Razonesafines

UNIVERSIDAD POLITECNICA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
INGENIERIA EN PROCESOS QUÍMICOS
P.N.F. TRAYECTO I
CÁTEDRA: MATEMÁTICA

RAZONES AFINES
GUÍA PARA RESOLVER LOS PROBLEMAS
1.) Leer cuidadosamente el problema varias veces y pensar en los datos y en las
cantidades que se desea calcular.
2.) Hacer un croquis o esquema apropiado y dar nombre a las variables y a las
cantidades desconocidas.
3.) Escribir los hechos conocidos expresando la rapidez de variación dadas y las
desconocidas como  derivadas de las variables.
4.) Encontrar una ecuación general que relaciones las variables.
5.) Derivar con respecto a t ambos lados de la ecuación del punto 4 para obtener
una relación general entre las razones de cambio respecto al tiempo.
6.) Sustituir los valores y las derivadas conocidas y despejar la rapidez de cambio
desconocida.
EJERCICIOS:
1) Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 120 m/s.
Su altura sobre el suelo t segundo después está por 4,9 120 . Calcular el
tiempo en el que el proyectil llegará al suelo de regreso y su velocidad en ese momento.
¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el proyectil?
En el nivel del suelo S(t) = 0

ds ds
s (t ) = −4, 9t 2 + 1 ⇒ 20t ⇒ = v (t ) = − 9,8 t + 120 ⇒ = 0 ⇒ tmáx = 12, 24 seg
dt dt
⇒ t = 2tmáx = 24, 5segv (t ) = − 120m / S ⇒ v (25) = −120 = 120 ( m ) ⇒
v seg

h ⇒ S (12, 24) = − 4, 9 (12, 24) 2 + 120 (12, 24) → S (12, 24) = 734, 7 m
máx

1

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damasorojas8@gmail.com,damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com

P.N.F. TRAYECTO I

100
2) La corriente (Ι), en un circuito eléctrico está dada por I = , donde (R) es la
R
resistencia. Calcular la tasa de cambio o variación de Ι con respecto a R cuando la
resistencia es de 20.

dI 100 dΙ 100 dΙ 1
Ι = 100 R − 1 → = − 2 ⇒ R = 20 ⇒ = − ⇒ = −
dR R dR 400 dR 4

3) Una escalera de 20 pie de largo está apoyada contra la pared de un edificio, la base de
la escalera se desliza horizontalmente a razón de 2 pies/s. ¿Con qué rapidez resbala el
otro extremo de la escalera cuando se encuentra a 12 pie del suelo?

dx
= 2 pies / S → V ′(t )
dt
dy
→ cambio de la altura del extremo sup erior Y = 12 pie
dt
dx dy dy dx dy dx
x 2 + y 2 = 400 ⇒ 2 y + 2y = 0 → 2y = − 2x ⇒ = −
dt dt dt dt dt dt
x = 400 − y ⇒ x = 400 − 144 → x = 16 → Pto (16,12)
2 2 2

dy 16 dy 8 pie
=− (2) → = − seg
dt 12 dt 3

4.) Suponga que el pulso de un individuo (en latidos/minutos) Q los t segundo de haber
comenzado a correr está dado por p(t) = 56 + 2t2 ‐ t para 0 ≤ t ≥ 7. Calcular la tasa de
variación o cambio de p(t) con respecto a t en (a) t = 2 ; (b) t =4

dp ( t ) dp ( 2 ) dp ( 4 )
= 4t − 1 → =7 = 15
dt dt dt
2


P.N.F. TRAYECTO I

5) La resistencia eléctrica R de un alambre de cobre de longitud constante es
inversamente proporcional al cuadrado de su diámetro d. ¿Cuál es la tasa de cambio o
variación de R con respecto a D?
L dR −2L dR −2L
R = 2
→ = 3
→ = 3
D dD D dD D
D o n d e L = C o n s ta n te d e p r o p o r c io n a lid a d

6) Se deja caer una piedra en un lago en calma, lo que provoca ondas y círculos. El radio r
del círculo exterior está creciendo a un ritmo constante de 1 . Cuando el radio es de 4
pies, ¿A qué ritmo está cambiando el área A de la región circular perturbada?
dr
A = π r 2 ( á r e a d e u n c ír c u lo ); = 1 speieg
dt

dA ⎛ dr ⎞ dA dA
= 2π r ⎜ ⎟⇒ = 2 π ( 4 p ie )1( s e g ) ⇒
p ie
= 8π ( seg )
p ie 2

dt ⎝ dt ⎠ dt dt

7) ¿En que punto de la palabra y2 = 18 x la ordenada crece dos veces más de prisa que la
abscisa?
⎛ dy ⎞ ⎛ dx ⎞
y 2 = 18 x; sabem os que : ⎜ ⎟ = 2 ⎜ ⎟ ⇒ d e r iv a n d o :
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
⎛ dy ⎞ ⎛ dx ⎞ ⎡ ⎛ dx ⎞⎤ ⎛ dx ⎞
2y⎜ ⎟ = 18 ⎜ ⎟ ⇒ 2 y ⎢2 ⎜ ⎟⎥ = 18 ⎜ ⎟ ⇒
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎣ ⎝ dt ⎠⎦ ⎝ dt ⎠
⎛ dx ⎞ ⎛ dx ⎞ ⎛ dx ⎞ ⎛ dx ⎞
4y⎜ ⎟ − 18 ⎜ ⎟ = 0 ⇒ ⎜ ⎟ [4 y − 18]= 0 ⇒ ⎜ ⎟ = 0;
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
2
9 ⎛ 9 ⎞ 9 ⎛ 9 9 ⎞
4 y − 18 = 0 ⇒ y = ⇒ ⎜ ⎟ = 18 x ⇒ x = ⇒ P to . ⎜ , ⎟
2 ⎝ 2 ⎠ 8 ⎝ 8 2 ⎠

8) Sean dos resistencias R1 y R 2 conectadas en paralelo. La resistencia equivalente R
1 1 1 Ω
cumple: = + , Si R1 y R 2 aumentan a razón de 0.01 y 0.02
R R1 R 2 seg
respectivamente, calcula la razón de cambio de R cuando R1 = 30Ω y R2 = 90Ω.

1 1 1 R (t) . R2 (t )
= + ⇒ R (t ) = 1
R R1 R2 R1 (t ) + R2 (t )

3


P.N.F. TRAYECTO I

⎛ ⎛ dR1 ⎞ ⎛ dR2 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ dR1 ⎞ ⎛ dR2 ⎞ ⎞
⎜ ⎜ dt ⎟ R2 + R1 ⎜ dt ⎟ ⎟ ( R1 + R2 ) − ( R1 R2 ) ⎜ ⎜ dt ⎟ + ⎜ dt ⎟ ⎟
dR ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠
=
( R1 + R2 )
2
dt

⎛ dR ⎞ 2 ⎛ dR ⎞
R ⎜ 2 ⎟ + R2 ⎜ 1 ⎟
2
1 −2 −2
dR
= ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⇒ dR = (900)(2.10 )+ (8100)(10 ) ≅ (68, 75)10−4 Ω

( R1 + R2 )
2 seg
dt dt (120) 2

9) Demuestre que la tasa de variación del volumen de una esfera con respecto al radio es
igual al área de la superficie.

dv 4 dr dv
V = 4 π r 3 (volumen de la esfera) →
3 = 3 (3π r 2 )( ) → = 4π r 2 (área dela esfera)
dr dr dr

10) Se bombea aire en el interior de un globo a razón de 4,5 , calcular el ritmo de
cambio del radio del globo cuando el radio es de 2 pulgadas.

dv dv 4 dr dv dr dr 1 ⎛ dv ⎞
V = 4 π r3; = 3 (3π r 2 )( ) ⇒ = 4π r 2 ( ) ⇒ ( ) =
3
= 4.5 pu l ⇒ ⎜ ⎟
4π r 2
3 min
dr dr dr dr dr dr ⎝ dr ⎠

(
dr
dr
)=
1 ⎛9⎞
2 ⎜ ⎟
4π (2 pul ) ⎝ 2 ⎠
( ) ⇒ ( dr ) = 32π ( )
pu l3
min
dr 9 pu l
min

11) Dos lados paralelos de un rectángulo están aumentando de longitud a razón de ,
mientras los otros dos lados están disminuyendo de tal manera que la figura sigue siendo
un rectángulo de área constante . ¿Cuál es la razón de cambio del perímetro
P cuando la longitud de un lado creciente es de 5 pulgadas? ¿Cuáles son las dimensiones
cuando el perímetro cesa de decrecer?

x : (longitud de los lados que crecen); y : (longitud de losotroslados )
dP ⎛ dx dy ⎞
P : ( perímetrodel rectágulo)P = 2( x + y) ⇒ = 2 ⎜ + ⎟ ; A : (área del rectágulo) A = xy ⇒ 50 = xy
dt ⎝ dt dt ⎠

4


P.N.F. TRAYECTO I

⎛ dy ⎞ ⎛ dy ⎞
si x = 5, ⇒ 50 = xy ⇒ y = 10 ⇒ 0 = (10)(2) + 5 ⎜ ⎟ ⇒ ⎜ ⎟ = −4
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
dP ⎛ dx dy ⎞ dP dP
= 2⎜ + ⎟ ⇒ = 2 ( 2 − 4) ⇒ = −4( pu lg )
⎝ dt dt ⎠
seg
dt dt dt
dP dx dy
P deja de crecer cuando =0⇒ =− = −2
dt dt dt
⎛ dx dy ⎞
0 = ⎜ y + x ⎟ ⇒ 0 = ( y (2) + x(−2) ) ⇒ x = y = 5 2 pu lg
⎝ dt dt ⎠

12) Un tanque de agua tiene la forma de un cono circular recto de 12 pie de alto y 6 pie de
radio en la base. Si se suministra agua al tanque a razón de 10 galones por minuto (gal /
min). ¿Cuál será la rapidez de cambio del nivel de agua cuando la profundidad es de 3 pie
(gal ≈  0.1337 pie3)?

Identificamos las variables:

dv dy
= 10 min ;
gal
=? y = 3 pie
dt dt
1 1
volumen del cono :V = π r 2h; donde : r = x ; h = y ⇒ V = π r 2 y
3 3
6 x 6y y
por relación de triángulos : = → x = → x =
12 y 12 2
1 y 2
π 3 dv π 2 ⎛ dy ⎞
V = π y ⇒V = y ⇒ = 3y ⎜ ⎟
3 4 12 dt 12 ⎝ dt ⎠
dv π y 2 dy 4( dv / dt ) dy dy 4(1, 337 pie 3 / min) dy
= → = ⇒ = → = 0,189 min
pie

dt 4 dt πy 2
dt dt (3.14) (3 pie ) 2
dt

5


P.N.F. TRAYECTO I

13) A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 m. de radio
y 16 m. de altura entra agua a una razón de 50 . ¿A qué rapidez está subiendo el
nivel del agua cuando este se encuentra a 4 m de altura? ¿A qué rapidez está
cambiando el radio en ese mismo instante?

V : volumen ( en cm 3) de agua en t ( seg .).
x : radio ( en cm.) de la sec ción del cono al nivel del líquido en el ins tan te t .
dv
= 50 cm
3
y : altura del agua ( en cm.) en t (seg); seg
dt
1 1
V = π r 2 h; donde : r = x ; h = y ⇒ V = π r 2 y
3 3
16 y y
por relación de triángulos : = → y = 4x → x =
4 x 4
π y3 dv π 3 y 2 ⎛ dy ⎞ dv π y 2 ⎛ dy ⎞
2
1 1 ⎛ y⎞
V = π x y ⇒V = π ⎜ ⎟ y⇒V =
2
⇒ = ⎜ ⎟⇒ = ⎜ ⎟
3 3 ⎝4⎠ 48 dt 48 ⎝ dt ⎠ dt 16 ⎝ dt ⎠
⎛ dv ⎞
16 ⎜ ⎟ 3

= ⎝ 2 ⎠ =⇒
dy dt dy 16(50 cm ) dy 1
= min
→ = cm
( seg )
dt πy dt π (400 cm ) 2
dt 200π
1 1 4π x 3
Parte (b ) : V = π x y ⇒ V = π x (4 x ) ⇒ V =
2 2

3 3 3
dv
dv 4π 3 x 2 ⎛ dx ⎞ dv 2 ⎛ dx ⎞ ⎛ dx ⎞ dt ⇒ ⎛ dx ⎞ = (50 min )
cm 3
= ⎜ ⎟⇒ = 4π x ⎜ ⎟⇒⎜ ⎟= ⎜ ⎟
3 ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ 4π x ⎝ dt ⎠ 4π (100 cm )
2 2
dt dt
⎛ dx ⎞
3
(50 cm ) dx 1
⎜ ⎟ = min
⇒ = cm
( seg )
⎝ dt ⎠ 4π (100 cm ) dt 800π
2

6


P.N.F. TRAYECTO I

14) Una tolva con forma de cono recto circular invertido de radio de base R y altura H está
siendo llenada con líquido con un gasto constante Q = 0.5 m3 por minuto. A medida que se
produce el llenado el nivel del líquido en la tolva sube. Si R = 2 m y H = 3m. Calcula esa
rapidez, e indica el valor de la velocidad cuando la altura del líquido en la tolva es de 1,5
m. ¿Qué condición crees que debería cumplir el recipiente para que el nivel subiera a
velocidad constante? Justifica mediante cálculo en el caso que el recipiente sea un cilindro
recto circular.

R r R .h π R2 3
por relación de triángulos : = ⇒ r = ⇒V = h
H h H 3 H2
dV π R 2 ⎛ dh ⎞ dV π R h ⎛ dh ⎞
2 2
dV dh Q . H2
= (3h 2 ) ⎜ ⎟ ⇒ = ⎜ ⎟ ; pero Q = ⇒ =
dt 3H 2 ⎝ dt ⎠ dt H 2 ⎝ dt ⎠ dt dt π . R 2 . h2
3
dh (0.5 min )(3m) 2
m
m dh
= ≅ 0.16 ⇒ = 16 min
cm
dt π (2m) (1.5m)
2 2
min dt
b) El razonamiento hecho en la parte a ) del ejercicio nos conduce a afirmar que el recipiente
deberia tener sec cion horizontal cons tan te. En el caso de cilindro circular tendremos :
V = π R2h con R cons

7


P.N.F. TRAYECTO I

dV ⎛ dh ⎞
Derivando respecto de (t ) : = π R2 ⎜ ⎟
dt ⎝ dt ⎠
dh Q
v= = → v cont.
dt π R 2

15) Un depósito de agua tiene la forma de un cono circular recto con su vértice hacia
abajo, su altura es de 10m y el radio de la tapa es de 15m, el agua sale por el vértice con
una rapidez constante de 1 , se vierte agua en el depósito a razón de , calcular λ en
el momento en que el nivel del agua alcáncela altura de 8m.

dv
v = 1 π r 2 h (volunen de cono );
3 =λ m3
seg
dt
dv = λ dt ⇒ ∫ dv = ∫ λ dt ⇒ v (t ) =λ t + K → λ t + K = 1 π r 2 h
3

r 15
por relación de triágulos : = →r= 3h2
h 10
dt dh dh
λ t + K = 1 π ( 2 h)2 h ⇒ λ t + K = 4 π h3 ⇒ λ ( ) = 9 π h 2 ( ) ⇒ λ = 9 π h 2 ( )
3
3 3
4 4
dt dt dt
dv dv 9 2 dh dv dh
como =λ⇒ = 4 π h ( ) además = 1 ⇒ 1 = 9 π h2 ( )
4
dt dt dt dt dt
dh 4 dh 4 dh 1 m
( )= ⇒( )= ⇒( )=
dt 9π h 2
dt 9π (8) 2
dt 72π seg
⎛ 1 ⎞ m
λ = 9 π (8m ) 2 ⎜ ⎟ seg ⇒ λ = 2 seg
m3

⎝ 72π ⎠
4

16) Un vaso de papel en forma de cono se llena con agua a razón de 3 cm 3 / seg. La altura
del vaso es de 10 cm y el radio de la base es 5 centímetros. ¿Qué tan rápido sube el nivel
del agua cuando el nivel es 4 cm?

8


P.N.F. TRAYECTO I

π r 2 h ⎛ dv ⎞ 3 ⎛ dh ⎞
Volumen del cono : V = ; ⎜ ⎟ = 3 cm ; ⎜ ⎟ = ?
seg
3 ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
2
⎛h⎞
π⎜ ⎟ h
π h3 ⎛ dv ⎞ ⎛ π 3 h 2 ⎞⎛ dh ⎞ ⎛ dv ⎞ π h 2 ⎛ dh ⎞
= ⇒ r = ⇒ v= ⎝ ⎠ ⇒ v =
r h h 2
⇒ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
5 10 2 3 12 ⎝ dt ⎠ ⎝ 12 ⎠⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ 4 ⎝ dt ⎠

⎛ dh ⎞ 4 ( dv dt )
=
⎛ dh ⎞
⇒⎜ ⎟ =
4 3 seg ⎛ dh ⎞
⇒⎜ ⎟=
(
3 cm3
cm3
)
⎜ ⎟
⎝ dt ⎠ πh 2
⎝ dt ⎠ π 16 m ⎝ dt ⎠ 4π
seg

17) El radio de la base de un cono aumenta a razón de 3 , y la altura disminuye a razón
de 4 , determine la rapidez con que varía el área total del cono, cuando el radio mide
7cm y la altura 24cm.
a = π r ( r + h)
da dr ⎡ dr dh ⎤
a (t ) = π r 2 (t ) + π r (t ) h(t ) →
= 2π r ( ) + ⎢π ( ) h + π r ( ) ⎥
dt dt ⎣ dt dt ⎦
da da
= 2π (7cm)3 cm + π ⎡(3 cm )(24cm) + (7cm)(4 cm ) ⎤ →
h ⎣ h h ⎦ = 142π ( cm ) 2
h
dt dt

18) El radio de la base de cierto cono circular recto aumenta a razón de , y la altura

disminuye a razón de 4 , Calcular cómo varía el área total del cono cuando el radio es de
7 cm y la altura es de 24cm.

dr 1 cm dh
a = π r r 2 + h2 ; = ( seg ); = 4( seg )
cm
dt 20 dt
⎡ dr dh ⎤
π r ⎢ 2r ( ) + 2h( ) ⎥
da dr
= π ( ) r 2 + h2 + ⎣ dt dt ⎦
dt dt 2 r 2 + h2
⎡ 1 ⎤
π r ⎢ 2r ( ) + 2 h (4) ⎥
da 1
= π ( ) r 2 + h2 + ⎣ 20 ⎦ ; pero r = 7 cm; h = 24 cm
dt 20 2 r +h 2 2

⎡ 1 ⎤
π (7) ⎢ 7( ) + 2(24)(4) ⎥
da 1
= π ( ) (7) 2 + (24) 2 + ⎣ 10 ⎦ ⇒ da = 28.228π ( cm )
seg
dt 20 2 (7) 2 + (24) 2 dt
9


P.N.F. TRAYECTO I

19) Un tanque cónico de 12pie de altura y 8 pie de diámetro en la tapa, se llena con agua a
una razón constante. Al encontrar el nivel a media altura, la razón de cambio de esta
altura es de . Determine cuánto tardará en llenar el tanque.

dv
v = 1 π r 2 h(volunen de cono);
3 =k m3
seg
dt
dv = kdt ⇒ ∫ dv = ∫ kdt ⇒ v(t ) =kt + c si t = 0 → v = 0 → c = 0 → kt = 1 π r 2 h
3

r 4
por relación de triágulos : = →r = h 3
h 12
dt dh dh
kt = 1 π ( h ) 2 h ⇒ kt = 27 π h3 ⇒ k ( ) = 27 π h 2 ( ) ⇒ k = 9 π h 2 ( )
3 3
1 3 1
dt dt dt
cuando el nivel del agua está a media altura h = 6 ⇒ k = 1 π (6) 2 (1) min → k = 4π
9
pie

⇒ v = 4π t

de : v = 1 π r 2 h y si está lleno ⇒ v = 1 π (4) 2 (12) ⇒ v = 64π
3 3

Igualamos 4π t = 64π ⇒ t = 16 min

20) La caja de un camión transportador de granos está siendo llenada con el grano
m3
proveniente de un silo a razón de 0.5 . El grano forma un cono circular recto cuya
min.
4
altura es constantemente igual a del radio de la base. Determine: a) ¿A qué rapidez
5
está subiendo el vértice del cono cuando la altura es de 1.50 m? b) ¿Cuál es el radio de la
base del cono en ese momento y a qué velocidad está variando?

10


P.N.F. TRAYECTO I

dh
a) =?(rapidez con que está subiendo el vértice, cuando h = 1.5 m )
dt
π R2h 5R 4h 16π h 3 dV 16π h 2 ⎛ dh ⎞
V = ; Como h = ⇒R= ⇒ V (t ) = ⇒ = ⎜ ⎟
3 4 5 75 dt 25 ⎝ dt ⎠
dV dh 25
si : = 0.5 min ; h = 1.5 m ⇒
m3
= ≅ 0.44 min
m
dt dt (8)(2, 25)π

4h
dR 4 ⎛ dh ⎞ dR 4
b) Si R = ⇒= ⎜ ⎟⇒ = . 0, 44 ≅ 0, 35 min
m
dt5 5 ⎝ dt ⎠ dt 5
4(1, 5)
El valor del radio es : R = = 1, 20 m
5

21) Un camión descarga arena formándose un montículo que tiene la forma de cono recto
circular. La altura h va variando manteniéndose constantemente igual al radio r de la base.

Cuando la altura es de 1m, ella está aumentando a razón de 25 cm . ¿Con qué rapidez
m in u to
está cambiando en ese instante el volumen V de arena?



V = π r 2 h; Como r = h ⇒ V = π r 3 ∀ t ≥ 0
dV dV ⎛ dh ⎞ dh
= ? h =1 m ⇒ = 3π h 2 ⎜ ⎟ ; si h = 1m, = 25 min = 0.25 min
cm m
dt dt ⎝ dt ⎠ dt
dV
= 3π (1) (0.25) = 0.75π min
2 m3
dt

11


P.N.F. TRAYECTO I

22) En la expansión adiabática del aire rige la ecuación Ρ. V1.4 = K (Constante). En un
instante   determinado la  presión es de 50 ,  y  el  volumen  de  32 cm3  y  el     volumen
decrece   a razón de 4 ¿Con qué rapidez varía la presión en ese instante?

dv dp
= − 4 cm ( decrece ); p = 50 m 2 ; =?
3 kg
seg
dt dt
p v1.4 = k Aplicando Ln ⇒ Ln p v1.4 = Lnk ⇒ Lnp + 1.4 Lnv = Ln k
Ln k = c ⇒ Ln p + 1.4 Ln v = c
⎛ dp ⎞ ⎛ dv ⎞ ⎛ dv ⎞
1 ⎛ dp ⎞ 1.4 ⎛ dv ⎞
v⎜ ⎟ + 1.4 ⎜ ⎟ p ( − 1.4) p ⎜ ⎟
=⎜ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ dp ⎝ dt ⎠
⎟+ ⎜ ⎟=0 ⇒ = 0⇒ =
p ⎝ dt ⎠ v ⎝ dt ⎠ pv dt v
dp ( − 1.4)(50 m 2 )( − 4 cm )
kg 3
dp
= ⇒ = 8, 75
seg kg
3 cm 2 seg
dt 32 c m dt

23) La Ley de Boyle de los gases asevera que PV = C donde P es la presión, V el volumen y
C una constante. En cierto momento el volumen es 75 pulg3, la presión es de 30 Lb/pulg2 y
ésta disminuye a razón de 2Lb/pulg2 por min. ¿Cuál es la rapidez de cambio del volumen
en ese momento?

⎛ dp ⎞ ⎛ dv ⎞ ⎛ dv ⎞ v ⎛ dp ⎞
pv = c ⇒ ⎜ ⎟v + p⎜ ⎟ = 0⇒ ⎜ ⎟ =− ⎜ ⎟
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ p ⎝ dt ⎠

⎛ dv ⎞ (
7 5 p u lg
3
⎛ )
−2 Lbs ⎞ ⎛ dv ⎞

⎟= ⎟ ⇒ ⎜ ⎟ = 5 p u lg m in
3
⎜ ⎜
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
2
3 0 p ulb 2
lg ⎝ p u lg m in . ⎠

24) ¿Durante cuántos segundos se debe estar apartado de la trayectoria de una araña que
cae de un techo de 400 pies de altura de acuerdo a la ecuación de movimiento      S = 16
t2? ¿Cuál será la rapidez de la araña en el momento de alcanzar a uno que no se haya
apartado?
400
a ) s = 1 6t 2 ⇒ 400 = 16t 2 ⇒ = t ⇒ t = 5 seg
16

⎛ ds ⎞ ⎛ ds ⎞ ⎛ ds ⎞
⎟ = 32 t ⇒ ⎜ ⎟ = (3 2 )(5) ⇒ ⎜ ⎟ = 160
p ie
b) ⎜
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
seg

12


P.N.F. TRAYECTO I

25) Un   conejo  corriendo  en  la  maleza  se  mueve  siguiendo la trayectoria de la curva
. En cierto punto se encuentra con un perro cazador y se desvía siguiendo
la trayectoria de la tangente a la curva en punto donde se produjo el encuentro. Hallar en
que punto se encontraron sabiendo que el conejo ha de pasar en su escape por el punto
(‐3, ‐8).

dy
= 3 x 2 − 1 = m tg ⇒ y − y 1 = m tg ( x − x1 ) ⇒ y + 8 = (3 x 2 − 1)( x + 3)
dx
y + 8 = 3x3 + 9 x 2 − x − 3 ⇒ 3x3 + 9 x 2 − x − 11 = y
x3 − x = 3 x3 + 9 x 2 − x − 11 ⇒ 2 x3 + 9 x 2 − 11 = 0
fa cto riza n d o : x1 = 1; x 2 = − 1, 3 1 5; x 3 = − 4,1 8 5
su st : x1 = 1, en la fu n ció n ⇒ p (1, 0 )

10
26) Un punto se mueve sobre la hipérbola y =de tal modo que su abscisa “x”
x
aumenta uniformemente con la velocidad de una unidad por segundo. ¿Con qué rapidez
variará su ordenada cuando el punto pase por la posición (5,2)?

10 ⎛ dy ⎞ − 10 ⎛ dx ⎞ ⎛ dx ⎞
y= ⇒⎜ ⎟ = 2 ⎜ ⎟ ; Pero ⎜ ⎟ = 1 seg ; x = 5
u
x ⎝ dt ⎠ x ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠

⎛ dy ⎞ − 10 u ⎛ dy ⎞ 2 u
⎜ ⎟ = ⇒⎜ ⎟ = − seg
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
2 seg
(5) 5

27) Un punto se mueve sobre la curva de ecuación ( x − 3) + ( y + 1) = 4 de tal modo que
2 2

su abscisa  aumenta con la velocidad de 2 unidades por seg. Determine la rapidez varía la
ordenada cuando el punto pase por la posición ( 2, 3 − 1)
⎛ dx ⎞
⎜ ⎟=2
⎝ dt ⎠
u
s
⎛ dy ⎞
; ⎜ ⎟= ?
⎝ dt ⎠
P to . 2 ,( 3 −1 ) ; ( x − 3 ) 2 + ( y + 1) 2 = 4

⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞
2( x − 3) ⎜ ⎟ + ( y + 1) ⎜ ⎟ = 0
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
⎛ dx ⎞
− ( x − 3) ⎜ ⎟
⎛ dy ⎞ ⎝ dt ⎠ = − (2 − 3) (2 u ) ⎛ dy ⎞ ⎛ − 1 ⎞ u
⎟ = ⇒⎜ ⎟ = ⎜
s
⎜ ⎟s
⎝ dt ⎠ ( y + 1) 3 −1+1 ( )
⎝ dt ⎠ ⎝ 3 ⎠

13


P.N.F. TRAYECTO I

28) En que punto de la parábola y2 = 18 x el crecimiento de la ordenada es 1/3 del
crecimiento de la abscisa.
⎛ dy ⎞ ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ 1 ⎛ dx ⎞
y 2 = 18 x ⇒ 2 y ⎜ ⎟ = 18 ⎜ ⎟; pero :⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ 3 ⎝ dt ⎠
1 ⎛ dx ⎞ ⎛ dx ⎞ ⎛ 2y ⎞ ⎛ dx ⎞ 2y
(2 y ) ⎜ ⎟ = 18 ⎜ ⎟⇒ ⎜ − 18 ⎟ ⎜ ⎟ = 0 ⇒ − 18 = 0 ⇒ y = 27
3 ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ dt ⎠ 3
2
27
= x ⇒ x = 40, 5 P to ( 4 0 .5 , 2 7 )
18

29) El aire escapa de un globo esférico a razón de 3 pulg3/min. Cuando el radio es 5
pulgadas. ¿Qué tal rápido es el decremento del radio?
⎛ dv ⎞ p u lg 3 4π r 3 ⎛ dr ⎞
⎜ ⎟ =−3 m in ; r = 5 p u lg ; v =
(V d e la esfera ) ⎜ ⎟ = ?
⎝ dt ⎠ 3 ⎝ dt ⎠
⎛ dv ⎞
4 (3π r ) ⎛ d r ⎞ ⎜ ⎟
⎛ dv ⎞ ⎛ dv ⎞ 2 ⎛ dr ⎞ ⎛ dr ⎞
2
⎝ dt ⎠
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⇒ ⎜ ⎟ = 4π r ⎜ ⎟⇒ ⎜ ⎟ =
⎝ dt ⎠ 3 ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ 4π r2
− 3 pm in
3
⎛ dr ⎞ ⎛ dr ⎞
( )
u lg
3
⎜ ⎟ = ⇒ ⎜ ⎟ =−
p u lg

4 (π )( 5 p u lg ) 100 π m in
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
2

30) Se libera gas de una globo esférico a razón de8 . Determine la rapidez con que varía

la superficie del globo en el instante en que el radio mide 2m.
4 dv cm 2
v = π r 3 (volumen del globo) y =8
3 dt seg
dv 4 dr dr dr 2
= π (3r 2 ) → 8 = 4π ( r 2 ) → = → Como r = 200cm
dt 3 dt dt dt π (r 2 )
cm
dr 2 seg dr 1 cm
= → =
dt π (200cm) 2
dt 200π seg
ds dr
si s = 4π r 2 ( área del globo) → = 4π (2r ) sustituimos los valores
dt dt
ds 1 cm ds cm 2
= 8π (200cm)( ) → =8
dt 200π seg dt seg
14


P.N.F. TRAYECTO I

31) Un atleta en los 100m planos recorre esa distancia según la siguiente relación
8 , determinar la rapidez del corredor: a) cuando sale, b) a los 5seg,     c) al
cruzar la meta.

t2 ds 2t
s (t ) = + 8t → = +8
5 dt 5
ds m
a )Cuando sale t = 0 → =8
dt seg
ds m
b)Cuando t = 5 → = 10
dt seg
t2
c )Cuando s (t ) = 100 → 100 = + 8t → t 2 + 40t − 500 = 0 → t1 = 10; t2 = −50
5
dr 2(10) m ds m
= + 8( )→ = 12
dt 5 seg dt seg

32) La ecuación de un movimiento rectilíneo está dada por , donde
K, α y w son constantes, K, w≠ 0;   , . Determine la posición del móvil y su rapidez,
en el instante en que la aceleración es cero.

⎛ ds ⎞
s(t ) = Ksen(α + wt )( posición del movil ) ⇒ ⎜ ⎟ = Kw cos(α + wt ) (velocidad del movil )
⎝ dt ⎠
⎛ d 2s ⎞
⎜ 2 ⎟ = − Kw sen(α + wt ) (aceleración del movil )
2

⎝ dt ⎠
⎛ d 2s ⎞
⎜ 2 ⎟ = 0 → − Kw sen(α + wt ) = 0 → como k , w ≠ 0 → sen(α + wt ) = 0
2

⎝ dt ⎠
α π −α
(α + wt ) = arcsen(0) → α + wt = 0 ∨ α + wt = π → t = − ∨ t = ⇒
w w
⎛ ds ⎞ α ⎛ α⎞
⎜ ⎟ = Kw cos(0) = Kw, s(− ) = Ksen(α + w ⎜ − ⎟) = 0
⎝ dt ⎠ w ⎝ w⎠
⎛ ds ⎞ π −α ⎛ π −α ⎞
⎜ ⎟ = Kw cos(π ) = − Kw, s( ) = Ksen(α + w ⎜ ⎟) = 0
⎝ dt ⎠ w ⎝ w ⎠

15


P.N.F. TRAYECTO I

33) Considere el circuito de la figura donde un condensador cargado de capacidad C
(Faradios) y tensión inicial de V (voltios) entre sus placas, se descarga sobre una
resistencia R (Ω). Al cerrar la llave S comienza a circular una corriente de intensidad I
dada por la expresión:

t
V −τ
I(t) = e , (τ= RC cte. de tiempo), Calcula la rapidez de variación de I en t = 0 y t = τ
R

v −τ t dI v ( −t )
I (t ) =
e ⇒ La rapidez está dada por =− eτ
R dt Rτ
dI
En t = 0 : ( 0 ) = −
dt
v amp
Rτ seg ; ( ) dI
En t = τ : (τ ) = −
dt
v −1
Rτ
e ( )
amp
seg

34) Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al derramarse en el
mar 100 m3 de petróleo. Calcula con qué rapidez aumenta el radio de la mancha cuando
ese radio es de 50m si el espesor disminuye a razón de10 en el instante en que R = 50
m.

dV ⎛ ⎛ dR ⎞ 2 ⎛ dh ⎞ ⎞
V = π R 2 h; ∀ t ≥ 0 = π ⎜ 2R ⎜
⇒ ⎟h + R ⎜ ⎟⎟
dt ⎝ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎠
dV ⎛ dR ⎞ 2 ⎛ dh ⎞ dR − R ⎛ dh ⎞
Como V es cons. ⇒ = 0 ⇒ 2R ⎜ ⎟h + R ⎜ ⎟ = 0 ⇒ = ⎜ ⎟
dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ dt 2h ⎝ dt ⎠
V 100 0.04
V = π R2h ⇒ h = ⇒ Como : V = 100m3 , R = 50 m ⇒ h = = m
πR 2
π (50) 2
π
−50π
dh
dt
= −10−2 m ⇒
h
dR
=
dt 2 ( 0.04 )
( −10−2 ) = 6.25 π ( m ) 20 ( m )
h h

16


P.N.F. TRAYECTO I

35) Se llena un tanque cilíndrico de 10 pies de radio con trigo a razón de 314 pies3/min.
¿Qué tan rápido se incrementa la profundidad del trigo?
⎛ dv ⎞ ⎛ dh ⎞
V = π r 2 h; r = 10 pie;
⎜ ⎟
pie 3
= 314 min ; ⎜ ⎟=?
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
⎛ dv ⎞
⎜ ⎟ pie 3
⎛ dv ⎞ 2 ⎛ dh ⎞ ⎛ dh ⎞ ⎝ dt ⎠ ⎛ dh ⎞ (314 min ) ⎛ dh ⎞
⎟ =π r ⎜ ⎟⇒ ⎜ ⎟= ⇒⎜ ⎟= ⇒⎜ ⎟ ≅ 1 min
pie
⎜
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ πr 2
⎝ dt ⎠ π 100 pie
2
⎝ dt ⎠
36) El radio y la altura de un cilindro circular recto están en la proporción 2: 3. Si la altura
aumenta a razón de 2 , ¿Cómo debe variar el radio para que el volumen se mantenga
constante?
⎛ dh ⎞
Volumen de un cilindro :V = π r h; ⎜ 2
⎟ = 2 seg
mim

⎝ dt ⎠
r 2 3r 3π r 3 h
según la proporción 2 : 3 → = → h = →V =
h 3 2 2
⎛ dv ⎞ 9π r ⎛ dr ⎞ ⎛ dv ⎞ ⎛ dr ⎞
( )
2
C
⎟ = ⎟ ⇒ si r = 2 cm → ⎜ ⎟ = C ( const ) → ⎜ ⎟ =
cm
⎜ ⎜
⎝ dt ⎠ 2 ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ 18π
seg

3r ⎛ dh ⎞ 3 ⎛ dr ⎞ 3 ⎛ dr ⎞ ⎛ dr ⎞ 4 mim
h= ⇒ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ → 20 = ⎜ ⎟→⎜ ⎟ =
2 ⎝ dt ⎠ 2 ⎝ dt ⎠ 2 ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ 3 seg
6π ⎛ dr ⎞ 6π
4
300
=
C
18π
→C =
25
→⎜ ⎟ = 25
⎝ dt ⎠ 18π
( ) → ⎛ dr ⎞ =
cm
seg⎜ ⎟
⎝ dt ⎠
1
75
( )
cm
seg

37) Si el  volumen de un cilindro aumenta a razón de 3 , Determine la razón de cambio
de la superficie del cilindro en el instante cuando h = 1, sabiendo que la altura es el triple
de su radio.


Volumen de un cilindro : V = π r 2 h; s = 2π rh + 2π r 2 (área total )
⎛ dv ⎞ ⎛ dr ⎞
pero h = 3r ⇒ V = π r 2 (3r ) ⇒ V = 3π r 3 ⇒ ⎜ ⎟ = 9π r 2 ⎜ ⎟
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠

17


P.N.F. TRAYECTO I

⎛ dr ⎞ ⎛ dr ⎞
3 = 9π r 2 ⎜
⎝ dt ⎠
⎟⇒ ⎜ ⎟ =
1
⎝ dt ⎠ 3π r
2
cm
seg ( )
s = 2π r (3 r ) + 2π r 2 ⇒ s = 6π r 2 + 2π r 2 ⇒ s = 8π r 2
⎛ ds ⎞ ⎛ dr ⎞ ⎛ ds ⎞ ⎛ ds ⎞ 16
⎜ ⎟ = 16π r ⎜
⎝ dt ⎠
⎟⇒ ⎜
⎝ dt ⎠
⎟ = 16π r
⎝ dt ⎠
1
3π r 2 seg ⇒ ⎜
cm

⎝
( ) ⎟=
dt ⎠ 3 r
( )
cm 2
seg

⎛ ds ⎞ ⎛ ds ⎞
1
si h = 1 ⇒ h = 3 r ⇒ r = ⇒ ⎜
3
⎟=
16 cm 2
⎝ dt ⎠ 3 ( 1 )
seg ⇒ ( ) ⎜ ⎟ = 16
⎝ dt ⎠
( )
cm 2
s eg
3

38) Para estimar la cantidad de madera que produce el tronco de un árbol se supone que
el mismo tiene la forma de cono truncado como indica la figura. Siendo: r el radio de la
base superior; R el radio de la base inferior y h la altura. Recordando que el volumen V de

un tronco de cono está dado por la expresión: V = π . h . ( R 2 + R . r + r 2 )    Determine:
1
3
¿Cuál es la rapidez de variación del volumen V en el momento en que: r = 60 cm,    R = 90
cm y h = 15 m, si el incremento de r es de10 ñ , el incremento de R es de 15 ñ , y el de h
de  25 ñ ?



π h ( R 2 + R r + r 2 ) ; ∀ t ≥ 0.
1
volumen del tronco de cono V =
3
dV π ⎡ dh 2 ⎛ ⎛ dR ⎞ ⎛ dr ⎞ ⎛ dR ⎞ ⎛ dr ⎞ ⎞ ⎤
= ⎢ ( R + rR + r 2 ) + h ⎜ 2 R ⎜ ⎟+ R⎜ ⎟+ r⎜ ⎟ + 2r ⎜ ⎟ ⎟ ⎥
dt 3 ⎣ dt ⎝ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎠ ⎦
Sustituyendo : h = 4 m =400 cm , R = 90 cm , r = 60 cm.
dh dR dr dV ⎛ π ⎞
= 25 cm
año ; = 15 año ,
cm
= 10 año ⇒
cm
= ⎜ ⎟ 2, 71 ≅ 2,83 año
m3
dt dt dt dt ⎝ 3 ⎠

18


P.N.F. TRAYECTO I

39) Si el cohete ilustrado asciende verticalmente a 880 m/s. Cuando está  a 4000  m de
altura. ¿Con qué rapidez debe cambiar el ángulo de elevación de la cámara en ese instante
para mantener el cohete en el objetivo?

dy dx dz dθ
= 880 = c te ;
m
s ; = = ? C uando y = 4000 m
dx dy dt dt
dy dy
y y ⎛ dθ ⎞ dt ⇒ dθ = dt
tg θ = ⇒ tg θ = ⇒ S e c 2 (θ ) ⎜ ⎟=
x 3000 ⎝ dt ⎠ 3000 dt 3 0 0 0 S e c 2θ

z
S ec (θ ) = ⇒ z = (3 0 0 0 ) 2 + ( 4 0 0 0 ) 2 ⇒ z = 5 0 0 0 ⇒
3000
5000 5 dθ 880 m dθ 66
S ecθ = ⇒ S ecθ = ⇒ = s
2
⇒ = m
s
3000 3 dt ⎛5⎞ dt 625
3000 ⎜ ⎟
⎝3⎠

40) Un niño que hace volar una cometa sostiene el cordel a 5 pie del suelo y lo va soltando
a razón de 2 pie/s. Mientras la cometa se mueve horizontalmente a una altura de 105 pie.
Suponiendo que el hilo se mantiene recto, encuentre la rapidez con la que se mueve,
cuando se han soltado 125 pies de hilo.

19


P.N.F. TRAYECTO I

⎛ dz ⎞ ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞
y ′ = 5 pie ; ⎜ ⎟= 2
; y ′′ = 105 pies ; z = 125 pie ; ⎜
pie
⎟ = ?;⎜ ⎟ = 0 Cte.
⎝ dt ⎠
seg
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
⎛ dz ⎞
z⎜ ⎟
⎛ dz ⎞ ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dx ⎞
= ⎝
dt ⎠
z2 = x2 + y2 ⇒ 2z ⎜ ⎟ = 2x ⎜ ⎟ + 2y⎜ ⎟ ⇒⎜ ⎟
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ x
Calculamos el valor de " x " → x = x 2 + y ; Donde : y = y ′′ − y ′ ⇒ y = 100 p ies
2

(125 pies ) (100 pies ) ⇒
x = x = 75 pies
2 2

⎛ dx ⎞ (125 pies )(125 pie / s ) ⎛ dx ⎞
⎜ ⎟ = ⇒ ⎜ ⎟ = 3, 33 pies / seg .
⎝ dt ⎠ 75 pies ⎝ dt ⎠
41) Un cuerpo que pesa 0.5 toneladas es levantado verticalmente utilizando una eslinga
de acero que pasa por una polea colocada a 20 m de altura, como indica la figura. Un
extremo se une directamente al cuerpo y el otro, (punto A), es arrastrado por un vehículo
que se mueve hacia la derecha con rapidez de   20 ,  y a una altura del piso de 1.50
m. La eslinga tiene una longitud de 50 m. Determine: a) ¿A qué distancia del cuerpo estará
el vehículo en el instante de iniciar la maniobra? b) En cierto instante t el cuerpo se halla a
cierta altura h respecto del piso y el vehículo a cierta distancia x del cuerpo. Encuentra la
relación entre x y  h. c) ¿Cuál es la rapidez  del cuerpo en el instante en que su altura es de
h= 6 m?

a ) d AB = ? ⇒ d AB = d AC − d BC
2 2 2

d BC = 20 − 1.5 = 18.5; d AC = 50 − 18.5 = 31.5 m ⇒ d AB = 31.52 − 18.52 ≅ 25.5 m

20


P.N.F. TRAYECTO I

b) del Δ A` BC obtiene :
CP = 20 − h ⇒ AC = 50 − ( 20 − h) = 30 + h ⇒ BC = 18.5 m ⇒ x2 = ( 30 + h) − (18.5)2
2

dx dh ⎛ dx ⎞ ⎛ dh ⎞ dh x ⎛ dx ⎞
c)Rapidez del vehículo : ; Rapidez del cuerpo : ⇒ 2x ⎜ ⎟ = 2( 30 + h) ⎜ ⎟ ⇒ = ⎜ ⎟
dt dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ dt 30 + h ⎝ dt ⎠
si : h = 6 m ⇒ x = ( 30 + 6) − (18.5)2 ≅ 31 m ⇒ =
2 dh 31m
dt 36m
5,55 seg ≅ 4.7 seg
m m
( )

42) El área de un triángulo equilátero disminuye a razón de 4 cm2 por minuto. Calcula la
rapidez de variación de la longitud de sus lados cuando el área es de 200 cm2. Se supone
que el triángulo se mantiene equilátero en todo instante.

3 3 2 dL
L : lado del triángulo; altura : h = L ⇒ área : A = L; =? A = 200cm 2
2 4 dt
⎛ dA ⎞
2⎜ ⎟
⎛ dL ⎞ ⎛ dL ⎞
= ⎝
dA 3 dt ⎠
= (2 L ) ⎜ ⎟ ⇒⎜ ⎟ ; pero
dt 4 ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ 3( L )
3 2 3 2 dA dL −8
A= L ⇒ 200 = L ⇒ L ≅ 21.5; = − 4 cm ⇒ ≅ ≅ − 0.21 min
2
cm
min
4 4 dt dt 21, 5 . 3

43) La altura de un triángulo equilátero aumenta a razón de 3 , determine la rapidez

con que aumenta el área.
( l )( h )
a = ; ( á r e a d e l tr iá n g u lo ); l ( la d o d e l tr iá n g u lo )
2
2
2 2 ( h )( h )
l 3l 2 3 h2
l2 = + h2 ⇒ = h 2 ⇒ l = h⇒ a = ⇒ a =
4 4 3 2 3
dh
(2h) cm
da
= d t ⇒ d a = ( 2 h )3( se g ) ⇒ d a = 2 h 3 c m
se g
dt 3 dt 3 dt
21


P.N.F. TRAYECTO I

44) Los extremos de un abrevadero de 3 m de largo tienen la forma de triángulo
equilátero con lados de 60cm. Se le suministra agua al mismo a razón de 20 , ¿Cuál es la

rapidez de cambio del nivel del agua cuando la profundidad es de 20cm?

v ( t )( volum en del agua ); h ( t )( altura o nivel del agua );
r ( t )( longitud del nivel del agua y el lado del triángulo )
r (30)
v ( t ) = 300( h )( r ) ⇒ por triángulo sem ejantes = ;
h 30 3
donde 30 es el punto m edio de un lado del triángulo y 30 3 la altura
h h h2
r= ⇒ v ( t ) = 300( h )( ) ⇒ v ( t ) = 300( )
3 3 3
dh dh cm
300(2 h ) (600 h ) ( )
dv dt ⇒ dv dt seg ⇒ dh = 3 ⎛ dv ⎞
= = ⎜ ⎟
dt 3 dt 3 dt 600 h ⎝ dt ⎠
cm 3
dh 3 (20000) dh 5 3
= seg
⇒ = cm 2
seg
dt 600(20 cm ) dt 3

45) Un vigilante colocado en la parte superior de un faro de 250 pies de altura, observa un
bote de motor que se acerca al faro a una velocidad de 20 . ¿Con qué rapidez cambia el
ángulo formado por la visual con respecto al bote cuando este se encuentra a 300 pies de
la base del faro?



x : distancia del bote al pie de la base P del faro en cualquier tiempo t.
: Ángulo formado por la visual y el bote B en cualquier tiempo t.

22


P.N.F. TRAYECTO I

Nótese que cuando "B se acerca a P" , entonces es de esperar que también decrece
⎛ dx ⎞
⎜ ⎟
x dx ⎛ dθ ⎞ dθ ⎝ dt ⎠
tg θ = ⇒ x = 250 tg θ ⇒ = 250 Sec 2 (θ ) ⎜ ⎟ ⇒ =
250 dt ⎝ dt ⎠ dt 250 Sec 2θ
300 ⎛6⎞
com o x = 300 ⇒ tg θ = ⇒ tg θ = ⎜ ⎟ ; pero : 1 + tg 2θ = Sec 2θ Lo
250 ⎝5⎠
dθ − 20 −2
2
⎛6⎞ 61 ⎛ dx ⎞
Sec θ = 1 + ⎜ ⎟ ⇒ Sec θ = ⎟ = − 20 ⇒ = =
2 2 pies rad
;⎜
⎝5⎠ 25 ⎝ dt ⎠ ⎛ 61 ⎞
seg se g
dt 61
250 ⎜ ⎟
⎝ 25 ⎠
cual indica que el ángulo decrece.

46) Uno de los lados de un rectángulo tiene una magnitud constante a = 12 cm, mientras
que el otro (b) es variable y aumenta a la velocidad constante de 6 cm/s. ¿A qué velocidad
crecerán la diagonal del rectángulo y su área en el instante en que b = 40 cm?

da ⎛ db ⎞ ⎛ dc ⎞
a = 12 cm; = 0 (Cte.); ⎜ ⎟ = 6 seg ; b = 40 m; ⎜ ⎟ = ?
cm
dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
⎛ da ⎞ ⎛ db ⎞
a⎜ ⎟+ b⎜ ⎟
⎛ dc ⎞ ⎛ da ⎞ ⎛ db ⎞ ⎛ dc ⎞
= ⎝
dt ⎠ ⎝ dt ⎠
c 2 = a 2 + b 2 ⇒ 2c ⎜ ⎟ = 2a ⎜ ⎟ + 2b ⎜ ⎟ ⇒ ⎜ ⎟
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ c
⎛ dc ⎞ (40 cm ) (6 seg )
cm
60
c = (12 cm ) + ( 40 cm ) ⇒ c = 41, 76 cm ⇒ ⎜ ⎟= =
2 2 cm

⎝ dt ⎠ 4 109 109 ( ) seg

⎛ dA ⎞ ⎛ da ⎞ ⎛ db ⎞
A = b.h ⇒ A = ab ⇒ ⎜ ⎟=⎜ ⎟b + a⎜ ⎟
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
⎛ dA ⎞ ⎛ db ⎞ ⎛ dA ⎞ ⎛ dA ⎞
⎟ =a⎜ ⎟⇒ ⎜ ⎟ = (12 cm ) (6 seg ) ⇒ ⎜ ⎟ = 72 seg
cm cm 2
⎜
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
23


P.N.F. TRAYECTO I

47) Dos pequeños aeroplanos comienzan el vuelo a partir  de un punto común A al mismo
tiempo uno vuela hacia el sur a razón de 400 ¿Después de dos horas, qué tan rápido
cambia la distancia entre ellos, si el otro  vuela hacia el este a razón de 300 ?
                  A                    x

                Y                         z



dx dy dz
= 300 km
h ; = 400 km
h ; = ? R a p id e z d e s e p a r a c ió n
dt dt dt

⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞
x⎜ ⎟ + y⎜ ⎟
⎛ dz ⎞ ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ dz ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
z = x + y ⇒ 2z ⎜ ⎟ = 2x ⎜
2 2 2
⎟+ 2y⎜ ⎟ ⇒ =
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ dt z
d = vt ( v = cte ) x = 600 km ; y = 800 km ⇒ z = (600 km ) 2 + (800 km ) 2 ⇒ z = 1000 km
dz ( 600 km ) ( 300 km ) + ( 800 km ) ( 400 km ) dz
= h h
⇒ = 500 km
dt (1000 km ) dt h

48) Dos barcos A y B parten de un mismo punto “O” y siguen rutas que forman un ángulo
de 120º con que rapidez varía la distancia entre ellos en el instante en que       0A = 8 km. y
OB = 6 Km. el barco A navega a 20   y B a 30 .

dOA dOB
θ =120º ; OA = 8 km; OB = 6 km; = 20 km ;
h = 30 km
h
dt dt
Ley del Coseno : AB = OA 2 + OB 2 − 2 OA OACos (120º )
2

2 2 2
AB = OA + OB + OA OB

24


P.N.F. TRAYECTO I

⎛ d AB ⎞ ⎛ dOA ⎞ ⎛ dOB ⎞ ⎛ dOA ⎞ ⎛ dOB ⎞
2 AB ⎜ ⎟ = 2 OA ⎜ ⎟ + 2 OB ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ OB + OA ⎜ ⎟
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
⎛ dOA ⎞ ⎛ dOB ⎞ ⎛ dOA ⎞ ⎛ dOB ⎞
2 OA ⎜ ⎟ + 2 OB ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ OB + OA ⎜ ⎟
⎛ d AB ⎞ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
⎜ ⎟=
⎝ dt ⎠ 2 AB
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ d AB ⎞
( 2 OA + OB ) ⎜ d dt ⎟ + ( 2 OB + OA) ⎜ d dt ⎟
OA OB
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎜ ⎟ =
⎝ dt ⎠ 2 AB

De : AB = OA + OB + OA OB
2 2


AB = (8 km) + (6 km) + (8 km)(6 km) ⇒ AB = 148 ⇒ AB = 2 37 Km
2 2

⎛ d AB ⎞ [ 2(8 km) + (6 km) ] (20 km ) + [ 2(6 km) + (8 km) ] (30 km )
⎟ =
h h
⎜
⎝ dt ⎠ 2 (2 37) km
⎛ d AB ⎞ (440 km ) + (600 km ) ⎛ d AB ⎞ 260
2 2

⎜ ⎟ = ⇒⎜ ⎟=
h h km
h
⎝ dt ⎠ 4 37 km ⎝ dt ⎠ 37

49) Un tren que sale a las 11:00 a.m. se dirige hacia el este a una velocidad de 45 ,
mientras que otro sale al mediodía de la misma estación, pero se dirige hacia el sur a
60 . Hallar la velocidad con que se separan los trenes a las 3 de la tarde.

                                                    N
                       Estación                           Ta    E   x
                                     0              ■         x

                                        TB                 Z

                                                  S
                                             y

⎛ dTa ⎞ ⎛ dTb ⎞
z 2 = x2 + y2 ;
⎜ ⎟ = 45 h ; ⎜
km
⎟ = 60 h ; ta = 4 h ; tb = 3h
km

⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠

⎛ dx ⎞ ⎛ dTa ⎞
x = ⎜ ⎟t ⇒ x = ⎜ ⎟ ta ⇒ x = (45 h )(4 h) ⇒ x = 180 km
km

⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠

25


P.N.F. TRAYECTO I

⎛ dy ⎞ ⎛ dTb ⎞
y= ⎜ ⎟t ⇒ y = ⎜ ⎟ tb ⇒ y = ( 6 0
km
h ) (3 h ) ⇒ y = 1 8 0 k m
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
⎛ dz ⎞ ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞
z= (1 8 0 ) 2 + (1 8 0 ) 2 ⇒ z = 1 8 0
2 km ⇒ 2 z ⎜ ⎟= 2 x⎜ ⎟ + 2y⎜ ⎟
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
⎛ dz ⎞ (1 8 0 k m ) ( 4 5 h ) + (1 8 0 k m ) ( 6 0 h )
km km
⎛ dz ⎞ 1 0 5 km
⎜ ⎟ = ⇒ ⎜ ⎟ = h
⎝ dt ⎠ (1 8 0 2 k m ) ⎝ dt ⎠ 2

50) La intercepción de dos calles forman un ángulo 46 grados, si en el instante dos autos
A Y B distan del cruce 100Km, y se alejan con rapidez de , ,
respectivamente. Determine la rapidez de separación de los autos en un instante .

drA drB
θ = 45º ; OA = 100 km OB = 100 km ; = 80 km / h; = 60 km / h
dt dt
Aplicando la Ley del Coseno
2 2
AB = OA + OB − 2 OA OB Cos (45º )
2

2 2 2
AB = OA + OB − 2 OA OB Re lacion
⎛ d AB ⎞ ⎛ dOA ⎞ ⎛ dOB ⎞ ⎡⎛ dOA ⎞ ⎛ dOB ⎞ ⎤
2 AB ⎜ ⎟ = 2 OA ⎜ ⎟ + 2 OB ⎜ ⎟ − 2 ⎢⎜ ⎟ OB + OA ⎜ ⎟⎥
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎢⎝ dt ⎠
⎣ ⎝ dt ⎠ ⎥⎦
⎛ dOA ⎞ ⎛ dOB ⎞ ⎡⎛ dOA ⎞ ⎛ dOB ⎞ ⎤
2 OA ⎜ ⎟ + 2 OB ⎜ ⎟ − 2 ⎢⎜ ⎟ OB + OA ⎜ ⎟⎥
⎛ d AB ⎞ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎢⎝ dt ⎠
⎣ ⎝ dt ⎠ ⎥⎦
⎜ ⎟ =
⎝ dt ⎠ 2 AB

De la relacion : AB = OA + OB − 2 OA OB
2 2

AB = (100 km) + (100 km) − 2(100km) (100km) ⇒ AB = 100 2 −
2 2
2 km

⎛ d AB ⎞ 2(100) (80) + 2 (100)(60) − 2 [ (80) (100) + (100)(60) ]
⎟= = 70 2 −
( )
⎜ 2 km / h
⎝ dt ⎠ 2 100 2 − 2

51) Una vía de ferrocarril cruza una carretera bajo un ángulo de 60 . Una locomotora dista
160km del cruce y se aleja de el a una rapidez de 100 , un auto dista del cruce 160km y
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