1. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
1
CONTEO DE FIGURAS
Mecanismo que consiste en determinar la máxima cantidad de
figuras de cierto tipo, que se encuentran presentes en una figura
dada.
MÉTODOS DE CONTEO .-
Conteo Directo: Valor por Espacio
Consiste en asignar números y/o letras a todas las figuras
simples, posteriormente se procede al conteo creciente y ordenado,
de figuras de 1 número; al unir 2 números, al unir 3 números,... etc.
Así, por ejemplo, ¿cuántos cuadriláteros hay en la figura?
Resolución:
• De 1 número : ninguno
• De 2 números : 12; 13; 14; 15; 16 = 5
• De 4 números : 1245; 1356; 1426;
1523; 1634 = 5
 Total de cuadriláteros:
Conteo de figuras: con fórmula
Consiste en analizar casos particulares a la figura dada (figuras
análogas), tratando de encontrar una ley de formación coherente,
para luego poder generalizar (encontrar la fórmula).
Así por ejemplo:
1. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
Resolución:
Figura será Número de triángulos
  1
  3
  6
Ley de Formación:
1 (para 1 espacio)
1 + 2 (para 2 espacios)
1 + 2 + 3 (para 3 espacios)
 Para “n” espacios:
Número de triángulos:
Este método nos sirve para contar también “segmentos”;
“cuadriláteros”; “ángulos agudos”; “sectores circulares”;
“hexágonos”; “trapecios”; ... etc.
2. ¿Cuántos segmentos hay en la figura?
Resolución:
como hay 9 espacios:
3. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?
Resolución: como hay 20 espacios:
4. ¿Cuántos ángulos agudos hay en la figura?
Resolución: como hay 50 espacios:
5. ¿Cuántos sectores circulares hay en la figura?
Resolución: como hay “n” espacios:
6. ¿Cuántos hexágonos hay en la figura?
Resolución:
• Contando encontramos 6 espacios.
Luego:
7. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
CONTEO DE FIGURAS
3
2
6
54
1
5 + 5 = 10
2 números 3 números
1 2 3 12. . . . . . . . .
1
1 2
1 2 3
n (n + 1)
1 + 2 + 3 + ...... + n =
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 · 10número de segmentos = = 45
2
1 2 3 ... 18 19 20
20 · 21número de cuadriláteros = = 210
2
1
2
3
50
50 · 51número de ángulos agudos = = 1275
2
1 2
3
n
n (n + 1)
número de sectores circulares =
2
1
2
3
4
5
6
6 · 7número de hexágonos = = 21
2

2. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
2
Resolución:
Analizando casos particulares nos daremos cuenta que cumple
con la fórmula:
8. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?
Resolución:
Contando directamente, encontraremos 18, pero el método más
rápido sería:
Número de cuadriláteros : 3 · 6 = 18
En general:
9. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?
Resolución:
Número de cuadriláteros = 10 · 15 = 150
Resolución:
Por el método práctico:
A) A B) B C) C
D) A y B E) B y C
A) 200 B) 220 C) 210
D) 310 E) 400
3. En la siguiente figura:
A) 10-19 B) 11-19 C) 11-18
D) 11-20 E) 10-16
1
2
3
4
5
6
n (n 1)
2

6 · 7número de triángulos = = 21
2

3
6
×
2
32
2
43
1
2
2 3
n
…
3
2
1 . . .2 3 m
horizontal vertical
Número de n(n 1) m(m 1)
·
Cuadriláteros 2 2
 

n
2
1
.....
. . . . .1 2 m
1
2
P
.....
Número de n (n 1) m (m 1) p (p 1)
· ·
Paralelepípedos 2 2 2
  

4 3 2 1
2
3
4
5
10
×  15
4 · 5
2
5 · 6
2
1 2 3 4
2
3
4
5
1
2
310. ¿Cuántos
paralelepípedos
hay en la
figura?
Número de 5 · 6 4 · 5 3 · 4
· · 900
Paralelepípedos 2 2 2
 
A
B C
1. Una persona debe recorrer
todas y cada una de las ave-
nidas interiores de una sola
intención sin recorrer dos
veces una misma avenida.
¿Por cuál de las 3 puertas (A,
B y C) debe salir alfinalizar?
20
20
19
19
4
4
3
3
2
2
1
12. En el siguiente gráfico,
¿cuántos cuadrados tie-
nen trazada la diagonal?
a. ¿Cuántos triángulos
poseen en su interior
un solo asterisco?
b. ¿Cuántos triángulos
poseen en su interior
al menos un asteris-
co?

3. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
3
A) 30 B) 32 C) 36 D) 52 E) 42
7. ¿Cuántos semicírculos hay en total?
8. Halle el número total de cuadriláteros.
9. Calcule el total de triángulos:
A) 1000 B) 1505 C) 1200
D) 1100 E) 1450
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
11. ¿Cuántos cuadriláteros convexos hay en la siguiente figura?
A) n + 1 B) n C) n
2
D) n
2
+ 1 E) n + 3
12. ¿Cuántos cuadrados hay en total en la figura?
13. ¿Cuántos cubitos faltan como mínimo para completar un cubo
sólido en cada caso?
A) 16 - 21 B) 17 - 20
C) 27 - 21 D) 25 - 22
E) 15 - 21
14. ¿Cuántos cubitos faltan como mínimo para completar un cubo
sólido en cada caso?
A) 16 - 21 B) 17 - 20
C) 27 - 21 D) 25 - 22
E) 15 - 21
15. Un ladrillo cuyas dimensiones son 4 cm, 6 cm y 8 cm se divide
en cubitos de 1 cm de arista. ¿Cuántos cubos se contarán en
total? Además, si pintamos dicho ladrillo de blanco, ¿cuántos
cubitos tendrán una cara pintada, 2 caras pintadas, 3 caras
pintadas y cuántos ninguna cara pintada?
A) 360; 88; 48; 8; 48
B) 360; 98; 50; 8; 48
C) 330; 88; 50; 8; 47
D) 350; 88; 50; 8; 46
E) 360; 78; 50; 8; 45
1. Diga Ud. cuántos triángulos existen en la siguiente figura?
A) 400 B) 449 C) 498
D) 450 E) 460
2. Calcule el máximo número de sectores circulares.
4. ¿Cuántos triángulos se
cuentan como máximo?
A) 70 B) 80
C) 95 D) 90
E) 75
5. ¿Cuántos triángulos se pue-
den contar en la siguiente
figura?
A) 100 B) 55 C) 110
D) 120 E) 105
6. ¿Cuántos rombos
se cuentan en la
siguiente figura?
A) 50 B) 46
C) 48 D) 52
E) 42
123417181920 . . .
. . .
A) 320
B) 321
C) 323
D) 328
E) 300
100 cuadrados
. . .
. . .
. . .
. . .
10 . La figura muestra 7 segmentos
paralelos. ¿Cuál es el menor
número de segmentos adicio-
nales que se deben trazar para
contar un total de 132 seg-
mentos?
1
1 2
2
3
n
n
3
. . .
. . .
A) 30
B) 17
C) 21
D) 31
E) 14
1 2 3 49 50. . .
. . .

4. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
4
3. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar como máximo en los
cuadriláteros existentes en la siguiente figura?
4. ¿Cuántos puntos de intersección se pueden contar si se llegan a
dibujar 225 circunferencias?
A) 860 B) 430 C) 460
D) 880 E) 868
5. ¿Cuántos cuadriláteros como máximo se pueden contar?
6. En la siguiente figura, ¿cuántos triángulos y cuántos
cuadriláteros se pueden contar?
7. Calcule el total de hexágonos en la siguiente figura:
8. Halle el número de cuadriláteros en la siguiente figura:
9. ¿Cuántos cuadrados hay en total?
10. ¿Calcule el máximo número de segmentos y de ángulos rectos
en la siguiente figura?
11. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
A) 60 B) 83 C) 65
D) 75 E) 110
12. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?
A) 380 B) 419 C) 300
D) 456 E) 480
13. ¿Cuántos cuadrados y cuántos triángulos se pueden contar en la
siguiente figura?
14. ¿Cuántos puntos de corte se podrán obtener como máximo con
n circunferencias?
A) B) n
2
+ 2n
C) n (n – 1) D) n n + 1)
E)
15. ¿Cuántos pentágonos se podrán contar como máximo en la
siguiente figura?
A) 60
B) 70
C) 62
D) 42
E) 50
A) 170
B) 168
C) 164
D) 160
E) 165
. . .
. . .
. . .
A) 15
B) 32
C) 25
D) 30
E) 60
1
2
3
4
20
A) 61 - 260
B) 61 - 270
C) 60 - 260
D) 60 - 270
E) 61 - 265
4 6 10 16 384. . .
. . .
A) 126
B) 156
C) 196
D) 186
E) 176
A) 108
B) 178
C) 188
D) 198
E) 158
1
2
3
18
19
20
. . .
A) 140
B) 151
C) 153
D) 163
E) 155
A) 153; 89
B) 124; 72
C) 170; 63
D) 156; 67
E) 196; 91
1234181920 . . .
. . .
1 2 3 4 19 20. . .
. . .
. . .
A) 10; 52
B) 15; 48
C) 17; 31
D) 13; 32
E) 7; 24
 1
2
n n 
 –1
2
n n
A) 16
B) 20
C) 12
D) 8
E) 10