 60, etc. Pero la idea es escoger el múltiplo
mínimo, en este caso 15.
Además observa que la operación es muy sencilla:
 Se encuentra el mínimo común múltiplo y se coloca como denominador común
 Se divide el común denominador entre el primer denominador y el resultado se multiplica
por el numerador
15 ÷ 3 = 5 luego (5) (−2) = −10
 Se repite la operación para cada uno de las fracciones
 Se suman los resultados obtenidos y la fracción obtenida se simplifica(si es posible) y listo
Veamos otro ejemplo:
5 3 7 1 5  2  3  4  7 5  6  28 27
    
8 4 2 8 8 8
Esta vez no se multiplicaron entre sí los denominadores porque no es necesario, 8 es múltiplo
común tanto de 2 como de 4 y del mismo 8. Eso no quiere decir que si tú escogieras por ejemplo
16, 24, 32 o cualquier otro múltiplo más grande estaría mal. ¡No! Sólo sería un múltiplo
innecesariamente grande y por lo tanto las multiplicaciones por los numeradores se crecerían
igualmente. ¡Haz la prueba!
Algunas veces obtener el común denominador mentalmente no es fácil, entonces debes recurrir a
la descomposición en factores primos para hallar el mínimo común múltiplo.
Ejemplo:
3 1 1
Sumar:   
16 12 18

7. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
¿Cuál debe ser el común denominador?
 Descomponer los denominadores en sus factores primos
12 = 2∙2∙3 16 = 2∙2∙2∙2 18 = 2∙3∙3
 Para hallar el mínimo común múltiplo se escogen todos los números que haya y los
multiplica con su mayor exponente
En el ejemplo:
4 2
2 ∙ 3 = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
Por lo tanto el común denominador será 144
3 1 1 3  9  112  1 8 27  12  8 23
      
16 12 18 144 8 144
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONARIOS
Para este tema debes conocer las tablas de multiplicar, las leyes de la multiplicación de signos y en
lo posible saber simplificar fraccionarios.
La multiplicación se realiza numerador con numerador y denominador con denominador
Así:
a c a c

b d bd
Ejemplo 1:
3  25  3  3  25  3 1
          1
5  9  5  595 1
¿Qué sucedió? Sucedió que los 3 de los numeradores se pueden simplificar con el 9 del
denominador y que el 25 del numerador se puede simplificar con los 5 del denominador. Además la
expresión quedó negativa por la multiplicación de signos.
Otra forma de hacer el ejercicio es multiplicar todos los numeradores entre sí, al igual que los
denominadores y luego simplificar, pero eso sería tonto porque de todos modos toca simplificar y
terminaría dando 1

8. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
3  25  3 225
   1
595 225
Ejemplo 2:
3  15  2  3 15  2 1 1  2 2
        
5  27  7  5  27  7 1 3  7 21
DIVISIÓN DE FRACCIONARIOS
a c

b d
Se puede realizar de dos formas:
a c ad
a. En cruz:  
b d bc
a
ad
b. Extremos / Medios: b 
c bc
d
Es obvio que en ambos casos se obtiene lo mismo, pero las dos formas son útiles en uno u otro
momento. Igualmente que en multiplicación de fracciones, cuando la división ya está expresada
como una multiplicación puedes emplear la simplificación para facilitar tu labor.
Ejemplo:
9  27  95 1
     
25  5  25  27 15

9. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
POTENCIACION
Definición
Sea a un número real, entonces el producto de a por sí mismo n veces se escribe:
n
a.a.a.a……..a = a donde a es la base y n es el exponente.
PROPIEDADES
1. a  1 (a  0)
0
2. a a1
n m
3. a a  a
n m
4. a  n m
 a nm
5. (abc)  a b c
n n n n
n n n
a a b
n
a bn
6.    n       n
b b b a a
n
a nm
7. m  a
a
n 1
8. a  n
a
9. S i a  0 y n es par entonces an  0
10. S i a  0 y n es impar entonces an  0
Ejemplos:
RADICACION
n
Definición: Se llama raíz n-ésima de un número a, y se escribe a , a un número b que elevado
a n dé a.
n
a b si bn  a
Donde:

10. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
→ se llama radical a → radicando n → índice de la raíz
Ejemplos:
196  14, porque14 2  196
3
8  2, porque 23  8
3
 27  3, porque (3)3  27
3
81  3, porque 33  81
5
1024  4, porque 45  1024
Existencia de Radicales:
1. Si a es positivo, entonces n a existe, cualquiera que sea n.
4 5 0,85
Ejemplos: 5, 7, existen
2. Si a es negativo, sólo existen sus raíces de índice impar.
3
8 existe
Ejemplos:
6  0,85 no existe
3. Salvo que a sea una potencia n-ésima de un número entero o fraccionario, n a es un número
irracional.
Sólo podremos obtener su expresión decimal aproximada.
Forma Exponencial de los Radicales
La raíz n-ésima de un número puede ponerse en forma de potencia:
m
n
n
a  a1/ n  am  a n
Esta nomenclatura es coherente con la definición.

11. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
(n a ) n  (a1/ n ) n  a (1/ n)n  a1  a
Es importante familiarizarse con la forma exponencial de los radicales, pues nos permitirá
expresarlos y operar cómodamente con ellos.
1 2 1
4
5
2  25 a2  a 4  a 2
Propiedades de los Radicales: Los radicales tienen una serie de propiedades, que debemos
conocer y utilizar con soltura. Todas ellas son consecuencia inmediata de conocidas propiedades
de las potencias. Veámoslas una a una, estudiando su significado en algunos ejemplos, y viendo
sus aplicaciones.
np
4
9 4
32  3
1. a p  a p / np  a1 n  n
a Ejemplos:
6
4 6
22  3
2
Esta propiedad tiene una importante aplicación, la de simplificar radicales tal y como se ha
visto en los ejemplos anteriores;
3x 2 y  3 x 2 y
2.
n
a b  a  b
n n
Ejemplos:
5
32 x  5 32  5 x  2 5 x
3 3

a n
a x3 x3
3. n  n
Ejemplos:
b b x5 3
x5 3
x5
3  3

8 8 2
Esta propiedad, junto con la primera y segunda, sirve para poner productos y cocientes de
radicales bajo una sola raíz, ejemplo:
3 3 4 6
33  6 42 33  24
  6  6
2  32  6 18
6
24 6
23  3 23  3

12. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
n a
p n
4.  ap Ejemplo: (  5 ) 4  (5) 4  25
mn
3
3 6 3
5.
m n a  a Ejemplos:
5 8 5
Radicales Semejantes: Dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y
radicando. Los radicales 3 y 5 3 son semejantes. Tienen el mismo índice, 2, y el mismo
radicando, 3. Además, 8 y 2 son semejantes, esto se comprueba sacando factores del
radical.
Operaciones con Radicales
1. La suma o la resta de radicales semejantes es otro radical semejante a los dados, cuyo
coeficiente es igual a la suma o la resta de los coeficientes de los radicales sumados o
restados, esto es,
b n a  c n a  (b  c) n a
Ejemplos: 3 5  6 5  (3  6) 5  9 5
8  18  4 2500  23  2  32  4 22  54  2 2  3 2  5 2  10 2
Si los radicales no son semejantes, la suma se deja indicada. Ejemplo: 2 5  7 3
2. El producto de radicales, con el mismo índice, es igual a otro radical cuyo coeficiente y
radicando son iguales, respectivamente, a los productos de los coeficientes y radicandos de
los factores, así tenemos:
b n a d n
c  b  d  n a  c
3 15
Ejemplo: 3 5 2 6
2 2
Si los radicales son de distinto índice, primero hay que reducirlos a índice común
Ejemplo: 2  3 5  6 23  52  6
200

13. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
3. El cociente de dos radicales con el mismo índice, es igual a otro radical, cuyo coeficiente y
radicando son iguales, respectivamente, al cociente de los coeficientes y radicandos de los
bn a b a
radicales dividendo y divisor, quedando:  n
dn c d c
8 3
Ejemplo: 8 3 7 5 
7 5
NOTA: En el caso que los radicales sean de diferente índice, se procede de la misma manera
que en la multiplicación (primero se reducen a índice común)
4. La potencia de un radical es igual a otro radical, cuyo coeficiente y radicando están elevados a
m
dicha potencia, b a 
n
 bm a m
n
1 1 3 1
Ejemplo: (2 5)3  (2  5 2 )3  23  (5 2 )3  23  5 2  23  (53 ) 2  23  53  8 125
Es importante observar que al elevar al cuadrado un radical de índice 2, se obtiene el
radicando:
( a )2  a 2  a .
2
 1
 5
2 2
Ejemplo:   52   52  5
 
Racionalización de denominadores: A veces conviene suprimir las raíces del
denominador. Para ello hay que multiplicarlo por la expresión adecuada. Naturalmente, el
numerador también se multiplicará por esa misma expresión.
Ejemplo:
3 3
1 1 1 5 5
3
  3 
3 3 5
25 52 52 5
1 1 5 3 5 3 5 3 5 3
   
5 3 5 3 5 3   25  3
2
52  3 22