Derivadas Definición Propiedades Regla de la cadena Recta tangente Derivada implícita Derivada logaritmica Derivada de orden superior

1. D E R I V A D A S
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL ANDRÉS ELOY BLANCO
ESTUDIANTES:
SABRINA QUERALES
31.132.155
RENNYS CAMACHO
30.995.758
SECCIÓN:1202

2. DERIVADAS
La derivada de una función matemática es la razón o velocidad de cambio de una función en un
determinado punto. Es decir, qué tan rápido se está produciendo una variación.
Desde una perspectiva geométrica, la derivada de una función es la pendiente de la recta tangente
al punto donde se ubica x.
En términos matemáticos, la derivada de una función puede expresarse de la siguiente forma:
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE
PROPIEDADES
La derivada de una constante siempre es igual a cero, independientemente del valor de la
constante.
Por lo tanto, para hallar la derivada de una función constante no es necesario hacer ningún
cálculo, simplemente la derivada es nula.
La derivada de una constante es cero porque la representación gráfica de una función constante
no tiene pendiente.
Algunos ejemplos resueltos a continuación:
Como se puede ver, la derivada de una constante siempre da 0. No importa si el signo de la
constante es positivo o negativo, o si el valor de la constante es muy grande o muy pequeño, su
derivada será cero.

3. Para derivar una suma o resta de funciones, tenemos que derivar a cada término de la función
separadamente. Esto significa que podemos simplemente aplicar la regla de la potencia u otra regla
relevante para derivar cada término y encontrar la derivada de toda la función.
Definición y fórmula de la regla de la suma y resta de funciones en derivadas
La regla de las derivadas de una suma o resta de funciones nos dice que cuando y está formada de
más de una función, podemos encontrar su derivada al diferenciar a cada función una por una.
La regla de la suma y de la resta de funciones en derivadas nos permite encontrar la derivada de funciones como la
siguiente:
DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN
DERIVADAS DE SUMA Y RESTA DE FUNCIONES
Cuando una función es el resultado de la multiplicación de una constante por una función
derivable (a la que llamaremos función original), la derivada de la función resultante se calcula
en términos de la derivada de la función original mediante la regla del múltiplo constante.
Entonces, su derivada es igual a:
algunos ejercicios de suma y resta de funciones:
Esto aplica a la suma o diferencia de cualquier número de funciones.
Paso 1: Empezamos convirtiendo expresiones radicales o racionales a su forma exponencial. En
este caso, no tenemos radicales ni variables escritas en forma racional.
Paso 2: Usamos la fórmula de la regla de la potencia,
para derivar ambos términos de la función:
Ejercicio 1: Encontrar la derivada de

4. Paso 1: Tenemos exponentes negativos, pero no hay radicales o variables con
expresiones racionales.
Paso 2: Usamos la fórmula de la regla de la potencia,
para derivar ambos términos de la función:
Un polinomio siempre tiene una derivada.
El número de derivadas que se pueden obtener de un polinomio es igual al grado de
polinomio.
Una característica importante de los polinomios es que son continuos, es decir, que no tienen
puntos donde la función no existe. Esto significa que puedes sustituir cualquier número real
en x y te dará un valor válido de f(x).
Esto implica que:
Para derivar un polinomio, se debe aplicar la siguiente fórmula a cada miembro de polinomio:
ejemplo: Obtener la derivada del siguiente polinomio:
Solución:
Aplicamos la fórmula
Ejercicio 2: Encontrar la derivada de la función
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA
En palabras muy sencillas: debes restar uno a la potencia a la cual la x está elevada y
multiplicar la potencia original por la variable.
Paso 3: Usamos las leyes de los exponentes para simplificar:
ejemplo: Obtener la derivada del siguiente polinomio:
a cada parte del polinomio:

5. Primero, bajamos las potencias como una constante:
LA REGLA DE LA CADENA
0
Esta es la derivada del polinomio original.
Aquí debemos recordar que el término x está elevado a la potencia uno y el término
constante es x , por leyes de los exponentes.
Ahora, restamos un uno a las potencias y multiplicamos las constantes:
Esta sección la dedicaremos a estudiar la diferenciación de funciones compuestas. El resultado
que expresa la derivada de una función compuesta en términos de sus funciones componentes se
conoce con el nombre de regla de la cadena . Muchas de las funciones que encontramos con
frecuencia se expresan como . A f la llamaremos función externa y a g, función
interna.
REGLA DE LA CADENA
Si y = (u) es diferenciable en u y u g(x) es difercnciable en x, entonces la
función compuesta f o g es diferenciable en x y se cumple que
En palabras. la derivada de una función compuesta es igual al producto de la derivada de la
función externa (de rivada externa) por la derivada de la función interna (derivada interna).
La regla de la cadena, con las a otras notaciónes se expresa asi:
ejemplo: En este ejemplo utilizaremos la regla de la cadena para derivar el logaritmo
natural de x al cuadrado:
La derivada del logaritmo neperiano es 1 partido por su argumento, por tanto, la derivada
f' (g(×)) será

6. Por otro lado, la derivada de x elevada a dos es 2x:
REGLA TANGENTE
Para obtener una definición adecuada de la recta tangente a la gráfica de una función en
un punto se emplea el concepto de límite
Ecuación de la recta tangente
Sea f una función continua en xo. La ecuación de la recta tangente a
Ejemplo 1
Desde la escuela primaria se sabe que la recta tangente en un punto de una circunferencia es
aquella recta que intercepta a la circunferencia en un solo punto, pero lo cierto es que tal
definición no es suficiente para una curva en general porque en otros casos la recta tangente
puede llegar a interceptar a la curva en uno o más puntos, además de ser inclinada,
horizontal o vertical.
Finalmente, calculamos la derivada de toda la función aplicando la regla de la cadena. La
derivada de la función compuesta será el producto de las dos derivadas que acabamos de
encontrar:
Ejemplo 2 Ejemplo 3
si la función es derivable en xo.
si la derivada, cuando x tiende a xo por la izquierda y por la
derecha, es más infinito (o menos infinito).

7. ejemplo: Calculamos la ecuación de la recta tangente a la curva
en el punto x=2
La ecuación de la recta tangente siempre será de la siguiente forma:
Paso 1: Calcular la pendiente de la recta tangente
La pendiente, m, es el valor de la derivada de la curva en el punto de tangencia. Por tanto, en este
caso m=f´(2)
Paso 2: Hallar un punto de la recta tangente
La ecuación de la recta tangente y la curva siempre tienen un punto en común, que en este
caso es x=2. Por tanto, como la curva f(x) pasa por este punto, podemos hallar la otra
componente del punto calculando f(2):
Así que el punto por el que pasan tanto la curva como la recta tangente es el punto (2,3).
Paso 3: Escribir la ecuación de la recta tangente
Ahora simplemente tenemos que sustituir los valores encontrados de la pendiente y el punto
de la recta tangente en su ecuación:
Así que la ecuación de la recta tangente es:

8. DERIVADA IMPLÍCITA
Consideremos la ecuación xy - 1= 0 En esta ecuación, fácilmente podemos despejar la
1.
Tal el caso de la ecuación , que no tiene soluciones reales. Puede suceder
también que una misma ecuación dé lugar a más de una función. Así, la circunferencia
determina dos funciones.
2.
Sucede con frecuencia que en funciones definidas implícitamente es dificil despejar la
variable dependiente. Por este motivo, sería conveniente contar con una técnica que nos
permita encontrar la derivada de una función definida implícitamente, sin la necesidad de
contar con la expresión explícita de la función, Esta técnica se llama diferenciación implícita y
se resume en la siguiente regla.
variable y: Esta nueva ecuación define a y como función de x.
Casos como el ejemplo anterior suceden con frecuencia. Es decir, una ecuación de la forma
g(x, y)=0 puede dar a lugar a una función y= f(x), si esta situación ocurre diremos que la
ecuación g(x, y)=0 define implícitamente a y como función de x. En cambio, diremos que
una ecuación de la forma y=f(x) define explícitamente a y como función de x.
No toda ecuación de g(x, y)=0 determina implícitamente una función (real de variable real ).
Para derivar implícitamente, derivar la ecuación término a término, considerando a la variable
dependiente como función de la independiente. Luego, despejar la derivada.
ejemplo: Derivar
Derivamos cada término por separado. El que contiene a 'y' con respecto a 'y' y el que contiene
a 'x' con respecto a 'x'.
Despejamos y'

9. DERIVADA LOGARITMICA
Cuando una función tiene un aspecto complicado y está conformada por productos, cocientes,
potencias o radicales, el cálculo de su derivada se simplifica si se utiliza el procedimiento llamado
derivación logarítmica. Para esto, se siguen los siguientes pasos:
1. Tomar logaritmos naturales en ambos miembros y usando las propiedades logarítmicas
transformar los productos, cocientes y exponentes en sumas, restas y multiplicaciones,
respectivamente.
2. Derivar implícitamente.
3. Despejar la derivada y simplificar.
Ejemplo: Mediante derivación logaritmica hallar la derivada de
Solución
Pasos 1: Aplicamos logaritmos y simplificamos:
Paso 2. Derivamos implícitamente
Paso 3. Despejamos la derivada y simplificamos:

10. DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR
Al derivar una función f obtenemos la función derivada f´, cuyo dominio está contenido en el
dominio de f. A la derivada f ' podemos volver a derivarla obteniendo otra nueva función (f´)´,
cuyo dominio es el conjunto de todos los puntos x del dominio de f´ para los cuales f´ es derivable
en x; o sea todos lo, puntos x del dominio de f´ para los cuales existe el siguiente límite:
La f unción ( f ' )' se llama s egunda derivada de f y se denota por f´ . Si f'(a) existe, diremos que f
es dos, veces diferenciable en a y que f '(a) es la segunda derivada de f en a.
Con la, otras notaciones, la segunda derivada de y = f(x) se escribe así:
En vista de que f " es la segunda derivada de f, a f' la llamaremos primera derivada de f
Ejemplo:

11. BIBLIOGRAFÍA
Hipotenusa I BarquisiMeto 2005 CÁLCULO Diferencial para CienceCTEA E
INGENIERIERIA © Jorge Saenz
Elementos de Cálculo Diferencial Volumen i Y Ii, Autor
Angel Ruiz Zúñiga Editorial Universidad de Costa Rica ,Año: 1996
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE, Francisco
Javier Pérez González Departamento de Análisis Matemático Universidad de Granada
PRODUCTO DESCRIPCIÓN
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur
adipisci elit, sed eiusmod tempor incidunt
ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim
ad
FOTOGRAFÍA