Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Introduce conceptos como notación de operadores diferenciales, propiedades de operadores, polinomios diferenciales y ecuaciones características. Explica cómo expresar ecuaciones diferenciales en términos de operadores diferenciales lineales y cómo resolver ecuaciones diferenciales de primer, segundo y orden superior mediante el uso de operadores diferenciales.

1. Ecuaciones diferenciales 2. Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Objetivo El alumno aplicará los conceptos fundamentales de las ecuaciones diferenciales lineales y de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, en la resolución e interpretación de Problemas físicos y geométricos

3. Operadores Un operador es una función con una regla de correspondencia particular que depende del problema en estudio. Por ejemplo, Operador suma Operador raíz cuadrada Operador integral Operador derivada

4. Entrada Salida Proceso + Operador suma Entrada Salida Proceso Operador derivada Esquema de un operador

5. Notación de operador para una ED Considere la ED de primer orden Escribiendo a las derivadas en términos del operador diferencial, es posible rescribir la ecuación (1) como (1) (2)

6. Factorizando a la función desconocida, y(x) en (2), es posible escribir a (1) como Operador diferencial de primer orden, L Función incógnita Excitación (término no homogéneo) Entrada Salida Proceso Esquema de una ED

7. Exprese la siguiente ED en términos de un operador diferencial Escribiendo en términos del operador D : Factorizando a y : El operador diferencial de la ED es

8. Entonces es posible expresar la ED como sigue: Donde L es el operador lineal de coeficientes variables :

9. Los operadores diferenciales pueden tener coeficientes variables (como en el caso anterior) o constantes como en la siguiente ED: El operador diferencial lineal de la ED es coeficientes constantes

10. Si una ED es lineal, entonces su operador L será lineal sin importar el tipo de coeficientes La solución general de está dada por Entonces, donde

11. Para una ED de segundo orden tenemos: L Para una ED de tercer orden tenemos:

12. Para una ED de orden n tenemos: L operador lineal de orden n

14. Ilustración de la propiedad 1 Considere los operadores de coeficientes variables: Obtenga L 1 + L 2 y L 2 + L 1 Solución: Considere los operadores de coeficientes constantes: Obtenga L 1 + L 2 y L 2 + L 1 Solución:

15. Considere los operadores Obtenga ( L 1 )( L 2 )[ y ] y ( L 2 )( L 1 )[ y ] Ilustración de la propiedad 2 Solución:

16. Ilustración de la propiedad 3 Considere los operadores Obtenga ( L 1 o L 2 )[ y ] y ( L 2 o L 1 )[ y ] Solución: La composición de operadores también puede expresarse como

17. Considere los operadores Obtenga ( L 1 )( L 2 )[ f(x) ] donde f(x) = xe -x Ejercicio

18. Resuelva la ED siguiente:

19. Polinomio diferencial de una ED Considere la ED lineal de orden n : donde El polinomio diferencial de la ED es La ecuación característica (o auxiliar) de la ED es

20. Los polinomios diferenciales de coeficientes constantes tienen las propiedades de un polinomio algebraico. Es decir, las propiedades de igualdad, adición y multiplicación se conservan. Ejemplo: Factorización e igualdad en polinomios diferenciales: Suma en polinomios diferenciales: