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Ecuacioones dif. exaactas

  1. 1. Centro de Enseñanza Técnica Industrial Organismo Público Descentralizado Federal RESUMENECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS Anaya Romero Eric S. Reg. 10310017 B212 Ecuaciones Diferenciales Cesar Octavio Martínez Padilla Ingeniería MecatrónicaCentro de Enseñanza Técnica Industrial Colomos Turno vespertino 04 de marzo del 2011
  2. 2. ResumenEcuaciones Diferenciales ExactasAntes que nada definimos en este tema el término nuevo queutilizaremos, la derivada parcial (∂) que es la derivada de la variable ala que pertenece.La forma ordinaria de una ecuación diferencial exacta es la siguiente: M (x,y)dx + N (x,y)dy = 0Para verificar si es exacta utilizamos la derivada parcial de M y de N: ∂M/∂y=∂N/∂xAl ser iguales las dos derivadas parciales significa que son exactas porlo que procedemos a ciertos procesos algebraicos para resolver laecuación, los cuales se resumen mediante la expresión matemática: F(x,y)= ∫ M(x,y)dx + ∫ [N(x,y) - ∂/∂y ∫ M(x,y)dx] dyOtra manera de resolverlo sería la siguiente: Página 2 de 5
  3. 3. ResumenUna última manera de resolverlas más fácilmente es sí en la ecuación,después de verificar que es exacta, podemos identificar diferenciales yla podemos escribir completamente en función de ellos, recordando quela integración es la función inversa de la diferenciación, integrando losdiferenciales hallamos la solución. Veamos un ejemplo que ilustra esto: Página 3 de 5
  4. 4. ResumenECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS POR FACTOR INTEGRANTELa forma ordinaria de una ecuación diferencial exacta es la siguiente: M (x,y)dx + N (x,y)dy = 0Cuando: ∂ M / ∂ y ≠ ∂ N / ∂ x (no son exactas)Utilizamos u(x,y) sea el factor que le permita a la expresión ser exacta: ∫p(x)dx ∫p(y)dy u=e ó u=eForma o método solución: p(x)= (My – Nx) / N ó p(y)= (Ny – Mx) / M (el resultado debe quedar respecto a una sola variable)Ejemplo:Resolver la ecuación diferencial 1 - xy + x(y - x)y´ = 0.P = 1 – xyQ = x(y - x), y se tiene que Py = -x ¹ Qx = y - 2xPor lo que la EDO no es exacta. Por lo tanto buscaremos un factorintegrante. Probemos en primer lugar con uno que dependa solamentede x. Aplicando la fórmula obtenemos: Página 4 de 5
  5. 5. ResumenComo el factor quedó expresado solamente en x, multiplicamos por estefactor integrante la ecuación queda:1/x - y + (y - x)y´ = 0Esta ecuación ya es exacta y aplicando el procedimiento para lasmismas tenemos que:Bibliografías: • Apuntes en clase • http://www.utim.edu.mx/~navarrof/Docencia/MatematicasIV/UT4/ed o_exactas.htm • Calculo diferencial e integral, Lurcell Varberg Rigdon, Pearson. Página 5 de 5

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